# 16.2 緊集 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter16/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter16/section02.html) 一組實數被稱為**由開集**的集合覆蓋，當 **的每個元素包含在的至少一個成員中時。** （的成員可以包含以外的數字以及中的數字。） 被稱為 **compact** ，如果**對于的通過開集，被的一些有限成員覆蓋。** 關于開放區間覆蓋的一個重要事實是：**如果一個點位于一個開集中，它位于的開放區間內并且距離邊界點是正距離那個間隔。** 我們現在將證明，**有限閉合的實數是緊湊的。** 參數不依賴于實數之間的距離定義，只要它作為距離有意義。 打開的實數組是實線上不相交的開放區間的每個聯合。我們可以考慮通過開集來覆蓋的作為它們的開放區間的覆蓋。包含數字的覆蓋物中的每個開放集合在其中具有包含的開放間隔。因此，通過開放區域覆蓋實際上也是通過開放區間的覆蓋。 覆蓋的任何間隔都包含在中其他區間的并集中，在中是多余的，可以從中刪除，的其余部分仍然是覆蓋。 每組封閉的實數都是不相交的閉區間的集合。例如，對于所有正和數字，區間和的集合是閉集。 中的最小數量是，最大值是。這里的數字必須在其中，因為它是其他數字序列的極限點。 我們可以通過以下無限的開放區間集合為提供明確的封面：    為證明這一說法，我們使用了幾個事實：首先，_ 如果中的數字序列是無窮大，則必須至少有一個限制點，因為是關閉的，界。_ 第二，_ 如果數字被開集覆蓋，那么包含的數字都小于和大于。_ 最后，_ 包含一系列不同數字的限制點的開放集必須包含無限數量的這些數字。_ 我們可以通過實際構建一組覆蓋的有限開放區間來證明這一結果。為此，我們將設置為中的最小數字，讓為中最小的數字，該不包含的成員。 可以是的下邊界點（對于除上述示例中遇到的一個之外的所有情況都會發生），或者它可以位于[的閉合區間的上邊界的中間或上方。 HTG3]。 我們將定義一個包含的開放區間，從的最大值開始歸納，如下所示： 如果是中其間隔中的最小數字，則讓成為中小于的最大數字，讓為中包含兩者的中的任何開放區間 HTG7]和。 否則，讓為中小于（且不等于）的任何數字。根據的定義，中含有和的開放區間，任何這樣的開放區間都是。 通過構造，僅包含中的一個，即。因此，根據我們上面的第三個事實，它不能包含的限制點。這意味著和的數量是有限的。還有的封面。因此，是通過開放區間覆蓋的有限大小。 在上面的例子中。 是來自的形式的數字，直到的值約為，具有相似數量的陽性，用于大致 共計。 **練習： 1.證明上述聲明定義的封面。 2.表明通過上述結構從成員中選擇的有限開放區間集包含覆蓋中可能的最小開放區間。** 我們提供上面的示例和構造，讓您直觀了解此結果的含義。通常的簡單證據包括將任何閉合集分成兩半，選擇 S 中的數字，并在的一半上重復這些動作，這需要覆蓋無限數量的成員。在每個階段，新的大小是舊的一半，并且如果那么，至少有一半必須覆蓋無限數量的成員。選擇的數字序列，如果無限，則必須具有限制點，并且對于任何覆蓋的開放區間，將包含我們序列中的所有點，其間隔長度小于和;并且這將大于我們在某個階段的間隔的長度，并且我們序列的所有后續成員將在內并被它覆蓋。 （這正是示例中所發生的情況。）這意味著后來的只需要覆蓋的一個成員。一個是非常有限的。這個證明的一個優點是它對于維空間也是有效的，其元素是 - 實數的元組，正如它對實數一樣。 （這個論點在下面詳細重復。） 我們一直在實數的背景下討論這些不同的概念，但它們也可以在許多其他環境中定義。限制的定義需要定義距離，但是給定這樣的定義，還定義了閉合，開放，順序緊湊，完整和緊湊的概念。定義任何一對之間的距離的點集稱為度量。 當沒有度量時，通過指定整個集合的哪些子集是開放的，也可以定義這里提到的閉合和緊湊的概念。 在任何距離 d 的度量空間中，我們定義點的 d 鄰域由的所有元素組成，其與的距離嚴格小于。 中的任何開集是其元素的鄰域的并集，每個鄰域與相交。 假設有限維空間 S 的閉合有界子集被開集覆蓋。然后它也包含在這些集合中的鄰域中。我們將爭辯說，它必須被這些社區的有限集合覆蓋，因此有限數量的那些開放集合。 如果是維度，我們可以將切割成 n 個立方體的有限大小網格（我們指的是在任何方向上的長度最多都是常數的點集合，如果是必須無限的成員需要覆蓋至少一個立方體也必須是無限的。我們在任何這樣的立方體中選擇一個點，減少對的注意-cube 并重復這些切割并選擇步驟。由此產生的元素序列必須收斂到某個點，其封面必須仍然需要無限數量的鄰域。但是單個點可以被一個鄰域覆蓋，由此論證告訴我們，從來沒有需要無數的社區。 這樣的論證證明中的閉合和有界集合對于在實數上定義的任何有限維空間都是緊湊的。 當沒有指標時，奇怪的事情就會發生。假設我們有整數，或有理數或實數（沒有它們之間的距離定義），而閉集包括所有有限集。這意味著開放集是所有元素集，只缺少有限數量的元素。 在任何這樣的空間點和開放集的定義，所有集合都是緊湊的！ 給定任何集，以及的任何封面，通過開集，以及該封面中的任何開集，只能錯過一個封閉集，這意味著有限集，比如， 的要素。這些可以被封面中的大多數開放式套裝覆蓋，這意味著原始封面中最多開放式套件的封面。 因此，緊湊的集合通常不需要用這些定義來封閉或界定。 一組點中的開集的定義稱為拓撲。 上面考慮的主題，稱為點集拓撲，在世紀被廣泛研究，以使微積分嚴格。它包含許多有趣的結果，其中上面是一個微小的隨機樣本。