# 16.1 極限和點集拓撲簡介 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter16/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter16/section01.html) 數學家，特別是自 19 世紀世紀以來，想要使微積分的主題嚴格，這意味著完全邏輯上定義。如果在這一點上它的圖形“看起來像一條直線”，我們已經調用了一個可微分的函數。這可能是直觀的，但肯定比嚴謹更直觀。 為了引入嚴格，我們定義了序列的**限制**的概念。 無數的數字序列被稱為**收斂**，如果對于任何標準，（比如說數萬億，無論這意味著什么），超出序列中的某一點，任何兩個條目之間的差異小于該標準。 序列收斂，因為超過第十億個術語，任何兩個條目之間的差異小于萬億分之一。 給定集合**中的數字序列收斂到極限** ，如果它收斂并且任何條目和之間的差異小于該標準，超過某一點。 序列收斂于。 我們說函數在參數中是**連續**，如果**它的值在收斂到的任何數字序列上，收斂到它在的值。我們把它寫成** 。 我們說 ****在是可分化的，如果對于任何數字序列它們都沒有收斂到，的極限接近  ]即存在，我們將的導數稱為 ，我們將其寫為和。**** 一旦定義了限制，就可以制定許多精彩的概念和定義。 如果的元素的每個會聚序列收斂于中的數字，則稱的數量為**。** 集合的**極限點是那些集合的成員序列的極限數。** 如果一個集合包含其所有限制點，則**關閉**。 請注意，根據定義，不是正數，因此有正數的序列不會收斂到正數，因為它們會聚到。因此**正數不會被關閉。** 請記住，**有理數是超出某些點無休止地重復某些十進制數字序列的數字。** 考慮一個數字，在小數點之后，以開始并且具有一系列零和，在出現之后具有正好連續零。這個數字在某些點之后不會重復，因此它不合理。但它是通過零替換之外的所有條目（因為轉到）得到的序列的極限，所有這些都是有理的，每個都以重復結束。 因此，**有理數不是封閉的。** 實數的集合的**邊界點是和不在中的實數集的極限點。** 因此，如果是包含端點和的和之間的點間隔，則和是其邊界點。此已關閉，因為它包含所有可能的限制點。 **開集**是**不包含邊界點的集合。** 和之間不包括其端點的點間隔是開放的。如果定義的間隔僅包含其中一個端點，則它既不是打開也不是關閉。 **封閉式套裝是開放式套裝的補充。** 由于閉集包含其所有邊界點，因此它們的補充包含不在其中的所有空間點，不包含它們。 **什么無限序列不會收斂？** 當一系列實數無界時，總會發生非收斂：例如，序列 ，不收斂。 此外，具有多個極限點的有界序列不會收斂。例如 具有極限點和，并且不會收斂，因為連續項之間的差異總是，并且永遠不會低于。 **其中每個元素序列在其內部具有至少一個限制點的集合被稱為順序緊湊。** 為了順序緊湊，必須關閉集合，否則，根據定義，其元素的收斂序列不會收斂到的成員。 必須是有界的，否則就會有一個無限增長的序列，沒有有限的極限點。 （例如，選擇序列的成員，其元素中最小的元素至少比其成員大一個。） 另一方面，**如果實數的集合是閉合的，則的每個元素序列在中具有至少一個極限點。** 本聲明來自兩個我們將證明的觀察結果。 **首先，如果有界，其成員增加的元素序列，使成員至少與一樣大，必須收斂。** 如果關閉，增加的序列必須收斂到其成員的最小上限，這將是的一個元素，這將是一個限制點。對于遞減序列也是如此。 其次，**每個無限序列必須包含一個正在增加的無限子序列，或者一個正在減小的子序列或兩者都包含。** **這些陳述一起表示任何無限的實數序列都是有界的，并且因此是一個極限點。** 我們證明了第一個：**數字集的最小上界是至少與的每個元素一樣大的最小數。** 如果由遞增序列的成員組成，則該最小上限必須是序列的限制點。它肯定不能少于序列中的任何成員。如果它比所有成員都高出數萬億，那么它不是最低限度的上限。這證明了第一次觀察。 通過考慮有限的數字序列（例如長度）得到第二次觀察的優雅證明。我們證明每個這樣的序列至少具有的平方根的長度增加或減少的子序列。由于無窮數的平方根仍然是無窮大，因此該結果告訴我們任何無限序列必須具有無限增加或減少的子序列，其中任何一個必須具有極限點。 為了說明這一點，從序列的開頭開始，跟蹤在每個成員處結束的最長增長和最長減少序列的長度。第一個這樣的對將是，然后是或，取決于第二個成員是大于還是小于第一個成員（如果它與我們得到的第一個成員相同）。 奇妙的事實是沒有兩個成員可以擁有相同的數字對。如果說某個成員，有一對，那么任何后續成員將至少獲得對或，因為通過將添加到如果大于，則在結束的舊增加序列，并且如果小于，則類似地通過添加獲得減少序列。 我們的主張是這樣一個事實，即不同有序的正整數對的數量都小于是。表達這一事實的另一種方式是在任何序列的第一成員中必須存在至少的“單調”序列長度。 這兩個主張一起告訴我們**任何有界閉合的實數集都是緊湊的。** **練習：類似??的結果適用于實數的有序對（或有序元組）的集合，其對應于二維空間（或維空間）中的點。推廣上面的定義以應用于這樣的集合，并證明這些對的任何有界閉合集合是順序緊湊的。**