# 19.2 一階微分方程 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter19/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter19/section02.html) 我們將首先處理一階微分方程，我們的意思是，對于某些函數，具體地說，形式的方程。進一步假設我們在某個時候知道解決方案。 這告訴我們，在的區間開始，到的區間為非常小的，我們大約有  我們可以使用這個“線性近似”來計算，然后繼續從中計算，依此類推。 這種方法就像做積分的左手規則;唯一的區別是本身出現在中。 為了實現這一點，你讓從的起始值開始從一行增加到另一行，并使增加。 **練習 19.1 為給出的設置此項并繪制與的關系曲線。 （這代表微分方程：，它有解。從開始，從數字上精確地找到并進行比較。** 產生右手規則的類似物，或梯形或辛普森規則要困難一些，因為它們需要評估，因此超出，我們只從和開始]是我們想要發現的。如果我們將放在我們計算的公式中，計算機將正確地指責我們使用循環引用。 有很多方法可以解決這個問題，并且已知整個公式序列用于評估，因為我們的方程式符合中的任何順序。這些被稱為 Runge-Kutta 規則，非常有效。您可以在隨附的小程序中看到它們的作用。 &lt;iframe frameborder="0" height="620" src="../mathlets/first-order-ode.html" width="100%"&gt;&lt;/iframe&gt; 我們只會描述最簡單的校正，即近似  這意味著我們在和之間的整個區間內使用作為的導數，其近似于上一個術語中的值。 這仍然很容易做，并且或多或少類似于梯形規則，區別僅在于我們估計參數的導數而不是知道它。 **如果您根本不了解，該怎么辦？** 您可以通過在二維空間中繪制圖來了解所有解決方案，一維是，另一維是。如果您在此圖中選擇點網格，則在每個點處您都知道導數。如果您繪制一個指向方向的箭頭。然后，您可以連接箭頭（如連接點），形成路徑，這些路徑每個都代表微分方程的解。 這些路徑不能交叉。 **練習 19.2：弄清楚為什么路徑不能交叉。** 但他們可以有一些有趣的函數。固定點就是這樣一個特征，也是我們在[第 18 章](../chapter18/contents.html)中看到的。一個固定點是方程式意味著你留在那里的固定點。一個穩定的固定點是這樣的，如果你在它附近，你旋轉或螺旋形進入它。還有一些稱為吸引子的東西，它們是過去或未來的曲線（當自變量是時間時），許多路徑都聚集在這里。穩定的固定點是一種吸引子。 **您告訴我，我可以實現您在電子表格中描述的集成嗎？** 是。將第一個訂單 ODE 放入 A1; A2 中的 xstart; ystart 進入 A3; d 進入 A4。將您的數據（包括和的起始值）以及您在 B2，B3 和 B4 中選擇的數據組成。 然后在 A6，B6，C6 開始列，分別包含和。在 A6 中，放 x;在 B6 中，放 y（梯形法則）;在 C6 中，放 y（左手規則）。 因此，您可以將= B2 放入 A7，將 B3 放入 B7，將= A7 + $ B $ 4 放入 A8 并將其復制到 A 列。 在 B8 中，put = B7 + $ B $ 4/2 *（f（A7，B7）+ f（A7 + $ B $ 4，B7 + f（A7，B7）* d）并將其復制到 B 列。就是這樣。 您可以將結果與左手規則計算進行比較，方法是設置 C 列并從= B7 開始進入 C7，但將= C7 + $ B $ 4 * f（A7，C7）放入 C8 并將其復制下來。然后你可以制作所有三列的散點圖，看看會發生什么。兩個計算之間的差異讓您對簡單的計算有多糟糕。 您可以看到更改函數需要更多的工作，但很容易改變初始條件。這是 的結果和，的起點。 &lt;button aria-controls="first-order-ode-spreadsheet" aria-expanded="false" class="btn bg-light border-secondary" data-target="#first-order-ode-spreadsheet" data-toggle="collapse" id="toggle-spreadsheet-table" type="button"&gt;顯示表&lt;/button&gt;[](../download/first-order-ode.xlsx) Number of steps<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-steps-btn" type="button" value="25">25</button>[10](#) [25](#) [50](#) [100](#)Number of digits after decimal point<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-digits-btn" type="button" value="10">10</button>[5](#) [10](#) [15](#) **練習 19.3 為和設置此項，從開始。** **這總能奏效嗎？** 不。對于很多有趣的方程式來說很好。但是，有時您的變量可能會變為無窮大，然后計算變得非常不準確。 這可能發生，因為我們允許的任何等式，因此允許的任何等式。這意味著有時可能是。如果應該通過，那么將無任何特殊原因進入無限。 大多數時候你可以通過求解的微分方程來避免這個困難，同時解決的問題。當變為無窮大時，非常溫和并且接近（記住是，所以如果我們讓成為，那么服從 HTG10]）。如果你這樣做，你可以使用從和中較小的一個中獲得的值。 無論如何，以這種方式積分微分方程很容易，值得一試。