# 14.3 為什么這些規則有效？ > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter14/section03.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter14/section03.html) 假設你的被積函數是，有一個關于點的冪級數展開，其系數不會變得狂野。然后我們可以為附近的寫  其中是在評估的的導數。 當的范圍從到時，我們希望找到下的區域，長度的間隔。 請注意，如果我們形成，那么右邊第二個詞的貢獻將被取消。事實上，所有涉及奇數導數的條款都將取消：  我們可以通過積分這個等式的兩個方面得出結論：  右邊的第一個詞是，下一個是，其余的術語與的更高權力成比例。 前一個等式的的第一項與的和中的較高功率項不同。 這個論點的結果是， 的區間內的的積分近似產生與成比例的誤差以及的更高奇數冪的項。 中沒有線性誤差，中沒有二次誤差。事實上，中的誤差項立方是。 如果我們將減少因子，減少因子，但這可以通過現在有兩倍的間隔這一事實來補償，每個間隔的一半大小。在減少之前出現。因此，第一項對整體積分的貢獻通常不會有太大變化。 （當發生變化時，唯一的變化將來自等術語的評估變化。）另一方面，立方誤差項的貢獻將大約減少的因子，并且，因為那里將是兩倍的間隔，它們對整體誤差的貢獻將大約減少的因數。 **那么？** **這意味著如果我們在分割之后將估計值取四倍并在分割之前減去估計值，我們將（幾乎）消除第一個誤差項，并且得到的下一個誤差項將在分裂時減少 ]。我們得到或的估計值，因此我們除以以得到積分的估計值。** 所以這是我們的計劃： 首先，我們使用左手規則計算從起點到任何后續點的積分。正如我們將要看到的，這很容易做到。 **怎么樣？** **我們可以通過創建兩列來實現：列和整數列。** **列（比如 A 列）以積分的下端開始（比如在 A5 中）。然后，對于大于，我們將 Ak 設定為 A（k-1）+ d。** **在左規則積分列中，我們將 Ck 設置為 C（k-1）+ d * f（Bk）。** **從 A5 的內容到 Ak 的內容的左手規則積分將是 C（k-1）。** 實際上，當你想要改變你正在積分的函數時，如果函數的所有評估都在一列中，那么你最好關閉。因此你可能想要將 Bk 設置為 d * f（Ak），將 Ck 設置為 C（k- 1）+ Bk。 接下來，我們將 C 列中的左手規則積分轉換為 D 列中的梯形規則積分。 **How?** 在 D 中，我們向 Ck 添加了一個術語，它除去了一半的 A5 * d 和一半的 d * Ak。明確地，我們將 Dk 設置為 Ck - （A $ 5 + Ak）* d / 2。 從 B5 到 Bk 的梯形規則現在出現在 Dk 中。 接下來我們將其轉換為 E 列中的 Simpson 規則。 **How?** **讓我們使用端點 ** 調用間隔大小為的梯形規則結果 **我們要做的是重復間隔大小的梯形計算，然后形成** 結果的錯誤表現為。這個估計稱為辛普森規則。 為什么我們以這種方式計算辛普森的規則？因為很容易應用左手規則，所以很容易讓 Trapezoid 規則從中得到一列，并且容易將另一列中的間隔大小加倍。完成后，根據上面最后一段中的表達式，在第三列中，很容易從電子表格中的舊規則中形成新規則。 當與位于同一行時，最容易實現此目的。回想一下，行對左手規則的貢獻是，它被添加到對應于的行中的結果中。對于，此貢獻加倍并添加到前一個加倍行的結果，該行是高于它的。 使左手規則成為從開始到的積分的梯形規則的校正是從包括初始值和總和的部分和減去第一個和最后一個貢獻的一半 。 事實證明，將放在與相同的行中沒有太大困難，這使得形成變得容易。 **嗯，你到底做了什么？** 將間隔尺寸放在某個框中，比如 A1。 在 A 欄中，將起點設為 A5，在每一步從 A6 開始，將值增加。因此，在 A6 中，您可以放置??= A5 + A $ 1，并且可以根據需要將 A6 復制到 A 列。 在 B 列中，將被積函數的值置于相應的參數：B5 put = A $ 1 * f（A5），并將其復制到 B 列。 在 C 列中，放置 B 列的部分和：這意味著，在 C5 put = C4 + B5 中，并向下復制 C 列。 在 D 欄中，輸入 D5：= - （B5 + B $ 5）/ 2 并將其復制到 D 列。 從您的開始（在 B5 中）到 Bk 中的值的梯形回答將是 Ck + Dk，您可以將 Ek 放入框 Ek，將 E5 設置為= C5 + D5 并將其復制到列 E 中。 在 F 中，設置 F5 = 2 * B5 + F3 并向下復制 F（這將使左手規則導致 F 的奇數行超出第 5 行。偶數行包含無用的垃圾。） 在 G5 中，設置= 2 * D5 + F5 并向下復制 G，這將給出列 G 的奇數項中的區間梯形結果的積分。 在 H5 中，設置=（4 * E5-G5）/ 3 并復制。從 B5 的含量到 B 的含量（2k + 1）的積分的 Simpson 規則將出現在 H（2k + 1）中，對于至少。 接下來，我們為函數做一個明確的例子。 預備： 設置 A1 積分 f（x），B1 設置為 f（x）= xsin（x） 設置 A2 設為 d，B2 設置為 0.01 設置 A3 為起點，B3 為 1 創建列：將 A5 設置為= B3，將 A6 設置為= A5 + B $ 2，將 A6 復制到 A 列。 設置列 B 到 H 的行，如下所示： 在 B5 中，輸入= B $ 2 * A5 * sin（A5）;在 C5 中，= C4 + B5;在 D5 中，= - （B5 + B $ 5）/ 2;在 E5 中，= C5 + D5;在 F5 中，= 2 * B5 + F3;在 G5 中，= 2 * D5 + F5;在 H5 中，=（4 * E5-G5）/ 3。將所有這些復制到列中。 H（5 + 2j）等中的條目給出了 Simpson 的規則，從 A5 中的值到 A（5 + 2j）中的值進行積分。 A 列包含變量，B 包含，它是被設備乘以間隔寬度，C 包含其部分和，D 包含校正，使其成為 E 中的梯形規則，F 由跳過取值和加倍對應于加倍的寬度，G 校正端點以為創建適當中間端點的梯形規則，并且 H 根據和梯形規則答案創建 Simpson 規則。 完成此操作后，您可以通過更改 A1 和 B1 的內容來更改和起點。要更改被積函數，您只需要更改 B 列。 您應該使用您知道的積分測試您的答案，以便在電子表格中找到任何錯誤。您可以嘗試加倍以查看是否會更改您的答案。如果沒有，你已經很好地計算了你的積分。 **這總能奏效嗎？** 不，如果你想融入無限，你顯然不能這樣做。如果你的被積函數在某個中間點變為無窮大，你也會遇到麻煩。或者如果它瘋狂地搖擺。 你可能能夠從中減去你所知道的并且具有相同的單一行為的東西，然后能夠處理其余的事情。 **練習：嘗試找到一個這個程序失敗的函數（一個不會爆炸的函數）。** 附近的平方根可能就是這樣。 如果添加按跳轉的列并對它們執行類似操作，則可以將的梯形規則替換為。有了它，你可以得到和的兩個辛普森規則計算。將乘以第一個減去第二個，并除以，你將獲得一個超級的辛普森規則，當減少因子時，它會提高因子。 **以下是從到** 的積分結果 &lt;button aria-controls="integral-simpsons-spreadsheet" aria-expanded="false" class="btn bg-light border-secondary" data-target="#integral-simpsons-spreadsheet" data-toggle="collapse" id="toggle-spreadsheet-table" type="button"&gt;顯示表&lt;/button&gt;[](../download/integral-simpsons.xlsx) Number of increments<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-inc-btn" type="button" value="25">25</button>[5](#) [10](#) [25](#) [50](#) [100](#)Number of digits after decimal point<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-digits-btn" type="button" value="10">10</button>[5](#) [10](#) [15](#) 在第 I 欄中給出的確切答案是（區分并看到）。 要獲得第 I 列，只需在 I5 中輸入= SIN（A5）-A5 * COS（A5）-SIN（A $ 5）+ A $ 5 * COS（5 澳元）并復印。 這里的辛普森統治對于有效數字是準確的。紅色的值是我們辛普森的規則答案。其右邊的值是的計算機評估，它是該積分的值。 請注意，您只需更改列 B 即可切換到集成其他一些被積函數。這涉及 B5 中的新條目并將其復制到該列。 可以通過更改 B3 來更改起點（稱為積分下限）。 在上面的計算中，的位置精度發生在。