# 13.3 積分的訣竅 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter13/section03.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter13/section03.html) 積分技術基本上是向后看的微分技術。 區分和的規則：**它是求和**的導數之和，對積分產生相同的事實：**積分之和的積分是它們積分的總和。** **13.3.1 產品規則倒退** 產品規則說，產品的**導數是通過區分每個因素得到的總和，好像另一個因素是不變的，并將結果加起來。** 當我們知道如何處理被積函數時，我們可以向后看這個作為處理形式的被積函數的方法。因為，我們可以將產品規則寫為  積分雙方告訴我們  該陳述稱為**“按部分積分”**，對于或或等整數有用。 例如，要集成，請設置和。然后我們有和。因此是而是。 我們可以得出結論，從到的積分是。這個答案通常寫成  **練習 13.7 上面提到的其他積分：和以及的積分。** **13.3.2 反向鏈條規則** 鏈規則告訴我們如何區分，答案是。 這告訴我們，如果我們能夠將一個被積函數識別為具有形式，我們可以將它積分到上，以便在評估，而不是在進行評估。 我們能用這種方式認識什么？ 以下是您應該考慮的例子：和。嘗試猜測在每種情況下為選擇什么，看看你是否可以讓它工作。如果失敗，請再試一次。 向后使用鏈規則有時被稱為**替代方法**。 我們不會詳述這個話題。要真正學會使用這些方法中的任何一種，你必須每次練習它們十幾次。對于替換規則來說，這是非常寶貴的經驗，比如解決謎題。它可能很有趣，但起初它看起來像是苦差事。 我們注意到，通過適當的魔法替換，你可以將正弦和余弦的任何有理函數轉化為一個合理的函數，你可以用足夠的努力實際積分它。在過去，可積函數表及其積分表非常有用。這些東西現在可以在網上找到。 **有什么我們無法積分的嗎？** 當然是。積分和是實例，對于這些實例，沒有可以用從同一性函數，正弦和指數獲得的組合表達的解。實際上，現代電子表格通常將其積分作為非標準但電子表格可用函數包含在內。 （錯誤函數，或 erf，例如，  是 Excel 7 在其工程公式中可用的函數，它可以作為電子表格中任何位置內容的一部分輸入。） 如今，您可以查閱許多可用程序中的任何一個，例如 Maple，Mathematica 和 Matlab，它們將為您提供任何可行積分的正式解決方案，以及針對那些無法精確集成在函數方面的任意精度的解決方案我們定義了。 我們現在轉向這樣一個問題：積分是否可行，即在數值上確定曲線下面積？第 2 章對此進行了微小的討論。