# 8.2 微分反函數 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter08/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter08/section02.html) 第一個好消息是，即使沒有通用的方法來計算給定參數的函數反函數的**值**，也有一個簡單的公式**導數**的根據本身的導數，的倒數。 實際上， **的導數是導數的倒數，其參數和值相反。** 這在幾何上或多或少是顯而易見的。函數的導數是，而的任何反函數的導數是，如果在值處進行評估，它將是值的前者的倒數。 讓我們用代數來證明這一點。我們所要做的就是將鏈規則應用于的定義屬性，即。根據鏈規則，我們在評估了。 這意味著反函數的導數是函數本身的導數的倒數，在反函數的值處進行計算。 **這個論點似乎很簡單，但令人困惑。您是否可以使用此規則實際找到反轉的導數而不必瘋狂？** 讓我們看看這對指數函數及其反函數意味著什么。指數函數的導數本身就是。那么對數函數的導數是指數的倒數，在評估;這是，即。后一種說法來自于逆的定義，它告訴我們。 類似地，對于正弦函數，由于其在參數處的導數是，的導數是其余弦的倒數，或。 你可以把它留在那，但我們通常把它減少到稍微不那么丑的東西。電子表格與我們在下一段中最終得到的結果一樣滿意。順便說一下，無論我輸入= acos（A6），我的電子表格都會給出參數 A6 的 arcccosine 函數。 正如我們在第 7 章中所見，是，是，我們發現是，其倒數是的導數。  類似地，的導數是。這因此告訴的導數是在參數處評估的導數。這是  這是完全相同的結果，它適用于整數冪， 事實上，對于任何理性的力量，，正面或負面，我們都有  我們已經提到**關于反函數的另一條好消息。** 即使沒有明顯的方法來計算一個特定的值，在一個特定的參數，有一個簡單的方法來計算的值，你可以在一分鐘左右實際執行一次電子表格你知道怎么做，假設你知道如何計算。您所要做的就是在執行散點圖時反轉和列的順序。通過這樣做，您可以看到結果給出了“多值函數”而不是普通函數，并且可以為逆向選擇您喜歡的單值范圍。 **練習：** **8.3 使用上面證明的事實，找到。 （您可以使用多重出現規則或產品規則）** **8.4 角度的正切，表示為，是由正弦除以余弦給出的比率：。 的導數是什么？從中找到的導數（稱為的反正切），的反函數，（當的域被限制為從到時）。**