# 9.1 數值微分 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter09/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter09/section01.html) **我們怎樣才能找到函數導數的良好近似值？** 顯而易見的方法是選擇一個非常小的并計算，這看起來像導數的定義。實際上，這不是一個好主意。 **為什么？** 問題是你的計算方法不是無限準確的，特別是如果或是無理數。這意味著您的評估中有時會出現小錯誤。當很小時，和會因之類的不同而相互不同，但是你的計算誤差將大致獨立于。因此，當您使變小時，您的錯誤與的比率會增加。將結果除以非常小的與將其乘以非常大的相同，并且放大了誤差。當變得小于計算誤差的大小時，你得到的導數估計將主要是計算錯誤，并且很少會告訴你。以這種方式出現的錯誤通常稱為舍入錯誤。 這樣做的結果是你真的想只使用相對較大的值來計算導數。 **這可能嗎？** 答案是肯定的！這樣做很有趣。 **怎么樣？** 這是基本思想：假設你的函數不僅是可微分的，而且它的導數在參數中也是可微分的，它的導數也是如此。 如果是這樣，的值可以用冪級數來描述，  （此處表示在評估的的導數。）為了證明這一點，計算 和二階導數等兩側的導數。 我們想要，所以我們想擺脫和右邊的其他條款。 如果我們形成，我們將獲得并且的誤差項與成比例。 另一方面，如果我們改為形成 **** ，那么具有偶數冪的上述系列中的所有項都會消失，我們得到此表達式中的誤差項與。 這已經比明顯的估計有了很大的改進。這里誤差減少為而不是減少。奇妙的是，我們可以做得更好，通過消除術語，然后術語，依此類推，就我們想要的而言。 我們怎么做？ 那么，您可以將的評估與中的一個結合起來。其中第二個在功率系列中具有相同的項，但項項更多。因此，如果我們形成乘以其中的第一個并減去第二個，我們將最終得到三次，根本沒有術語，并且只有和更高階的修正項。 因此，如果我們將定義為 **，**，組合將產生加上來自原始擴展中的第五個導數項而不是第三個的錯誤，并且該錯誤在我們的計算中，術語與 d &lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; 成正比（加上與，等成比例的術語）。 調用此組合;那么類似地，（稱為）將產生加上來自七階導數的誤差，并且與成比例。并且你可以繼續形成次減去它的兩倍的值除以得到一個表達式，其誤差將與成比例。 這意味著將除以會將最后一次估計中的誤差減少因子。 **這看起來像一團糟。** 但事實并非如此。在電子表格上完成所有這些操作非常容易，你可以看到上面每個估計會發生什么，你可以連續減少因子，你可以寫下任何函數，以及任何參數。 不僅如此，您可以通過僅更改一個條目來更改參數，并通過僅更改一個條目并進行一些復制來更改該函數。 **好的，怎么樣？** 我們將使用函數將其設置為特定的 **預賽：** _1.在 A1_ 中計算 _2.將您的函數名稱放在 A2_ 中 _3.將 dstart 放入 A3 并將的起始值放入 B3（我將放入 B3 中）_ _4.將字母放入 A4，將的值放入 B4（我也放）_ _5.在第 5 行標記列如下：在 A5 放，在 B5 ，在 C5 ，在 D5 ，在 E5 ，F5 ，G5 ，H5 ，在 I5 中，在 J5 _ 中 _**設置**_ _ 現在在 A6 中輸入= B3，在 B6 中輸入= B $ 4，在 C5 中輸入= A6 + B6，在 D6 = B6-A6 中，在 E6 中輸入= f（B6）。例如= tan（B6）_ _ 然后將 E6 復制到 F6 和 G6。在 H6 中輸入=（A6-G6）/ 2 / A6_ _ 將 B6 到 H6 從列中復制到第 50 行 _ _ 現在輸入 A7 = A6 / 2 并將 A7 復制到第 50 行。在 I7 中輸入=（4 * H7-H6）/ 3 并將 I7 復制到第 50 行 _ _ 最后在 J8 中輸入=（16 * I8-I7）/ 15 并將 J8 復制到第 50 行。_ _ 這是什么？_ A 列將包含計算中使用的差異 d。它將從除以從一行到下一行。 B 列包含的值，您可以在其中找到導數，C 和 D 包含和。 E 含有，F 和 G 含有和。 H 包含估計值，第 I 列包含通過采用 H 估計值的四倍可得到的改善，減去替換的的相似估計值，并將該差值除以。 J 包含通過類似地從乘以估計值中除去 I 中的估計值并除以而獲得的改善。 **以下是的函數的結果。** &lt;button aria-controls="derivative-spreadsheet" aria-expanded="false" class="btn bg-light border-secondary" data-target="#derivative-spreadsheet" data-toggle="collapse" id="toggle-spreadsheet-table" type="button"&gt;顯示表&lt;/button&gt;[](../download/derivative.xlsx) Number of rows<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-rows-btn" type="button" value="25">25</button>[5](#) [10](#) [25](#) [50](#)Number of digits after decimal point<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-digits-btn" type="button" value="10">10</button>[5](#) [10](#) [15](#) 請注意，當在附近時，E 列對的位置是準確的。 要更改，您只需要在 B4 中輸入所需的值。要更改函數，請在 E6 中使用變量 B6 輸入新函數，復制到 F6 和 G6，然后將 E，F 和 G 列復制到行。其他列根本不需要更改。 **練習。** 9.1 自己設置。當 E 和 F 之差達到十位精度時，d 的值是多少？ 9.2 嘗試使用而不是如上所述找到。對于什么值，您是否達到十位精度的正確答案？ 9.3 找到上面的 H 不能得到十位精度答案的函數和值。