# 7.1 二維數學 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter07/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter07/section01.html) ## 7.1a 平面幾何的回顧 本節是對平面幾何的回顧。平面幾何是關于平面中的點線和圖形的屬性（或更一般地在其他表面中）。基本概念是點和直線。不相交的線被認為是平行的。 Euclid 很久以前就注意到了以下幾點： 每對點確定包含兩者的獨特直線。 如果他們從未見過面，兩條線是平行的。 在一個平面中，每條線和一條不在其上的點確定與包含后者的前者平行的唯一線。 （在所有其他表面上都不是這樣） 每對不平行的線都有一個獨特的交點。 他從這些陳述中得出了各種奇妙的后果。 如果你在點切兩行，則每一半被稱為**射線，**從開始。  如果你在切割從開始的任何光線，你會得到另一條光線從和**線段**開始，末端為和。  兩條射線和均從開始并且僅在處相遇，確定處的兩個角度。除非和是同一直線的一部分，否則其中一個比另一個小。我們可以稱之為和。我們可以將角度描述為對應于發出的所有光線，這些光線順時針過并且在之前。  我們可以用和坐標來描述平面中的任何點。我們總是把 x 坐標放在第一位。因此表示坐標為且坐標為的點。然后可以通過其兩端的坐標來描述線段。 **如果兩個端點都具有相同的坐標，則段的長度是它們的坐標之間的差異（和和反轉相同）。** 因此坐標和的點之間的距離是。 **當兩個坐標中的點彼此不同時，我們必須定義點之間的距離。** 我們希望距離是一個有意義的概念，而不依賴于所使用的坐標系。我們選擇的定義具有重要且必要的特性，無論我們選擇哪個方向作為 x 方向，段的長度都是相同的;那個方向是我們的選擇。 （如果它們隨著那個選擇而改變，則長度和距離不是段的固有的。） 這就是定義： _**兩點之間距離的平方是每個坐標差異的平方和。** 距離是此總和 _ 的正平方根。因此，具有坐標和的點之間的距離平方是或，即;這些點之間的距離是。 我們將某個特定長度稱為單位長度，并且假設**一個段具有長度，如果它長于該單位。** 單位是什么并不重要，平面幾何與任何相同。 （順便說一句，如果我們處理的是球體的表面而不是平面，則情況并非如此。） 接下來的問題是，**我們如何描述角度？** 我們可以將任何角度聲明為單位角度，并將任何其他角度的大小與該單位角度的任何倍數相關聯。傳統上，有兩種常用的單位角度，熟悉兩者都是明智之舉。 歐幾里德（或其他一些古代人）定義了從光線的一側到另一側的所有方向獲得的**角度，為度。** （為什么？我認為答案是通過小數字很容易劃分 360;實際上 360 除了 7 之外可以被 1 到 10 之間的所有數字整除，而且它本身并不是一個非常大的數字。） 根據該定義，當和（角度的兩側）**指向彼此完全相反時出現的“**直線”角度**是度** ]。直角，即直線角度的一半，是度，依此類推。 **在處形成直角**的兩個區段或光線或線被稱為**垂直**。 第二個常用的度量涉及單位圓。這是與中心點相距所有單位距離的點集。然后我們可以通過角度內單位圓的部分的**長度來測量角度。** 單位圓周圍的距離是單位圓的圓周，即。這意味著直角的大小和直角大小是。這里的距離單位稱為**弧度**。 **什么是弧度？** 好吧，接近。因此接近或大致弧度。如果我們將除以，我們得到一個弧度接近度。） 更具體地，是 ... 是 ... 弧度是，其是度，而是。 （你最好不要試圖記住這些細節。足以記住圍繞一個圓的角度變化是度，也是弧度。這意味著一個弧度是度。如果你不想用機器得到上面的答案，你可以用代替并用 代替弧度，你就錯了略低于百分之二十分之一。） **歐幾里德從他的假設中推斷出什么？** 這是一個簡單的事實及其證據： 事實：**當線相遇時，相反的角度是相同的，任意兩個相鄰角度的總和是弧度。** _ 證明：假設線和在處相遇，并且在點的一側表示的光線，在的另一側表示的光線。為做類似的事情。然后有 4 個角度：它們是和。_ _ 然后，如果加在一起，任何連續的這些，包括和，形成一個直線角度。_ _ 這意味著，例如和加入時兩者都相同，這意味著和是相同的。_  在提到任何更多結論之前，我們再提出一個定義。假設我們的角度小于直角。 ## 7.1b 正弦函數 我們選擇一個中心點并在其周圍繪制**單位圓**。 （這是一個半徑長度為的圓。）我們在中心繪制有問題的角度，并選擇它的一側為軸（為。）。設為角度的另一側與圓相交的點。然后我們在 y 軸方向上繪制一條線段，該線段位于 x 軸和之間。 **點的坐標，即該垂直線的長度，稱為角度的正弦，寫為。** 請注意，垂直線是從 P 到 x 軸的直線，因此比沿著圓的 P 到該軸的路徑短，這是以弧度表示的角度大小。這意味著**正弦值總是小于以弧度為單位測量后者時的角度。當角度很小時，正弦非常接近角度大小，以弧度為單位，因為直線路徑和圓上的路徑幾乎相同。** 因此，當以弧度為單位測量角度時，和的的導數是。 另請注意，正弦以的角度開始，當角度變為時，正弦開始增加到。對于較大的角度，我們可以用相同的方式定義它，作為的 y 坐標。在之后，當角度增加時正弦減小，并且當我們繞圓圈四分之三處時，以角度達到。然后當增加時它再次上升。當然，當正弦為負時，它減去垂直線的長度，這對應于的坐標在那里為負的事實。 **角度經常被描述為（以弧度表示）從圍繞圓圈的到。** 這樣，角度通常對應于正 x 軸，但低于 x 軸的角度具有負大小。如果是這樣，正弦為負的角度是負角度。正弦是其角度參數的**奇函數**，意思是：  與 的角度**“互補”是側面為正 y 軸的角度和從圓心（此處為原點）到的光線。與互補角度的正弦稱為的余弦，寫為。 **該余弦是單位圓上點的坐標。** 瞥一眼圖片顯示，的余弦坐標是角度的偶函數。角度是正還是負是相同的。**  **三角形** 當小于時，描述的正弦的另一種方式是由**形成的三角形，角度的雙邊和以及垂直于一個的任何直線。方**。 該三角形具有直角，其中與垂直線相交。 的正弦值是**直線三角形**與相對的一側的長度除以與直角相對的一側的長度，稱為該三角形的斜邊。 （我認為使用希臘字母作為角度，并使用像斜邊這樣的詞來表示直角三角形的最長邊是很麻煩的，但這就是每個人所做的。）  單位圓上的點都具有長度，這意味著分量和其上所有點的分量的平方和是。 組件的長度為;它的方格是。我們可以推斷組分的平方，即必須是。這告訴我們 **** 假設我們在一條線上選擇三個不是全部的點，并按線段成對連接它們。它們形成一個三角形。每個三角形有三個邊和三個內角。 **兩個三角形**被認為是**全等，當一個三個內角與另一個內角相同時，三個邊長與另一個**相匹配。如果角度相同，即使長度不同，我們也稱它們為**相似的**三角形。 關于三角形有兩個有趣的問題：首先， _**三個邊長有什么限制，三個角度尺寸形成三角形？**_ 如果我們單獨考慮長度，為了形成三角形，**最大邊不能大于另外兩邊的總和**。 （證明：兩個較小的邊必須遇到最大邊的兩端，否則它們的長度不足以相互接觸。如果兩個較小的一邊的長度總和恰好是最大長度的總和，它們所有這些都必須位于不描述三角形的一條線上。）這種情況稱為**三角形不等式。** 我們可以證明三角形中的角度之和是弧度，但它需要使用“平行假設”。 （平行假設表示只有一條線平行于任何穿過任何點的線。）這必須是，因為三角形的角度之和不是球體表面上的弧度。如果將每對對映點定義為單個點，則球體表面上的幾何體將遵循歐幾里德公理和假設的所有其他對應點。 如果我們單獨考慮角度，我們已經看到在直角三角形中，另外兩個角度是互補的，這意味著它們的大小之和（弧度）是。因此，直角三角形的所有三個角的總和是，即直線角度。 對于任何三角形都是如此： **任何三角形的內角之和為弧度。** _ 證明：假設我們從最大角度為的三角形開始。如果我們從到繪制一條直線與后者相交的線段，我們將三角形劃分為兩個直角三角形，這兩個角度的總和是弧度。該總和由和的內角和的直線角組成。由于的角度大小為弧度，因此內角也與相加。_  _**練習 7.11：假設垂直方向使在原始三角形之外。通過類似推理證明該三角形的角度之和為弧度。** _ 第二個問題是： _**需要六個參數中的多少個（角度大小和邊長）來確定三角形的所有尺寸參數？**_ Euclid 使用帶有標尺和指南針的結構來回答這些問題，這些都很有趣。但是我們可以使用正弦的概念做得更好。有了它，我們實際上可以在確定三角形時找出缺失的信息。 顯然，如果我們所知道的三角形是一個邊長，那么有許多三角形彼此不相似，可以有一個長度的邊。如果我們只知道一個角度，情況也是如此。知道兩個角度也告訴我們第三個角度，因為所有三個角度的總和是弧度。 **意味著知道兩個角度意味著所有相同的三角形都相似，**但我們對它們的邊長不知道。 **我們將看到，知道任何特定角度對之間的兩個角度和邊長確定了所有三個長度**。 僅了解兩個邊長并不能確定角度**;知道兩個邊長和它們之間的角度確實如此，知道所有三個邊**也是如此。正如我們將要看到的那樣，有一些優雅的事實可以讓我們確定所有缺失的信息。 實際上**知道兩個邊長和 大于，知道側與第三側相交的角度，也決定了一切，** ]我們也可以在這里找到缺失的信息。 當邊長為和，大于時，我們知道側與側相交的角度，有或兩個解決方案，除了一個特殊情況（當邊長和確定一個直角三角形以便時發生。）要得到解決方案，必須至少為。 **知道三個邊長完全決定了三角形。** 我們現在將通過使用正弦來證明所有這些陳述。 **我們如何找到缺失的三角參數** 這樣做的一個工具是**正弦法**。這是聲明**側面的大小除以側面的大小，是角度對側的正弦（這是和的角度） （相反）除以角度相反的正弦。** 如果我們知道兩個角度，我們知道第三個和它們的正弦，所以如果我們知道任何一個邊長，我們知道它與所有其他邊長的比率，并且可以計算另外兩個邊長。  _ 正弦定律的證明：給定一個具有**邊長** 和的三角形，繪制一條垂直于側的線段，從它到與其相對的頂點。根據正弦的定義，該段的長度是，也是。這意味著是，這是上面的陳述。_ **練習 7.12：用頂點標簽而不是段長度標簽繪制自己的圖片并驗證這些語句。** **正弦定律告訴我們，如果我們知道三角形的所有角度，那么我們就知道它們的正弦，因此我們知道它的邊長之間的所有比率。因此，我們可以推斷出相似的三角形具有相同邊長的相同比率。** ## 7.1c 向量 在我們只知道三個邊，或兩個邊和一個角之后，如何在三角形中找到缺失參數之前，我們再做一個定義。我們使用符號來描述具有坐標和坐標的點。在這些術語中，通過給出每個端點的兩個坐標來描述線段。這很麻煩。 **出于許多目的，例如確定長度，我們并不關心細分市場的開始位置;對我們來說重要的只是兩個端點上兩個坐標之間的差異。** 這些決定了細分的長度和方向。 因此，給定端點為和的線段，兩個端點的差異在坐標中為 2，在 y 坐標中為。我們將此信息寫為，其中和在和方向被稱為單位向量，并且說給定的線段具有作為其**向量。** 實際上**這個符號描述了從到的方向的有向段;相反指向的部分是這一部分的否定。** 一般來說，**每個有向線段，比如到，定義了一個載體，即** ，中的和單位載體， 方向分別。此向量包含與對我們重要的片段相關的信息，但沒有說明它開始的位置，或和方向是什么，除了它們彼此垂直。 為了看到這個定義的用法，假設我們有一個帶有頂點，和的三角形 三角形的每一邊由這些點描述符中的兩個描述，即其兩個端點的描述符。而且我們通常對三角形在平面中的位置沒有興趣。假設我們引導細分形成一個循環。 線至具有矢量。線至具有載體。線至具有載體。 注意，對應于該循環的向量之和是向量。  **通常，對應于有向路徑的線段的一組向量的總和是從該路徑的開始到其結束的向量。在循環的情況下，這些是相同的點，因此總和是向量。** _ 證明：在形成和矢量時，中間坐標從它們的輸入矢量中加上，并從它們的輸出矢量中減去，然后輟學。只有端點的貢獻仍然存在。_ 此信息隱含在按點描述行的符號上，但該符號具有太多信息，并且更難以使用。 但奇妙的是，給定兩個線段，我們可以輕松地從它們的向量中提取重要信息。第一點信息是所謂的**點積：**給定，，它們的點積是。 **你像組件一樣將它們相加并加起來**。我們已經看到**矢量與其自身的點積給出了其線段長度的平方。** 一般來說，正如我們將要證明的那樣，兩個不同向量的點積**給出了兩個段長度的乘積，乘以它們之間角度的余弦。它們之間的角度**是你用相同的后頂點向上排列兩個線段時所得到的角度。 當兩個分段形成循環三角形的邊界的一部分時，三角形的內角不是它們之間的大小角度，而是具有大小，并且該角度的余弦是 。 **繪制圖片并使用它們來驗證此聲明。** 這里對點積的評價證明來自于該產品是**不變量的事實。** 這意味著它不依賴于坐標系的方向。 **你怎么知道點積是一個不變量？** 聲明：如果我們旋轉坐標以便單位矢量被替換而被替換，則任何兩個矢量之間的點積不會改變。 _**練習 7.13：證明這是指向方向的載體和一般載體。** _ 這意味著我們可以選擇我們的坐標系，以便長度為的第一個矢量指向方向，這樣就是。當和之間的角度是時，第二載體類似地是。根據其定義，兩者的點積是。 **余弦定律：如果三個有向線段形成一個循環三角形，那么它們的邊長，和服從，其中是三角形的內角。 和細分相遇。** _ 證明：我們已經看到三角形所有邊的向量之和是向量。這意味著區段的載體減去和載體的總和。_ _或長度的平方則是和向量之和的平方，它是該和與其自身的點積。這是，（記住和段相遇的內角是）。結論來自以下事實：。_ **我們可以立即從這個定律看出知道和和確定，并且知道，和確定。** **因此，這個余弦定律允許我們推導出三個邊長或兩個邊長的三角形的所有邊長和角度以及兩個相應邊之間的角度。** 可以推導出所有信息的另一種情況是，在上面的公式中，我們知道和和，這是和相遇的角度，比大。在余弦定律中填充給定信息會產生的二次方程。當小于時，該等式的兩個解中的一個是負的，因此我們可以通過找到所獲得的二次方程的一個正解來確定唯一解。 **練習 7.14：定義和的長度和角度，得到的二次方程并找到其正解。驗證其他解決方案是否定的。** **跨產品和領域** 我們已經在上面看到兩個向量的點積（以及它們自身的點積）如何傳達關于它們描述的段的有用信息，即它們的長度與它們之間角度的余弦的乘積。 我們可以用平面中的矢量稱為**交叉積**。該產品不僅取決于線段的方向，還取決于放置線段的順序。但這很簡單。 在形成點積時，您可以像組件一樣進行乘法并添加它們。 **在形成叉積時，您將與組件不同地相乘并減去它們。** 顯然你得到的信號取決于你減去哪個。這取決于您而不是細分。但是，交叉產品的規模具有實際意義。 **是由兩個線段形成的平行四邊形的區域作為相鄰邊。這是三角形面積的兩倍，這些線段作為邊**。 證明：_ 平行四邊形的面積是它的基本長度乘以它的高度。如果基部具有長度而另一側，長度與基部形成角度，則高度為，并且面積為。如果方向上的點，那正是交叉積的大小。結論是在坐標旋轉下交叉乘積的不變性之后得出的，這證明了正好證明了點積的不變性。_ 假設我們有載體和，它們的交叉產物是（符號）。因此，它們形成的平行四邊形具有面積，它們形成的三角形具有該區域的一半或。 **載體與其自身的雜交產物是。** 順便說一下，點和十字產品可以形成更高的尺寸。在三個維度中，點具有三個分量，矢量也是如此。 **點積在任何維度上以與相似組件的乘積之和相同的方式定義，并且總體上具有相同的含義。** **二維交叉產品涉及兩個組件。在更高的尺寸中，它通過采用每對坐標的二維交叉積而形成。** 在三維中，您可以將和組件相乘并減去，并且可以對和組件以及和坐標進行相同的操作。我們通過制備這些載體來使**的，和組分成為交叉產物載體。**  （項是普通的二維，交叉積。你可以通過將改為，改為和改為[其他術語]來確定其他術語。 ，到，到，到，一次，也是兩次。） **三個維度中的兩個向量的叉積垂直于這些向量所代表的區段的平面。其大小是任何平行四邊形的面積，其邊由這些向量表示。** **給定三個載體，和，與的點積是平行六面體的體積，其側面由這些載體描述。** _**練習：1。證明這兩個陳述。 （提示：選擇方向，使得方向上的矢量 a 和位于平面。**_ _**2.給定兩個彼此垂直的線段。所有這些都意味著他們的載體的點積？關于他們的交叉產品的大小？**_