# 18.1 捕食者獵物模型 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter18/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter18/section01.html) 假設我們有兩種動物。 型動物吃型。我們認為，在沒有類型的動物的情況下，類型的動物將無法進食，并會死亡或離開以避免這樣做。另一方面，我們假設在沒有類動物的情況下，類型將有更好的生存機會，并將經歷人口增長。 設代表我們型動物區域的種群。在沒有類型生物的情況下，最簡單的模型是種群的變化是本身的負數倍：  同樣，在沒有生物的情況下，對于某些，類型的群體行為的簡單模型將顯示增加和服從，  如果或為，和之間的相互作用必須是。最簡單的相互作用模型是中每單位時間的變化對某些的的貢獻，對某些的影響 HTG12]。 對于這種情況，我們最簡單的模型就是這種形式  和  那么我們可以對這個模型中這些人群的行為說些什么呢？ 我們可以先尋找穩態解決方案。當兩個導數都是時會發生這些情況。當發生這種情況時，兩個物種的種群保持不變。這種解決方案稱為方程的固定點。 這種情況發生在和 和時。 如果或中的小偏差趨于消失并且至少不向外螺旋，則認為定點解是穩定的。您可以通過數字“積分”這些方程式來研究此固定點的穩定性，對于您選擇的，，和的值。從和的值開始，從固定點略微偏離并向前移動，發現和完全像在積分中一樣（在[第 14 章](../chapter14/contents.html)中討論過） ]），使用左手規則。 在平面中往往會發生的是，解決方案通常會向固定點螺旋式上升。 如果在這個平面上有一個軌道，沒有其他軌道可以越過它，因為在一個共同點上，兩者的導數是相同的，這意味著軌道在之后是相同的。 **練習：使用電子表格進行設置，并檢查此結論。** 例如，如果人口突然從其固定點值減少，你可以定性地看到會發生什么。這導致從其固定點處的值減少，從而群體減少。這反過來導致的增加。因此，如果是用于繪制軌道的垂直坐標，從固定點下方開始，軌道繞其逆時針移動。 您甚至不需要電子表格來查看解決方案的行為方式。給定起點，您可以從中繪制一個箭頭，指向其切線為該點處導數與導數之比的方向。然后沿該箭頭選擇一個小距離的點，并重復這些步驟。您將在平面中生成系統的近似軌道。 如何發揮作用在很大程度上取決于兩個人口從減少中恢復的速度。 一個有趣的案例是蒼蠅是獵物，鳥類是食用它們的捕食者。如上所述，如果減少飛行種群，也會減少鳥類數量。然而，蒼蠅種群恢復相對較快，大約幾周，而鳥類種群恢復數年。因此，鳥類種群往往會在短時間內下降，但只能緩慢地再次上升到它們的固定點值。這意味著蒼蠅種群會在相當長的時間內增加，并且大部分時間都會花在遠高于固定點值的水平上。因此，除非非常短暫，否則殺死蒼蠅的活動并不是減少蒼蠅種群的有效方法。