# 17.1 垂直運動建模 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter17/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter17/section01.html) 我們在 [**第 4 章**](../chapter04/contents.html) 中觀察到，區分有理函數的規則都可以從一個主規則推導出來：要區分的函數中每個變量的出現都可以被替換為，忽略其他人，導數是結果的總和。該陳述表示導數是函數的線性近似的斜率并且在變量中是線性的，并且線性貢獻可以逐個評估并添加。 基本上這個相同的屬性意味著在構建真實現象的導數行為模型時，可以分別輸入不同來源的導數的影響，一次一個，忽略其他來源，總影響將是這些影響的總和。 。 現在考慮一個物體的垂直運動。牛頓觀察到，如果一個物體獨自存在，它將繼續做它正在做的事情，這樣它的速度就會保持不變。這種速度如何變化，可以用它的導數來描述，然后與他所謂的“力量”迫使其改變成比例。 蘋果從樹上掉下來，隨著它們的下落速度越來越快。他將這種行為歸因于引力，而他對這種力量的模型是物體在地面上經歷了不斷向地球的負重力。 很明顯，較重的物體需要更大的力才能移動它們。因此，他的模型是物體的重量（質量）乘以其高度的二階導數，由作用在其上的重力給出。注意到物體的速度與其重量無關，他的模型是，是一個普遍常數。 那時他的落物模型就是  我們可以解決這個等式。速度必須具有導數，這是一個常數。對此的一般解決方案是。這告訴我們的導數是的線性函數，這意味著是二次函數：  現在讓我們考慮空氣阻力。物體的空氣阻力取決于它們的形狀和大小。對于任何物體，當它處于靜止狀態時沒有空氣阻力，因此最簡單的模型是空氣的力在其速度和與其相反的方向上是線性的：比如說。 然后的等式變為  請注意，當時，此等式的右側為。這意味著從靜止開始的墜落物體將越來越快地下降，直到其向下的速度達到該值，此時它的速度將變為恒定。因此，物體（想象一個帶降落傘的人）將達到這種“終極速度”，而不是越來越快地撞到某物。 我們可以通過將定義為來解決這個等式; 與具有相同的導數，因此它的等式為。這個等式的解是，這意味著根據該模型，落下的物體以指數以指數方式快速逼近其終端速度。 您會注意到，在的模型中，重力和空氣阻力的貢獻是單獨添加的術語，這些貢獻完全混合在的解決方案中。 這種更有趣的問題涉及普通三維空間中物體的行為。 牛頓發明了微積分來解決從他的模型中得出的方程式。特別是他用它來描述行星的運動，這些行星被重力吸引到彼此和太陽上，每一對分別用兩個質量的力相互吸引，兩者的質量除以它們的距離的平方。同樣，任何星球上的力量都是來自其他星球的力量的總和。對于第一近似，來自太陽的吸引力占主導地位，并且他能夠解決一個行星圍繞太陽的行星運動的方程。解決方案是軌道是橢圓形，太陽位于其焦點之一。具有許多變量的微積分允許這些方程的公式化和求解。