# 17.2 彈簧建模（諧波振蕩器） > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter17/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter17/section02.html) 彈簧是一種可以展開或收縮的裝置，但是當你這樣做時它會試圖回到平衡位置。假設一個重量的物體附著在重量可忽略不計的彈簧末端，其平衡位置為。然后當重量位于時彈簧上的力是，其中是所謂的裝置的“彈簧常數”。 然后系統的運動方程為或。 我們知道這個等式的一般解，因為我們可以將它識別為和時滿足的等式。這里振蕩的“頻率”是，因為正弦和余弦作為其周期的參數的函數重復。 （我們使用弧度作為我們的角度測量。） **練習 17.1：區分下面的函數，并證明它是無摩擦彈簧方程的一般解：**  這個通用解決方案也可以寫成指數的總和; （），適用于和。 這種解決方案讓彈簧永遠振蕩。 實際上，在運動中也存在摩擦，如前一部分中的摩擦可以通過在形式的力中添加一個術語來建模。 然后運動方程變為  我們可以通過尋找形式的解來解決這個等式。將此形式代入的等式，我們得到：  的二次函數具有解。 的兩個解決方案取代了無摩擦問題中出現的兩個指數和。這些解決方案中的第一項在的解決方案中產生指數阻尼因子 只要小于，的這些解決方案中的第二項就是虛數，因此與相比，它們會產生頻率降低的正弦行為。因此，根據前一段中討論的因素以指數方式消失，并且根據這個因素進行振蕩。 當為或更高時，的解是實數，彈簧被認為是臨界阻尼。完全沒有振蕩，只有平衡位移的指數衰減，作為時間的函數。 上述模型很有用，但并不十分令人興奮。當我們考慮受外部刺激影響的彈簧時，可以獲得更有趣的結果。