# 13.2 微積分和確定區域的基本定理 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter13/section02.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter13/section02.html) 我們對積分的導數感興趣  相對于上限，。 我們可以通過評估非常小的來粗略計算這個導數。 但只是  和之間的區域只是一個條子，其中非常接近。所以和之間的這個區域的區域只是，其中是條子的寬度，是它的高度，到第一個近似值。 這告訴我們的導數，即參數中正弦函數積分的導數，是這個區域除以，即。 **完全相同的結果適用于任何函數，其參數值足夠接近，它與的值盡可能接近。 （這些被稱為連續函數）適用于所有之間的集成限制。** 這個結果是**被稱為微積分的基本定理**。它說：**如果你區分一個函數的積分，那么在包含積分**的閉合區間中的參數處是連續的（這是條件，如果值非常接近）如果你想足夠接近）**，你可以在論證中找回被積函數的值。** 另一種說法是：**上限為變量的積分，**是我們剛剛定義的一個區域，**是其被積函數的反導數，當該被積函數是連續的時。** 這意味著**積分函數然后將結果與上限區分開來，返回函數。** **我們也可以以相反的順序做出相同的聲明。** 假設我們從可微分函數開始，并形成其導數，并將此導數積分到某處，比如和。 換句話說，假設我們形成  然后基本定理告訴我們：。 為了看到這一點，請記住，如果在參數中是可微分的，那么足夠小，我們可以達到任何所需的精度：  如果我們將之間的間隔切割成適合于每個值的給出的寬度切片，我們可以總結方程任何一側對所有切片的貢獻。我們對每個切片使用相同的值 上面最后一個等式中正負項的總和將給出小切片中面積的總和。這筆錢將“望遠鏡”。來自一個切片的左項將是具有相反符號的前一切片的右項;這兩個將相互抵消，我們將只從第一個和最后一個切片獲得貢獻。這意味著：  這是基本定理的標準形式。 **這個“基本定理”有什么用？** 這個定理及其類似物在更高維度上的使用在歷史上是如此重要，以至于它們不能被夸大。我們將在這里忽略這些。出于我們的目的，這個定理的主要用途是允許我們**評估積分，即曲線**下的區域，用于大量的被積函數。 **什么被積分** **？** 對于初學者，我們可以積分**我們可以識別為導數的任何被積函數。** 例如，正弦是減去余弦的導數。將上面的最后一個等式應用于這個事實，我們得到了  我們用作例子的原始區域是到的正弦積分。這是\（\ cos（0） - \ cos（1）\）或。 **我們還能識別出什么？** 1\. 的任何冪，例如，因此任何多項式或冪的總和。 2.任何的指數函數和。 3.反正切，正切和反正弦的導數，以及更多。 **練習：計算如下定義的積分：** **13.1 從到的整數。** **13.2 從到的整數。** **13.3 從到的整數。** **13.4 從到的整數。** **13.5 寫下一些可怕的函數。區分它。現在請一位朋友（前朋友？）積分你的結果。你會知道答案！** **13.6 記住這個單獨的出現規則。區分（相對于 t）：。**