# 11.1 求解方程 > 原文： [http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter11/section01.html](http://math.mit.edu/~djk/calculus_beginners/chapter11/section01.html) 如果我們有一個線性方程，例如，則有一個簡單的解決方法。你應用“方程式的黃金法則”：向左邊做你正確做的事情。你做到這一點，直到你左邊的所有東西都是。 因此，在這個例子中，您可以向兩側添加，除去左側的，然后除以，結果為：。 然而，假設我們有一個更復雜的等式，例如  我們的任務是找到這樣一個等式的解決方案或所有解決方案。 **我們假設我們方程中的函數在我們感興趣的領域中是連續的和可微的。** 首先要注意的是，在這里繪制左側是一個好主意，并粗略地觀察它改變符號的位置或非常接近。這將告訴你它的大致位置。 在過去，這是一項非常繁瑣的任務，總的來說，人們試圖在沒有繪圖的情況下解決方程，這有點像飛行盲目。如果你能做到這沒關系，但為什么不嘗試呢？ 有一種解決這些方程式的標準技術顯然可以追溯到牛頓。在這里。 你開始猜測你尋求的解決方案，選擇一個參數，稱之為。然后，您可以在參數中找到函數的線性逼近，并求解表示此線性逼近為的等式。調用線性逼近為，的參數。 現在你做同樣的事情，從開始：你在找到的線性近似，并求解這個線性近似是以確定的等式。只要你需要，你就繼續這樣做。 在過去，對于任何函數而言，這是一件非常繁瑣的事情。從中找到非常簡單，但一次又一次地執行它是一個真正的問題。 現在有了電子表格，您可以在一分鐘內完成設置，并通過練習找到解決方案。您只需執行一次每個步驟，然后復制。 **怎么樣？** 首先讓我們看看如何從獲得。 的的線性近似由下式給出  如果我們在參數將其設置為，我們得到  具有通過適當地從兩側分開和減去而獲得的解決方案  **那我該怎么做電子表格呢？** 假設我們在框 A1 中進行了第一次猜測。我們將把它和隨后的猜測放在 A 欄開頭說，用 A3（只是留下標簽的空間）。 然后我們可以將放在 B 列中，將放在 C 列中。 為此，我們需要進行以下輸入： 在 A3 中，輸入= A1（這將在 A3 中開始猜測） 在 B3??中，= f（A3）（這計算） 在 C3 中，= f'（A3）（此計算） ） 在 A4 中，= A3-B3 / C3（這適用于獲得新猜測的算法） 如果現在復制 A4（而不是 A3！）以及 A，B 和 C 列中的 B3 和 C3，則已實現該算法。 您可以通過更改 A1 來更改起始猜測，并通過適當更改 B3 和 C3 來更改您的函數，并將結果復制下來。 **這真的有用嗎？** 這種方法在大多數時間內收斂得非常快。如果你從的附近開始，并且處于“好的一面”，它將始終收斂。否則它很有可能這樣做，但奇怪的事情可能會發生。 **什么是“好的一面”？** 假設您從解決方案開始，調用解決方案，因此大于。那么如果和的二階導數在和之間都是正的，那么你就是好的一面。 **為什么？** 在和之間的二階導數是正的，意味著的一階導數在和之間增加，這意味著的斜率是最大的，在和之間的范圍內，正好在。 所有這些意味著 的線性近似將比更快地下降到，因為你靠近溶液，因此將位于和之間。 。每個連續的將位于 z 和前一個之間。隨著我們接近，看起來會越來越像一條直線，這意味著它看起來會越來越像它的線性近似，所以你會越來越接近越來越快。 **假設我們想要求解方程，我們從開始作為猜測。** 左側的導數是。 填寫完成后，我們的電子表格說明應如下所示： 在 A1 中，輸入 0.3 在 A2 中，輸入 xj。在 B2 中，f（xj）。在 C2 中，f'（xj）。 在 A3 中，= A1。在 B3 中，= sin（A3）-exp（A3）+2。在 C3 中，= cos（A3）-exp（A3） 在 A4 中，= A3-B3 / C3。在 B4 中，= sin（A4）-exp（A4）+2。在 C4 中，= cos（A4）-exp（A4） 向下復制列 A，B 和 C. &lt;button aria-controls="newtons-method-spreadsheet" aria-expanded="false" class="btn bg-light border-secondary" data-target="#newtons-method-spreadsheet" data-toggle="collapse" id="toggle-spreadsheet-table" type="button"&gt;顯示表&lt;/button&gt;[](../download/newtons-method.xlsx) Number of steps<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-steps-btn" type="button" value="25">25</button>[5](#) [10](#) [25](#) [50](#)Number of digits after decimal point<button aria-expanded="false" aria-haspopup="true" class="btn btn-sm bg-light border-secondary dropdown-toggle" data-toggle="dropdown" id="nbr-digits-btn" type="button" value="10">10</button>[5](#) [10](#) [15](#) 當你從而不是開始時會發生什么？在？在？ **練習：** **11.1 假設在為陰性且大于。 和之間的條件是什么意味著你有好的一面？  為正，但小于的條件是什么條件讓你處于良好的一面？** **11\. 2 如果的符號錯誤但你的猜測與之間的符號相同，會發生什么？** 盡管如此，這種方法可以做出奇怪的事情。如果在猜測時，迭代甚至沒有意義，因為你將除以。如果非常靠近，那么新的猜測將與舊的猜測相距甚遠，并且它可以奇怪地拉鏈。 以下小程序允許您只需輸入函數即可繪制和查看方法。 （這比使用電子表格從頭開始稍微簡單一些）。 &lt;iframe frameborder="0" height="620" src="../mathlets/newtons-method.html" width="100%"&gt;&lt;/iframe&gt; **練習：** **11.3 如果您尋找的解決方案，并嘗試直接使用此方法，會發生什么？ 怎么樣？** **11.4 查找正的所有解，精確到十位小數。** 我是否必須區分才能應用此算法？ **不！您可以選擇相對于函數比例非常小的 d 值，并將=（f（A3 + d）-f（A3-d））/（2 * d）放在 C3 而不是= f'（ A3）。** 這幾乎與常規的牛頓方法一樣。 **練習 11.5 在 C3 中重做練習 11.5，=（f（A3 + B $ 1）-f（A3-B $ 1）/（2 * B $ 1）。你的答案如何受到影響？** **可能出什么問題？** 首先，我們的等式可能沒有真正的解決方案。在那種情況下，這兩種方法都找不到。針對繪制將確認這一點。 當你的方程有多個解時，會出現另一個問題。那么你得到的取決于你從哪里開始。 Applet 說明了這一點。 **一般來說，如果你到達接近零的點，而不接近零，將會很遠，的連續值可以即使您曾經接近您正在尋找的解決方案，也可以像瘋了一樣輕松縮放。** 但是這種方法無論如何都很有趣，你可以很容易地判斷它什么時候不起作用。 **分而治之** 還有另一種求解方程的方法，在每次迭代時通過因子更接近解，**如果你能找到參數，你的函數有相反的符號**。然后，您可以查看它們之間的中點，并用中點替換該函數與中點處具有相同符號的端點。 **練習：弄清楚如何在電子表格上實現此方法。 （提示：您可以輸入= if（D5 * F5&gt; 0，C5，A5），如果 D5 和 F5 具有相同的符號則給出 C5，否則輸入 A5。）**