## 3.6 獨立性 “獨立”一詞在統計學中有著非常具體的含義，這與該詞的常用用法有些不同。兩個變量之間的統計獨立性意味著知道一個變量的值并不能告訴我們關于另一個變量的值。這可以表示為：  也就是說，給定某個 b 值的概率與 a 的總體概率相同。這樣看，我們看到世界上許多我們稱之為“獨立”的情況實際上并不是統計上獨立的。例如，目前有一個由加利福尼亞州公民組成的小組宣布成立一個新的獨立州杰斐遜，該州將包括加利福尼亞州北部和俄勒岡州的一些縣。如果發生這種情況，那么當前加利福尼亞州居民現在居住在杰斐遜州的概率將是，而他們仍然是加利福尼亞州居民的概率將是。新的國家在政治上可能是獨立的，但他們在統計上不會是獨立的，因為（HTG4）！也就是說，雖然公共語言中的獨立性通常指的是排他的集合，但是統計獨立性指的是這樣一種情況，即人們不能從另一個變量的值中預測關于一個變量的任何東西。例如，知道一個人的頭發顏色不太可能告訴你他們喜歡巧克力還是草莓冰淇淋。 讓我們來看另一個例子，使用 nhanes 數據：身體健康和心理健康是相互獨立的嗎？NHANES 包括兩個相關問題：【htg0】physactive【htg1】，詢問個人是否有體力活動；以及【htg2】daysmenthlthbad【htg3】，詢問個人在過去 30 天中有多少天的精神健康狀況不佳。我們將定義一個新的變量，稱為“不良心理健康”，即在上個月有超過 7 天的不良心理健康，然后通過詢問簡單的不良心理健康概率是否與不良心理健康的條件概率不同來確定它們是否獨立。即使身體很活躍。 ```r # compute probabilities for mental health and physical activity NHANES_adult <- NHANES %>% dplyr::filter( Age >= 18, !is.na(PhysActive), !is.na(DaysMentHlthBad) ) %>% mutate(badMentalHealth = DaysMentHlthBad > 7) NHANES_MentalHealth_summary <- NHANES_adult %>% summarize(badMentalHealth = mean(badMentalHealth)) pander(NHANES_MentalHealth_summary) ``` <colgroup><col style="width: 23%"></colgroup> | 心理健康 | | --- | | 0.164 個 | ```r NHANES_MentalHealth_by_PhysActive <- NHANES_adult %>% group_by(PhysActive) %>% summarize(badMentalHealth = mean(badMentalHealth)) pander(NHANES_MentalHealth_by_PhysActive) ``` <colgroup><col style="width: 18%"> <col style="width: 23%"></colgroup> | 物理激活 | badMentalHealth | | --- | --- | | 不 | 0.2 條 | | 是的 | 0.132 個 | 由此我們可以看出是 0.1640567，而是 0.1320808。因此，條件概率似乎比總概率小一些，這表明它們不是獨立的，盡管我們不能通過觀察數字來確定。在課程的后面，我們將遇到一些工具，這些工具將使我們更直接地量化兩個變量是否獨立。