## 5.3 什么使模型“良好”?
從我們的統計模型中,我們通常需要兩種不同的東西。首先,我們希望它能夠很好地描述我們的數據;也就是說,我們希望它在建模數據時具有盡可能低的錯誤。第二,我們希望它能夠很好地概括為新的數據集;也就是說,當我們將其應用于新的數據集時,我們希望它的錯誤盡可能低。事實證明,這兩個特性經常會發生沖突。
為了理解這一點,讓我們考慮一下錯誤的來源。首先,如果我們的模型是錯誤的,就可能發生這種情況;例如,如果我們不準確地說身高隨年齡而下降而不是上升,那么我們的錯誤將高于正確模型的錯誤。同樣,如果我們的模型中缺少一個重要因素,這也會增加我們的誤差(就像我們把年齡從模型中排除在身高之外時那樣)。然而,即使模型是正確的,誤差也可能發生,因為數據的隨機變化,我們通常稱之為“測量誤差”或“噪聲”。有時,這實際上是由于我們的測量誤差造成的——例如,當測量值依賴于人時,例如使用秒表測量競走中經過的時間。在其他情況下,我們的測量設備是高度精確的(像測量體重的數字秤),但被測量的東西受到許多不同因素的影響,這些因素導致它是可變的。如果我們知道所有這些因素,那么我們就可以建立一個更精確的模型,但事實上,這幾乎不可能。
讓我們用一個例子來說明這一點。我們不使用實際數據,而是為示例生成一些數據;我們將在本課程后面更詳細地討論模擬數據的生成。假設我們想了解一個人的血液酒精含量(BAC)和他們在模擬駕駛考試中的反應時間之間的關系。我們可以生成一些模擬數據并繪制關系圖(參見圖[5.5](#fig:BACrt)的面板 A)。

圖 5.5 駕駛試驗中血液酒精含量與反應時間的模擬關系,最佳擬合線性模型。A:線性關系,測量誤差小。B:線性關系,測量誤差較大。C:具有低測量誤差和(不正確)線性模型的非線性關系
在這個例子中,反應時間隨血液中的酒精含量而有系統地增加——藍線表示最合適的模型,我們可以看到誤差很小,這很明顯,所有的點都非常接近這條線。
我們也可以想象數據顯示相同的線性關系,但有更多的誤差,如圖[5.5](#fig:BACrt)的面板 B 所示。在這里,我們看到仍然有一個系統的反應時間增加與細菌,但它是更多的個人變量。
這兩個例子都是 _ 線性模型 _ 似乎合適的,并且誤差反映了我們測量中的噪聲。線性模型規定兩個變量之間的關系遵循直線。例如,在線性模型中,無論 BAC 的級別如何,BAC 的變化總是與反應時間的特定變化相關。
另一方面,還有其他情況下線性模型是不正確的,并且由于沒有正確地指定模型,誤差會增加。假設我們對咖啡因攝入量和測試表現之間的關系感興趣。咖啡因等興奮劑與測試成績之間的關系往往是非線性的,也就是說,它不遵循直線。這是因為隨著咖啡因含量的減少(當這個人變得更加警覺時),工作表現也會隨之上升,但隨著咖啡因含量的增加(當這個人變得緊張和緊張時),工作表現也會開始下降。我們可以模擬這種形式的數據,然后將線性模型擬合到數據中(參見圖[5.5](#fig:BACrt)的面板 C)。藍線表示最符合這些數據的直線;顯然,存在高度錯誤。雖然在測試表現和咖啡因攝入量之間有著非常合法的關系,但它是一條曲線而不是一條直線。線性模型誤差很大,因為它是這些數據的錯誤模型。
- 前言
- 0.1 本書為什么存在?
- 0.2 你不是統計學家-我們為什么要聽你的?
- 0.3 為什么是 R?
- 0.4 數據的黃金時代
- 0.5 開源書籍
- 0.6 確認
- 1 引言
- 1.1 什么是統計思維?
- 1.2 統計數據能為我們做什么?
- 1.3 統計學的基本概念
- 1.4 因果關系與統計
- 1.5 閱讀建議
- 2 處理數據
- 2.1 什么是數據?
- 2.2 測量尺度
- 2.3 什么是良好的測量?
- 2.4 閱讀建議
- 3 概率
- 3.1 什么是概率?
- 3.2 我們如何確定概率?
- 3.3 概率分布
- 3.4 條件概率
- 3.5 根據數據計算條件概率
- 3.6 獨立性
- 3.7 逆轉條件概率:貝葉斯規則
- 3.8 數據學習
- 3.9 優勢比
- 3.10 概率是什么意思?
- 3.11 閱讀建議
- 4 匯總數據
- 4.1 為什么要總結數據?
- 4.2 使用表格匯總數據
- 4.3 分布的理想化表示
- 4.4 閱讀建議
- 5 將模型擬合到數據
- 5.1 什么是模型?
- 5.2 統計建模:示例
- 5.3 什么使模型“良好”?
- 5.4 模型是否太好?
- 5.5 最簡單的模型:平均值
- 5.6 模式
- 5.7 變異性:平均值與數據的擬合程度如何?
- 5.8 使用模擬了解統計數據
- 5.9 Z 分數
- 6 數據可視化
- 6.1 數據可視化如何拯救生命
- 6.2 繪圖解剖
- 6.3 使用 ggplot 在 R 中繪制
- 6.4 良好可視化原則
- 6.5 最大化數據/墨水比
- 6.6 避免圖表垃圾
- 6.7 避免數據失真
- 6.8 謊言因素
- 6.9 記住人的局限性
- 6.10 其他因素的修正
- 6.11 建議閱讀和視頻
- 7 取樣
- 7.1 我們如何取樣?
- 7.2 采樣誤差
- 7.3 平均值的標準誤差
- 7.4 中心極限定理
- 7.5 置信區間
- 7.6 閱讀建議
- 8 重新采樣和模擬
- 8.1 蒙特卡羅模擬
- 8.2 統計的隨機性
- 8.3 生成隨機數
- 8.4 使用蒙特卡羅模擬
- 8.5 使用模擬統計:引導程序
- 8.6 閱讀建議
- 9 假設檢驗
- 9.1 無效假設統計檢驗(NHST)
- 9.2 無效假設統計檢驗:一個例子
- 9.3 無效假設檢驗過程
- 9.4 現代環境下的 NHST:多重測試
- 9.5 閱讀建議
- 10 置信區間、效應大小和統計功率
- 10.1 置信區間
- 10.2 效果大小
- 10.3 統計能力
- 10.4 閱讀建議
- 11 貝葉斯統計
- 11.1 生成模型
- 11.2 貝葉斯定理與逆推理
- 11.3 進行貝葉斯估計
- 11.4 估計后驗分布
- 11.5 選擇優先權
- 11.6 貝葉斯假設檢驗
- 11.7 閱讀建議
- 12 分類關系建模
- 12.1 示例:糖果顏色
- 12.2 皮爾遜卡方檢驗
- 12.3 應急表及雙向試驗
- 12.4 標準化殘差
- 12.5 優勢比
- 12.6 貝葉斯系數
- 12.7 超出 2 x 2 表的分類分析
- 12.8 注意辛普森悖論
- 13 建模持續關系
- 13.1 一個例子:仇恨犯罪和收入不平等
- 13.2 收入不平等是否與仇恨犯罪有關?
- 13.3 協方差和相關性
- 13.4 相關性和因果關系
- 13.5 閱讀建議
- 14 一般線性模型
- 14.1 線性回歸
- 14.2 安裝更復雜的模型
- 14.3 變量之間的相互作用
- 14.4“預測”的真正含義是什么?
- 14.5 閱讀建議
- 15 比較方法
- 15.1 學生 T 考試
- 15.2 t 檢驗作為線性模型
- 15.3 平均差的貝葉斯因子
- 15.4 配對 t 檢驗
- 15.5 比較兩種以上的方法
- 16 統計建模過程:一個實例
- 16.1 統計建模過程
- 17 做重復性研究
- 17.1 我們認為科學應該如何運作
- 17.2 科學(有時)是如何工作的
- 17.3 科學中的再現性危機
- 17.4 有問題的研究實踐
- 17.5 進行重復性研究
- 17.6 進行重復性數據分析
- 17.7 結論:提高科學水平
- 17.8 閱讀建議
- References