## 5.3 什么使模型“良好”？ 從我們的統計模型中，我們通常需要兩種不同的東西。首先，我們希望它能夠很好地描述我們的數據；也就是說，我們希望它在建模數據時具有盡可能低的錯誤。第二，我們希望它能夠很好地概括為新的數據集；也就是說，當我們將其應用于新的數據集時，我們希望它的錯誤盡可能低。事實證明，這兩個特性經常會發生沖突。 為了理解這一點，讓我們考慮一下錯誤的來源。首先，如果我們的模型是錯誤的，就可能發生這種情況；例如，如果我們不準確地說身高隨年齡而下降而不是上升，那么我們的錯誤將高于正確模型的錯誤。同樣，如果我們的模型中缺少一個重要因素，這也會增加我們的誤差（就像我們把年齡從模型中排除在身高之外時那樣）。然而，即使模型是正確的，誤差也可能發生，因為數據的隨機變化，我們通常稱之為“測量誤差”或“噪聲”。有時，這實際上是由于我們的測量誤差造成的——例如，當測量值依賴于人時，例如使用秒表測量競走中經過的時間。在其他情況下，我們的測量設備是高度精確的（像測量體重的數字秤），但被測量的東西受到許多不同因素的影響，這些因素導致它是可變的。如果我們知道所有這些因素，那么我們就可以建立一個更精確的模型，但事實上，這幾乎不可能。 讓我們用一個例子來說明這一點。我們不使用實際數據，而是為示例生成一些數據；我們將在本課程后面更詳細地討論模擬數據的生成。假設我們想了解一個人的血液酒精含量（BAC）和他們在模擬駕駛考試中的反應時間之間的關系。我們可以生成一些模擬數據并繪制關系圖（參見圖[5.5](#fig:BACrt)的面板 A）。  圖 5.5 駕駛試驗中血液酒精含量與反應時間的模擬關系，最佳擬合線性模型。A：線性關系，測量誤差小。B：線性關系，測量誤差較大。C：具有低測量誤差和（不正確）線性模型的非線性關系 在這個例子中，反應時間隨血液中的酒精含量而有系統地增加——藍線表示最合適的模型，我們可以看到誤差很小，這很明顯，所有的點都非常接近這條線。 我們也可以想象數據顯示相同的線性關系，但有更多的誤差，如圖[5.5](#fig:BACrt)的面板 B 所示。在這里，我們看到仍然有一個系統的反應時間增加與細菌，但它是更多的個人變量。 這兩個例子都是 _ 線性模型 _ 似乎合適的，并且誤差反映了我們測量中的噪聲。線性模型規定兩個變量之間的關系遵循直線。例如，在線性模型中，無論 BAC 的級別如何，BAC 的變化總是與反應時間的特定變化相關。 另一方面，還有其他情況下線性模型是不正確的，并且由于沒有正確地指定模型，誤差會增加。假設我們對咖啡因攝入量和測試表現之間的關系感興趣。咖啡因等興奮劑與測試成績之間的關系往往是非線性的，也就是說，它不遵循直線。這是因為隨著咖啡因含量的減少（當這個人變得更加警覺時），工作表現也會隨之上升，但隨著咖啡因含量的增加（當這個人變得緊張和緊張時），工作表現也會開始下降。我們可以模擬這種形式的數據，然后將線性模型擬合到數據中（參見圖[5.5](#fig:BACrt)的面板 C）。藍線表示最符合這些數據的直線；顯然，存在高度錯誤。雖然在測試表現和咖啡因攝入量之間有著非常合法的關系，但它是一條曲線而不是一條直線。線性模型誤差很大，因為它是這些數據的錯誤模型。