## 15.5 比較兩種以上的方法 通常我們想比較兩種以上的方法來確定它們之間是否存在差異。假設我們正在分析一項治療高血壓的臨床試驗的數據。在研究中，志愿者被隨機分為三種情況：藥物 1、藥物 2 或安慰劑。讓我們生成一些數據并繪制它們（參見圖[15.6](#fig:DrugTrial)）  圖 15.6 顯示我們臨床試驗中三個不同組的血壓的方框圖。 ### 15.5.1 方差分析 我們首先要驗證一個無效的假設，即所有組的平均值都是相等的——也就是說，兩種治療都沒有任何效果。我們可以使用一個名為 _ 方差分析 _（anova）的方法來實現這一點。這是心理統計學中最常用的方法之一，我們將只觸及表面。方差分析背后的基本思想是我們在關于一般線性模型的章節中已經討論過的，事實上，方差分析只是這種模型具體實現的一個名稱。 記住，從上一章我們可以將數據中的總方差（）劃分為模型（）解釋的方差和非模型（）解釋的方差。然后我們可以通過除以它們的自由度來計算每一個的 _ 均方 _；對于誤差，這是（其中是我們計算的平均數），對于模型，這是：   通過方差分析，我們想要檢驗在平均值之間沒有差異的無效假設下，模型所解釋的方差是否大于我們所期望的偶然值。而對于 t 分布，零假設下的期望值是零，這里不是這樣，因為平方和總是正數。幸運的是，還有另一個標準分布描述了在零假設下平方和的比率是如何分布的：f 分布（見圖[15.7](#fig:FDist)）。這個分布有兩個自由度，分別對應分子的自由度（在本例中是模型）和分母（在本例中是誤差）。  圖 15.7 零假設下，自由度不同值的 F 分布。 為了創建一個方差分析模型，我們擴展了您在上一章中遇到的 _ 偽編碼 _ 的思想。記住，對于比較兩個平均值的 t 檢驗，我們創建了一個虛擬變量，其中一個條件的值為 1，另一個條件的值為零。在這里，我們通過創建兩個虛擬變量來擴展這一想法，一個是為藥物 1 狀態編碼，另一個是為藥物 2 狀態編碼。正如在 t 檢驗中一樣，我們將有一個條件（在本例中是安慰劑）沒有一個虛擬變量，因此代表了與其他變量進行比較的基線；其平均值定義了模型的截距。讓我們創建藥物 1 和 2 的虛擬編碼。 ```r # create dummy variables for drug1 and drug2 df <- df %>% mutate( d1 = as.integer(group == "drug1"), # 1s for drug1, 0s for all other drugs d2 = as.integer(group == "drug2") # 1s for drug2, 0s for all other drugs ) ``` 現在，我們可以使用上一章中使用的相同方法來擬合模型： ```r # fit ANOVA model lmResultANOVA <- lm(sysBP ~ d1 + d2, data = df) summary(lmResultANOVA) ``` ```r ## ## Call: ## lm(formula = sysBP ~ d1 + d2, data = df) ## ## Residuals: ## Min 1Q Median 3Q Max ## -29.084 -7.745 -0.098 7.687 23.431 ## ## Coefficients: ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) 141.60 1.66 85.50 < 2e-16 *** ## d1 -10.24 2.34 -4.37 2.9e-05 *** ## d2 -2.03 2.34 -0.87 0.39 ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ## ## Residual standard error: 9.9 on 105 degrees of freedom ## Multiple R-squared: 0.169, Adjusted R-squared: 0.154 ## F-statistic: 10.7 on 2 and 105 DF, p-value: 5.83e-05 ``` 這個命令的輸出為我們提供了兩件事。首先，它向我們展示了每一個虛擬變量的 t 檢驗結果，這基本上告訴我們每一個條件是否與安慰劑不同；藥物 1 似乎不同，而藥物 2 則不同。但是，請記住，如果我們想要解釋這些測試，我們需要更正 p 值，以說明我們已經進行了多個假設測試；我們將在下一章中看到如何進行此操作的示例。 記住，我們開始想要測試的假設是，任何條件之間是否存在任何差異；我們將其稱為 _ 綜合假設測試，這是由 F 統計量提供的測試。F 統計量基本上告訴我們，我們的模型是否比只包含截距的簡單模型更好。在這種情況下，我們看到 f 檢驗是非常顯著的，這與我們的印象一致，即兩組之間確實存在差異（事實上，我們知道存在差異，因為我們創建了數據）。_