## 11.2 貝葉斯定理與逆推理
貝葉斯統計之所以有它的名字,是因為它利用了貝葉斯定理,從數據中作出推論,使之返回到生成數據的(潛在)模型的某些特征。假設我們想知道一枚硬幣是否公平。為了測試這一點,我們將硬幣翻轉 10 次,然后拿出 7 個硬幣頭。在這個測試之前,我們很確定硬幣是公平的(即),但是這些數據確實讓我們停頓了一下。我們已經知道如何計算條件概率,如果硬幣真的是公平的(htg1),我們會用二項分布從 10 中倒出 7 個或更多的頭。
```r
# compute the conditional probability of 7 or more heads when p(heads)=0.5
sprintf(
"p(7 or more heads | p(heads) = 0.5) = %.3f",
pbinom(7, 10, .5, lower.tail = FALSE)
)
```
```r
## [1] "p(7 or more heads | p(heads) = 0.5) = 0.055"
```
這是一個相當小的數字,但這個數字并不能真正回答我們所問的問題——它告訴我們,考慮到頭部的特定概率,7 個或更多頭部的可能性,而我們真正想知道的是頭部的概率。這聽起來應該很熟悉,因為這正是我們進行無效假設測試的情況,它告訴我們數據的可能性,而不是假設的可能性。
記住,貝葉斯定理為我們提供了一個工具,我們需要它來反轉條件概率:

我們可以認為這個定理有四個部分:
* 先驗():我們在看到數據 D 之前對假設 H 的信任程度。
* 可能性():假設 h 下觀察數據 d 的可能性有多大?
* 邊際可能性():觀察到的數據結合所有可能的假設的可能性有多大?
* 后驗():我們對假設 h 的最新看法,給出了數據 d。
這里我們看到了頻率主義和貝葉斯統計的主要區別之一。頻率主義者不相信假設概率的概念(即我們對假設的信仰程度),對他們來說,假設要么是真的,要么不是真的。另一種說法是,對于頻率主義者,假設是固定的,數據是隨機的,這就是為什么頻率主義者 ST 推理的重點是描述給定假設(即 P 值)的數據概率。另一方面,貝葉斯則樂于對數據和假設進行概率陳述。
- 前言
- 0.1 本書為什么存在?
- 0.2 你不是統計學家-我們為什么要聽你的?
- 0.3 為什么是 R?
- 0.4 數據的黃金時代
- 0.5 開源書籍
- 0.6 確認
- 1 引言
- 1.1 什么是統計思維?
- 1.2 統計數據能為我們做什么?
- 1.3 統計學的基本概念
- 1.4 因果關系與統計
- 1.5 閱讀建議
- 2 處理數據
- 2.1 什么是數據?
- 2.2 測量尺度
- 2.3 什么是良好的測量?
- 2.4 閱讀建議
- 3 概率
- 3.1 什么是概率?
- 3.2 我們如何確定概率?
- 3.3 概率分布
- 3.4 條件概率
- 3.5 根據數據計算條件概率
- 3.6 獨立性
- 3.7 逆轉條件概率:貝葉斯規則
- 3.8 數據學習
- 3.9 優勢比
- 3.10 概率是什么意思?
- 3.11 閱讀建議
- 4 匯總數據
- 4.1 為什么要總結數據?
- 4.2 使用表格匯總數據
- 4.3 分布的理想化表示
- 4.4 閱讀建議
- 5 將模型擬合到數據
- 5.1 什么是模型?
- 5.2 統計建模:示例
- 5.3 什么使模型“良好”?
- 5.4 模型是否太好?
- 5.5 最簡單的模型:平均值
- 5.6 模式
- 5.7 變異性:平均值與數據的擬合程度如何?
- 5.8 使用模擬了解統計數據
- 5.9 Z 分數
- 6 數據可視化
- 6.1 數據可視化如何拯救生命
- 6.2 繪圖解剖
- 6.3 使用 ggplot 在 R 中繪制
- 6.4 良好可視化原則
- 6.5 最大化數據/墨水比
- 6.6 避免圖表垃圾
- 6.7 避免數據失真
- 6.8 謊言因素
- 6.9 記住人的局限性
- 6.10 其他因素的修正
- 6.11 建議閱讀和視頻
- 7 取樣
- 7.1 我們如何取樣?
- 7.2 采樣誤差
- 7.3 平均值的標準誤差
- 7.4 中心極限定理
- 7.5 置信區間
- 7.6 閱讀建議
- 8 重新采樣和模擬
- 8.1 蒙特卡羅模擬
- 8.2 統計的隨機性
- 8.3 生成隨機數
- 8.4 使用蒙特卡羅模擬
- 8.5 使用模擬統計:引導程序
- 8.6 閱讀建議
- 9 假設檢驗
- 9.1 無效假設統計檢驗(NHST)
- 9.2 無效假設統計檢驗:一個例子
- 9.3 無效假設檢驗過程
- 9.4 現代環境下的 NHST:多重測試
- 9.5 閱讀建議
- 10 置信區間、效應大小和統計功率
- 10.1 置信區間
- 10.2 效果大小
- 10.3 統計能力
- 10.4 閱讀建議
- 11 貝葉斯統計
- 11.1 生成模型
- 11.2 貝葉斯定理與逆推理
- 11.3 進行貝葉斯估計
- 11.4 估計后驗分布
- 11.5 選擇優先權
- 11.6 貝葉斯假設檢驗
- 11.7 閱讀建議
- 12 分類關系建模
- 12.1 示例:糖果顏色
- 12.2 皮爾遜卡方檢驗
- 12.3 應急表及雙向試驗
- 12.4 標準化殘差
- 12.5 優勢比
- 12.6 貝葉斯系數
- 12.7 超出 2 x 2 表的分類分析
- 12.8 注意辛普森悖論
- 13 建模持續關系
- 13.1 一個例子:仇恨犯罪和收入不平等
- 13.2 收入不平等是否與仇恨犯罪有關?
- 13.3 協方差和相關性
- 13.4 相關性和因果關系
- 13.5 閱讀建議
- 14 一般線性模型
- 14.1 線性回歸
- 14.2 安裝更復雜的模型
- 14.3 變量之間的相互作用
- 14.4“預測”的真正含義是什么?
- 14.5 閱讀建議
- 15 比較方法
- 15.1 學生 T 考試
- 15.2 t 檢驗作為線性模型
- 15.3 平均差的貝葉斯因子
- 15.4 配對 t 檢驗
- 15.5 比較兩種以上的方法
- 16 統計建模過程:一個實例
- 16.1 統計建模過程
- 17 做重復性研究
- 17.1 我們認為科學應該如何運作
- 17.2 科學(有時)是如何工作的
- 17.3 科學中的再現性危機
- 17.4 有問題的研究實踐
- 17.5 進行重復性研究
- 17.6 進行重復性數據分析
- 17.7 結論:提高科學水平
- 17.8 閱讀建議
- References