## 11.3 進行貝葉斯估計 我們最終希望使用貝葉斯統計來測試假設，但是在我們這樣做之前，我們需要估計測試假設所需的參數。這里我們將介紹貝葉斯估計的過程。讓我們用另一個篩選示例：機場安全篩選。如果你像我一樣經常飛行，那么在隨機爆炸物篩選結果恢復正常之前只是個時間問題；2001 年 9 月 11 日之后不久，當機場保安人員特別緊張時，我有過這種特別不幸的經歷。 安全人員想知道的是，考慮到機器進行了正面測試，一個人攜帶爆炸物的可能性是多少。讓我們來介紹一下如何使用貝葉斯分析計算這個值。 ### 11.3.1 規定 為了使用貝葉斯定理，我們首先需要為假設指定先驗概率。在這種情況下，我們不知道實數，但我們可以假設它很小。根據[聯邦航空局](https://www.faa.gov/air_traffic/by_the_numbers/media/Air_Traffic_by_the_Numbers_2018.pdf)，2017 年美國有 971595898 名乘客。在這個例子中，假設有一個旅行者的包里裝著炸藥 ```r prior <- 1/971595898 ``` ### 11.3.2 收集一些數據 數據由炸藥篩選試驗結果組成。讓我們假設安全人員通過他們的測試設備運行了 10 次袋子，它給出了 10 次測試中 9 次的正讀數。 ```r nTests <- 10 nPositives <- 9 ``` ### 11.3.3 計算可能性 我們要在假設袋中有炸藥的情況下計算數據的可能性。假設我們知道測試的靈敏度是 0.99——也就是說，當一個設備存在時，它將 99%的時間檢測到它。為了確定在設備存在的假設下數據的可能性，我們可以將每個測試視為伯努利試驗（即結果為真或假的試驗），成功概率為 0.99，我們可以使用二項式分布來建模。 ```r likelihood <- dbinom(nPositives, nTests, 0.99) likelihood ``` ```r ## [1] 0.091 ``` ### 11.3.4 計算邊際可能性 我們還需要知道數據的總體可能性——也就是說，在 10 個測試中找出 9 個陽性。計算邊際似然性通常是貝葉斯分析中最困難的方面之一，但對于我們的例子來說，這很簡單，因為我們可以利用我們在[3.7 節](#bayestheorem)中介紹的貝葉斯定理的具體形式：  在這種情況下，邊際可能性是存在或不存在爆炸物時數據可能性的加權平均值，乘以存在爆炸物的概率（即先驗概率）。在這種情況下，假設我們知道測試的特異性是 0.9，這樣當沒有爆炸物時，陽性結果的可能性是 0.1。 我們可以用 r 計算，如下所示： ```r marginal_likelihood <- dbinom( x = nPositives, size = nTests, prob = 0.99 ) * prior + dbinom( x = nPositives, size = nTests, prob = .1 ) * (1 - prior) sprintf("marginal likelihood = %.3e", marginal_likelihood) ``` ```r ## [1] "marginal likelihood = 9.094e-09" ``` ### 11.3.5 計算后部 我們現在有了所有需要計算炸藥存在后驗概率的部分，假設在 10 個測試中觀察到 9 個陽性結果。 ```r posterior <- (likelihood * prior) / marginal_likelihood posterior ``` ```r ## [1] 0.01 ``` 這一結果表明，袋中爆炸物的概率遠高于之前的概率，但幾乎不確定，再次強調了一個事實，即測試罕見事件幾乎總是容易產生大量的假陽性。