## 11.3 進行貝葉斯估計
我們最終希望使用貝葉斯統計來測試假設,但是在我們這樣做之前,我們需要估計測試假設所需的參數。這里我們將介紹貝葉斯估計的過程。讓我們用另一個篩選示例:機場安全篩選。如果你像我一樣經常飛行,那么在隨機爆炸物篩選結果恢復正常之前只是個時間問題;2001 年 9 月 11 日之后不久,當機場保安人員特別緊張時,我有過這種特別不幸的經歷。
安全人員想知道的是,考慮到機器進行了正面測試,一個人攜帶爆炸物的可能性是多少。讓我們來介紹一下如何使用貝葉斯分析計算這個值。
### 11.3.1 規定
為了使用貝葉斯定理,我們首先需要為假設指定先驗概率。在這種情況下,我們不知道實數,但我們可以假設它很小。根據[聯邦航空局](https://www.faa.gov/air_traffic/by_the_numbers/media/Air_Traffic_by_the_Numbers_2018.pdf),2017 年美國有 971595898 名乘客。在這個例子中,假設有一個旅行者的包里裝著炸藥
```r
prior <- 1/971595898
```
### 11.3.2 收集一些數據
數據由炸藥篩選試驗結果組成。讓我們假設安全人員通過他們的測試設備運行了 10 次袋子,它給出了 10 次測試中 9 次的正讀數。
```r
nTests <- 10
nPositives <- 9
```
### 11.3.3 計算可能性
我們要在假設袋中有炸藥的情況下計算數據的可能性。假設我們知道測試的靈敏度是 0.99——也就是說,當一個設備存在時,它將 99%的時間檢測到它。為了確定在設備存在的假設下數據的可能性,我們可以將每個測試視為伯努利試驗(即結果為真或假的試驗),成功概率為 0.99,我們可以使用二項式分布來建模。
```r
likelihood <- dbinom(nPositives, nTests, 0.99)
likelihood
```
```r
## [1] 0.091
```
### 11.3.4 計算邊際可能性
我們還需要知道數據的總體可能性——也就是說,在 10 個測試中找出 9 個陽性。計算邊際似然性通常是貝葉斯分析中最困難的方面之一,但對于我們的例子來說,這很簡單,因為我們可以利用我們在[3.7 節](#bayestheorem)中介紹的貝葉斯定理的具體形式:

在這種情況下,邊際可能性是存在或不存在爆炸物時數據可能性的加權平均值,乘以存在爆炸物的概率(即先驗概率)。在這種情況下,假設我們知道測試的特異性是 0.9,這樣當沒有爆炸物時,陽性結果的可能性是 0.1。
我們可以用 r 計算,如下所示:
```r
marginal_likelihood <-
dbinom(
x = nPositives,
size = nTests,
prob = 0.99
) * prior +
dbinom(
x = nPositives,
size = nTests,
prob = .1
) *
(1 - prior)
sprintf("marginal likelihood = %.3e", marginal_likelihood)
```
```r
## [1] "marginal likelihood = 9.094e-09"
```
### 11.3.5 計算后部
我們現在有了所有需要計算炸藥存在后驗概率的部分,假設在 10 個測試中觀察到 9 個陽性結果。
```r
posterior <- (likelihood * prior) / marginal_likelihood
posterior
```
```r
## [1] 0.01
```
這一結果表明,袋中爆炸物的概率遠高于之前的概率,但幾乎不確定,再次強調了一個事實,即測試罕見事件幾乎總是容易產生大量的假陽性。
- 前言
- 0.1 本書為什么存在?
- 0.2 你不是統計學家-我們為什么要聽你的?
- 0.3 為什么是 R?
- 0.4 數據的黃金時代
- 0.5 開源書籍
- 0.6 確認
- 1 引言
- 1.1 什么是統計思維?
- 1.2 統計數據能為我們做什么?
- 1.3 統計學的基本概念
- 1.4 因果關系與統計
- 1.5 閱讀建議
- 2 處理數據
- 2.1 什么是數據?
- 2.2 測量尺度
- 2.3 什么是良好的測量?
- 2.4 閱讀建議
- 3 概率
- 3.1 什么是概率?
- 3.2 我們如何確定概率?
- 3.3 概率分布
- 3.4 條件概率
- 3.5 根據數據計算條件概率
- 3.6 獨立性
- 3.7 逆轉條件概率:貝葉斯規則
- 3.8 數據學習
- 3.9 優勢比
- 3.10 概率是什么意思?
- 3.11 閱讀建議
- 4 匯總數據
- 4.1 為什么要總結數據?
- 4.2 使用表格匯總數據
- 4.3 分布的理想化表示
- 4.4 閱讀建議
- 5 將模型擬合到數據
- 5.1 什么是模型?
- 5.2 統計建模:示例
- 5.3 什么使模型“良好”?
- 5.4 模型是否太好?
- 5.5 最簡單的模型:平均值
- 5.6 模式
- 5.7 變異性:平均值與數據的擬合程度如何?
- 5.8 使用模擬了解統計數據
- 5.9 Z 分數
- 6 數據可視化
- 6.1 數據可視化如何拯救生命
- 6.2 繪圖解剖
- 6.3 使用 ggplot 在 R 中繪制
- 6.4 良好可視化原則
- 6.5 最大化數據/墨水比
- 6.6 避免圖表垃圾
- 6.7 避免數據失真
- 6.8 謊言因素
- 6.9 記住人的局限性
- 6.10 其他因素的修正
- 6.11 建議閱讀和視頻
- 7 取樣
- 7.1 我們如何取樣?
- 7.2 采樣誤差
- 7.3 平均值的標準誤差
- 7.4 中心極限定理
- 7.5 置信區間
- 7.6 閱讀建議
- 8 重新采樣和模擬
- 8.1 蒙特卡羅模擬
- 8.2 統計的隨機性
- 8.3 生成隨機數
- 8.4 使用蒙特卡羅模擬
- 8.5 使用模擬統計:引導程序
- 8.6 閱讀建議
- 9 假設檢驗
- 9.1 無效假設統計檢驗(NHST)
- 9.2 無效假設統計檢驗:一個例子
- 9.3 無效假設檢驗過程
- 9.4 現代環境下的 NHST:多重測試
- 9.5 閱讀建議
- 10 置信區間、效應大小和統計功率
- 10.1 置信區間
- 10.2 效果大小
- 10.3 統計能力
- 10.4 閱讀建議
- 11 貝葉斯統計
- 11.1 生成模型
- 11.2 貝葉斯定理與逆推理
- 11.3 進行貝葉斯估計
- 11.4 估計后驗分布
- 11.5 選擇優先權
- 11.6 貝葉斯假設檢驗
- 11.7 閱讀建議
- 12 分類關系建模
- 12.1 示例:糖果顏色
- 12.2 皮爾遜卡方檢驗
- 12.3 應急表及雙向試驗
- 12.4 標準化殘差
- 12.5 優勢比
- 12.6 貝葉斯系數
- 12.7 超出 2 x 2 表的分類分析
- 12.8 注意辛普森悖論
- 13 建模持續關系
- 13.1 一個例子:仇恨犯罪和收入不平等
- 13.2 收入不平等是否與仇恨犯罪有關?
- 13.3 協方差和相關性
- 13.4 相關性和因果關系
- 13.5 閱讀建議
- 14 一般線性模型
- 14.1 線性回歸
- 14.2 安裝更復雜的模型
- 14.3 變量之間的相互作用
- 14.4“預測”的真正含義是什么?
- 14.5 閱讀建議
- 15 比較方法
- 15.1 學生 T 考試
- 15.2 t 檢驗作為線性模型
- 15.3 平均差的貝葉斯因子
- 15.4 配對 t 檢驗
- 15.5 比較兩種以上的方法
- 16 統計建模過程:一個實例
- 16.1 統計建模過程
- 17 做重復性研究
- 17.1 我們認為科學應該如何運作
- 17.2 科學(有時)是如何工作的
- 17.3 科學中的再現性危機
- 17.4 有問題的研究實踐
- 17.5 進行重復性研究
- 17.6 進行重復性數據分析
- 17.7 結論:提高科學水平
- 17.8 閱讀建議
- References