## 7.5 置信區間 大多數人都熟悉政治民意調查“誤差幅度”的概念。這些民意測驗通常試圖提供一個準確率在+/-3%以內的答案。例如，當一個候選人被估計以 9 個百分點贏得選舉，誤差幅度為 3 時，他們將贏得的百分比被估計在 6-12 個百分點之內。在統計學中，我們將這一范圍的值稱為 _ 置信區間 _，它提供了對我們的估計與總體參數的接近程度的不確定性程度的度量。條件區間越大，我們的不確定性就越大。 在上一節中我們看到，有了足夠的樣本量，平均值的抽樣分布是正態分布的，標準誤差描述了這個抽樣分布的標準偏差。利用這些知識，我們可以問：我們期望在什么范圍內獲取所有平均值估計值的 95%？為了回答這個問題，我們可以使用正態分布，我們知道我們期望 95%的樣本均值在正態分布之間下降。具體來說，我們使用正態分布的 _ 分位數 _ 函數（`qnorm()`in r）來確定正態分布在分布中 2.5%和 97.5%點的值。我們選擇這些點是因為我們想要找到分布中心的 95%的值，所以我們需要在每個端部截取 2.5%個，以便最終在中間有 95%個。圖[7.4](#fig:normalCutoffs)顯示了發生在上的情況。  圖 7.4 正態分布，中間橙色部分表示我們預計所有值 95%會下降的范圍。綠色部分顯示了分布中更極端的部分，我們希望在不到 5%的時間內發生。 使用這些截止值，我們可以為平均值的估計創建一個置信區間：  讓我們計算 nhanes 高度數據的置信區間， ```r # compute confidence intervals NHANES_sample <- sample_n(NHANES_adult,250) sample_summary <- NHANES_sample %>% summarize(mean=mean(Height), sem=sd(Height)/sqrt(sampSize)) %>% mutate(CI_lower=mean-1.96*sem, CI_upper=mean+1.96*sem) pander(sample_summary) ``` <colgroup><col style="width: 13%"> <col style="width: 11%"> <col style="width: 15%"> <col style="width: 15%"></colgroup> | 意思是 | 掃描電鏡 | Ci_ 下 | Ci_ 上部 | | --- | --- | --- | --- | | 166.869 年 | 1.446 個 | 164.036 年 | 169.702 個 | 置信區間是出了名的混亂，主要是因為它們并不代表我們希望它們的含義。很自然地認為，95%的置信區間告訴我們，人口平均值有 95%的概率落在區間內。然而，正如我們將在整個課程中看到的，統計中的概念通常并不意味著我們認為它們應該意味著什么。在置信區間的情況下，我們不能用這種方式解釋它們，因為總體參數有一個固定值——要么在區間內，要么不在區間內。95%置信區間的正確解釋是，它將捕獲 95%時間的真實總體平均值。我們可以通過重復對 nhanes 數據重新采樣并計算間隔包含真實總體平均值的頻率來確認這一點。 ```r # compute how often the confidence interval contains the true population mean nsamples <- 2500 sampSize <- 100 ci_contains_mean <- array(NA,nsamples) for (i in 1:nsamples) { NHANES_sample <- sample_n(NHANES_adult, sampSize) sample_summary <- NHANES_sample %>% summarize( mean = mean(Height), sem = sd(Height) / sqrt(sampSize) ) %>% mutate( CI_upper = mean + 1.96 * sem, CI_lower = mean - 1.96 * sem ) ci_contains_mean[i] <- (sample_summary$CI_upper > mean(NHANES_adult$Height)) & (sample_summary$CI_lower < mean(NHANES_adult$Height)) } sprintf( 'proportion of confidence intervals containing population mean: %.3f', mean(ci_contains_mean) ) ``` ```r ## [1] "proportion of confidence intervals containing population mean: 0.953" ``` 這證實了置信區間確實捕獲了 95%左右的人口平均值。