## 7.5 置信區間
大多數人都熟悉政治民意調查“誤差幅度”的概念。這些民意測驗通常試圖提供一個準確率在+/-3%以內的答案。例如,當一個候選人被估計以 9 個百分點贏得選舉,誤差幅度為 3 時,他們將贏得的百分比被估計在 6-12 個百分點之內。在統計學中,我們將這一范圍的值稱為 _ 置信區間 _,它提供了對我們的估計與總體參數的接近程度的不確定性程度的度量。條件區間越大,我們的不確定性就越大。
在上一節中我們看到,有了足夠的樣本量,平均值的抽樣分布是正態分布的,標準誤差描述了這個抽樣分布的標準偏差。利用這些知識,我們可以問:我們期望在什么范圍內獲取所有平均值估計值的 95%?為了回答這個問題,我們可以使用正態分布,我們知道我們期望 95%的樣本均值在正態分布之間下降。具體來說,我們使用正態分布的 _ 分位數 _ 函數(`qnorm()`in r)來確定正態分布在分布中 2.5%和 97.5%點的值。我們選擇這些點是因為我們想要找到分布中心的 95%的值,所以我們需要在每個端部截取 2.5%個,以便最終在中間有 95%個。圖[7.4](#fig:normalCutoffs)顯示了發生在上的情況。

圖 7.4 正態分布,中間橙色部分表示我們預計所有值 95%會下降的范圍。綠色部分顯示了分布中更極端的部分,我們希望在不到 5%的時間內發生。
使用這些截止值,我們可以為平均值的估計創建一個置信區間:

讓我們計算 nhanes 高度數據的置信區間,
```r
# compute confidence intervals
NHANES_sample <- sample_n(NHANES_adult,250)
sample_summary <- NHANES_sample %>%
summarize(mean=mean(Height),
sem=sd(Height)/sqrt(sampSize)) %>%
mutate(CI_lower=mean-1.96*sem,
CI_upper=mean+1.96*sem)
pander(sample_summary)
```
<colgroup><col style="width: 13%"> <col style="width: 11%"> <col style="width: 15%"> <col style="width: 15%"></colgroup>
| 意思是 | 掃描電鏡 | Ci_ 下 | Ci_ 上部 |
| --- | --- | --- | --- |
| 166.869 年 | 1.446 個 | 164.036 年 | 169.702 個 |
置信區間是出了名的混亂,主要是因為它們并不代表我們希望它們的含義。很自然地認為,95%的置信區間告訴我們,人口平均值有 95%的概率落在區間內。然而,正如我們將在整個課程中看到的,統計中的概念通常并不意味著我們認為它們應該意味著什么。在置信區間的情況下,我們不能用這種方式解釋它們,因為總體參數有一個固定值——要么在區間內,要么不在區間內。95%置信區間的正確解釋是,它將捕獲 95%時間的真實總體平均值。我們可以通過重復對 nhanes 數據重新采樣并計算間隔包含真實總體平均值的頻率來確認這一點。
```r
# compute how often the confidence interval contains the true population mean
nsamples <- 2500
sampSize <- 100
ci_contains_mean <- array(NA,nsamples)
for (i in 1:nsamples) {
NHANES_sample <- sample_n(NHANES_adult, sampSize)
sample_summary <-
NHANES_sample %>%
summarize(
mean = mean(Height),
sem = sd(Height) / sqrt(sampSize)
) %>%
mutate(
CI_upper = mean + 1.96 * sem,
CI_lower = mean - 1.96 * sem
)
ci_contains_mean[i] <-
(sample_summary$CI_upper > mean(NHANES_adult$Height)) &
(sample_summary$CI_lower < mean(NHANES_adult$Height))
}
sprintf(
'proportion of confidence intervals containing population mean: %.3f',
mean(ci_contains_mean)
)
```
```r
## [1] "proportion of confidence intervals containing population mean: 0.953"
```
這證實了置信區間確實捕獲了 95%左右的人口平均值。
- 前言
- 0.1 本書為什么存在?
- 0.2 你不是統計學家-我們為什么要聽你的?
- 0.3 為什么是 R?
- 0.4 數據的黃金時代
- 0.5 開源書籍
- 0.6 確認
- 1 引言
- 1.1 什么是統計思維?
- 1.2 統計數據能為我們做什么?
- 1.3 統計學的基本概念
- 1.4 因果關系與統計
- 1.5 閱讀建議
- 2 處理數據
- 2.1 什么是數據?
- 2.2 測量尺度
- 2.3 什么是良好的測量?
- 2.4 閱讀建議
- 3 概率
- 3.1 什么是概率?
- 3.2 我們如何確定概率?
- 3.3 概率分布
- 3.4 條件概率
- 3.5 根據數據計算條件概率
- 3.6 獨立性
- 3.7 逆轉條件概率:貝葉斯規則
- 3.8 數據學習
- 3.9 優勢比
- 3.10 概率是什么意思?
- 3.11 閱讀建議
- 4 匯總數據
- 4.1 為什么要總結數據?
- 4.2 使用表格匯總數據
- 4.3 分布的理想化表示
- 4.4 閱讀建議
- 5 將模型擬合到數據
- 5.1 什么是模型?
- 5.2 統計建模:示例
- 5.3 什么使模型“良好”?
- 5.4 模型是否太好?
- 5.5 最簡單的模型:平均值
- 5.6 模式
- 5.7 變異性:平均值與數據的擬合程度如何?
- 5.8 使用模擬了解統計數據
- 5.9 Z 分數
- 6 數據可視化
- 6.1 數據可視化如何拯救生命
- 6.2 繪圖解剖
- 6.3 使用 ggplot 在 R 中繪制
- 6.4 良好可視化原則
- 6.5 最大化數據/墨水比
- 6.6 避免圖表垃圾
- 6.7 避免數據失真
- 6.8 謊言因素
- 6.9 記住人的局限性
- 6.10 其他因素的修正
- 6.11 建議閱讀和視頻
- 7 取樣
- 7.1 我們如何取樣?
- 7.2 采樣誤差
- 7.3 平均值的標準誤差
- 7.4 中心極限定理
- 7.5 置信區間
- 7.6 閱讀建議
- 8 重新采樣和模擬
- 8.1 蒙特卡羅模擬
- 8.2 統計的隨機性
- 8.3 生成隨機數
- 8.4 使用蒙特卡羅模擬
- 8.5 使用模擬統計:引導程序
- 8.6 閱讀建議
- 9 假設檢驗
- 9.1 無效假設統計檢驗(NHST)
- 9.2 無效假設統計檢驗:一個例子
- 9.3 無效假設檢驗過程
- 9.4 現代環境下的 NHST:多重測試
- 9.5 閱讀建議
- 10 置信區間、效應大小和統計功率
- 10.1 置信區間
- 10.2 效果大小
- 10.3 統計能力
- 10.4 閱讀建議
- 11 貝葉斯統計
- 11.1 生成模型
- 11.2 貝葉斯定理與逆推理
- 11.3 進行貝葉斯估計
- 11.4 估計后驗分布
- 11.5 選擇優先權
- 11.6 貝葉斯假設檢驗
- 11.7 閱讀建議
- 12 分類關系建模
- 12.1 示例:糖果顏色
- 12.2 皮爾遜卡方檢驗
- 12.3 應急表及雙向試驗
- 12.4 標準化殘差
- 12.5 優勢比
- 12.6 貝葉斯系數
- 12.7 超出 2 x 2 表的分類分析
- 12.8 注意辛普森悖論
- 13 建模持續關系
- 13.1 一個例子:仇恨犯罪和收入不平等
- 13.2 收入不平等是否與仇恨犯罪有關?
- 13.3 協方差和相關性
- 13.4 相關性和因果關系
- 13.5 閱讀建議
- 14 一般線性模型
- 14.1 線性回歸
- 14.2 安裝更復雜的模型
- 14.3 變量之間的相互作用
- 14.4“預測”的真正含義是什么?
- 14.5 閱讀建議
- 15 比較方法
- 15.1 學生 T 考試
- 15.2 t 檢驗作為線性模型
- 15.3 平均差的貝葉斯因子
- 15.4 配對 t 檢驗
- 15.5 比較兩種以上的方法
- 16 統計建模過程:一個實例
- 16.1 統計建模過程
- 17 做重復性研究
- 17.1 我們認為科學應該如何運作
- 17.2 科學(有時)是如何工作的
- 17.3 科學中的再現性危機
- 17.4 有問題的研究實踐
- 17.5 進行重復性研究
- 17.6 進行重復性數據分析
- 17.7 結論:提高科學水平
- 17.8 閱讀建議
- References