## 12.4 標準化殘差 當我們發現卡方檢驗的顯著效果時，這告訴我們，在無效假設下，數據是不可能的，但它并沒有告訴我們 _ 數據有什么不同。為了更深入地了解數據與我們在零假設下預期的差異，我們可以檢查模型的殘差，該殘差反映了數據（即觀察到的頻率）與每個單元中模型的偏差（即預期頻率）。而不是查看原始殘差（僅根據數據中觀察的數量而變化），更常見的是查看其他 _ 標準化殘差 _，其計算如下：_  其中和分別是行和列的索引。我們可以為警察局的數據計算這些數據： ```r # compute standardized residuals summaryDf2way <- summaryDf2way %>% mutate(stdRes = (n - expected)/sqrt(expected)) pander(summaryDf2way) ``` <colgroup><col style="width: 15%"> <col style="width: 19%"> <col style="width: 12%"> <col style="width: 15%"> <col style="width: 16%"> <col style="width: 11%"></colgroup> | 已搜索 | 車手比賽 | N 號 | 預期 | 標準平方差 | 標準普爾 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 錯誤的 | 黑色 | 36244 個 | 36883.67 個 | 2009 年 11 月 | -3.33 條 | | 真的 | Black | 1219 年 | 579.33 條 | 第 706.31 條 | 26.58 美元 | | FALSE | 白色 | 239241 個 | 238601.3 條 | 1.71 條 | 1.31 條 | | TRUE | White | 3108 個 | 3747.67 美元 | 109.18 條 | -10.45 美元 | 這些標準化的殘差可以解釋為 z 分數——在這種情況下，我們看到，基于獨立性，對黑人個體的搜索次數大大高于預期，而對白人個體的搜索次數大大低于預期。這為我們提供了解釋顯著的卡方結果所需的上下文。