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                # 《貪婪策略》專題 # 貪婪策略 貪婪策略是一種常見的算法思想,具體是指,在對問題求解時,總是做出在當前看來是最好的選擇。也就是說,不從整體最優上加以考慮,他所做出的是在某種意義上的局部最優解。貪心算法不是對所有問題都能得到整體最優解,關鍵是貪心策略的選擇,選擇的貪心策略必須具備無后效性,即某個狀態以前的過程不會影響以后的狀態,只與當前狀態有關,這點和動態規劃一樣。貪婪策略和動態規劃類似,大多數情況也都是用來處理`極值問題`。 LeetCode 上對于貪婪策略有 73 道題目。我們將其分成幾個類型來講解,截止目前我們暫時只提供`覆蓋`問題,其他的可以期待我的新書或者之后的題解文章。 ## 覆蓋 我們挑選三道來講解,這三道題除了使用貪婪法,你也可以嘗試動態規劃來解決。 - [45. 跳躍游戲 II](https://leetcode-cn.com/problems/jump-game-ii/),困難 - [1024. 視頻拼接](https://leetcode-cn.com/problems/video-stitching/),中等 - [1326. 灌溉花園的最少水龍頭數目](https://leetcode-cn.com/problems/minimum-number-of-taps-to-open-to-water-a-garden/),困難 覆蓋問題的一大特征,我們可以將其抽象為`給定數軸上的一個大區間 I 和 n 個小區間 i[0], i[1], ..., i[n - 1],問最少選擇多少個小區間,使得這些小區間的并集可以覆蓋整個大區間。` 我們來看下這三道題吧。 ### 45. 跳躍游戲 II #### 題目描述 給定一個非負整數數組,你最初位于數組的第一個位置。 數組中的每個元素代表你在該位置可以跳躍的最大長度。 你的目標是使用最少的跳躍次數到達數組的最后一個位置。 示例: 輸入: \[2,3,1,1,4\] 輸出: 2 解釋: 跳到最后一個位置的最小跳躍數是 2。 從下標為 0 跳到下標為 1 的位置,跳 1 步,然后跳 3 步到達數組的最后一個位置。 說明: 假設你總是可以到達數組的最后一個位置。 #### 思路 貪婪策略,即我們每次在可跳范圍內選擇可以使得跳的更遠的位置,由于題目保證了`你總是可以到達數組的最后一個位置`,因此這種算法是完備的。 如下圖,開始的位置是 2,可跳的范圍是橙色的。然后因為 3 可以跳的更遠,所以跳到 3 的位置。 ![](https://img.kancloud.cn/fd/79/fd79a3ebf61891d2aea6d45d026fe316_342x141.jpg) 如下圖,然后現在的位置就是 3 了,能跳的范圍是橙色的,然后因為 4 可以跳的更遠,所以下次跳到 4 的位置。 ![](https://img.kancloud.cn/fd/54/fd5445523c7e68c6d6fa7fd494d5f8bf_433x117.jpg) 寫代碼的話,我們用 end 表示當前能跳的邊界,對于上邊第一個圖的橙色 1,第二個圖中就是橙色的 4,遍歷數組的時候,到了邊界,我們就重新更新新的邊界。 > 圖來自 <https://leetcode-cn.com/u/windliang/> #### 代碼 代碼支持:Python3 Python3 Code: ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span> <span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">jump</span><span class="hljs-params">(self, nums: List[int])</span> -> int:</span> n, cnt, furthest, end = len(nums), <span class="hljs-params">0</span>, <span class="hljs-params">0</span>, <span class="hljs-params">0</span> <span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(n - <span class="hljs-params">1</span>): furthest = max(furthest, nums[i] + i) <span class="hljs-keyword">if</span> i == end: cnt += <span class="hljs-params">1</span> end = furthest <span class="hljs-keyword">return</span> cnt ``` ``` **復雜度分析** - 時間復雜度:O(N)O(N)O(N)。 - 空間復雜度:O(1)O(1)O(1)。 ### 1024. 視頻拼接 #### 題目描述 你將會獲得一系列視頻片段,這些片段來自于一項持續時長為 T 秒的體育賽事。這些片段可能有所重疊,也可能長度不一。 視頻片段 clips\[i\] 都用區間進行表示:開始于 clips\[i\]\[0\] 并于 clips\[i\]\[1\] 結束。我們甚至可以對這些片段自由地再剪輯,例如片段 \[0, 7\] 可以剪切成 \[0, 1\] + \[1, 3\] + \[3, 7\] 三部分。 我們需要將這些片段進行再剪輯,并將剪輯后的內容拼接成覆蓋整個運動過程的片段(\[0, T\])。返回所需片段的最小數目,如果無法完成該任務,則返回 -1 。 示例 1: 輸入:clips = \[\[0,2\],\[4,6\],\[8,10\],\[1,9\],\[1,5\],\[5,9\]\], T = 10 輸出:3 解釋: 我們選中 \[0,2\], \[8,10\], \[1,9\] 這三個片段。 然后,按下面的方案重制比賽片段: 將 \[1,9\] 再剪輯為 \[1,2\] + \[2,8\] + \[8,9\] 。 現在我們手上有 \[0,2\] + \[2,8\] + \[8,10\],而這些涵蓋了整場比賽 \[0, 10\]。 示例 2: 輸入:clips = \[\[0,1\],\[1,2\]\], T = 5 輸出:-1 解釋: 我們無法只用 \[0,1\] 和 \[0,2\] 覆蓋 \[0,5\] 的整個過程。 示例 3: 輸入:clips = \[\[0,1\],\[6,8\],\[0,2\],\[5,6\],\[0,4\],\[0,3\],\[6,7\],\[1,3\],\[4,7\],\[1,4\],\[2,5\],\[2,6\],\[3,4\],\[4,5\],\[5,7\],\[6,9\]\], T = 9 輸出:3 解釋: 我們選取片段 \[0,4\], \[4,7\] 和 \[6,9\] 。 示例 4: 輸入:clips = \[\[0,4\],\[2,8\]\], T = 5 輸出:2 解釋: 注意,你可能錄制超過比賽結束時間的視頻。 提示: 1 <= clips.length <= 100 0 <= clips\[i\]\[0\], clips\[i\]\[1\] <= 100 0 <= T <= 100 #### 思路 貪婪策略,我們選擇滿足條件的最大值。和上面的不同,這次我們需要手動進行一次排序,實際上貪婪策略經常伴隨著排序,我們按照 clip\[0\]從小到大進行排序。 ![](https://img.kancloud.cn/df/6d/df6d1df4572b11ef8e3dc56b4c7e7ec4_1240x648.jpg) 如圖: - 1 不可以,因此存在斷層 - 2 可以 - 3 不行,因為不到 T 我們當前的 clip 開始結束時間分別為 s,e。 上一段 clip 的結束時間是 t1,上上一段 clip 結束時間是 t2。 那么這種情況下 t1 實際上是不需要的,因為 t2 完全可以覆蓋它: ![](https://img.kancloud.cn/49/30/4930abbc40430843dfe7853d441115b7_870x172.jpg) 那什么樣 t1 才是需要的呢?如圖: ![](https://img.kancloud.cn/0e/c8/0ec8e71d759302ae14be352de84148a2_804x208.jpg) 用代碼來說的話就是`s > t2 and t2 <= t1` #### 代碼 代碼支持:Python3 Python3 Code: ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span> <span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">videoStitching</span><span class="hljs-params">(self, clips: List[List[int]], T: int)</span> -> int:</span> <span class="hljs-title"># t1 表示選取的上一個clip的結束時間</span> <span class="hljs-title"># t2 表示選取的上上一個clip的結束時間</span> t2, t1, cnt = <span class="hljs-params">-1</span>, <span class="hljs-params">0</span>, <span class="hljs-params">0</span> clips.sort(key=<span class="hljs-keyword">lambda</span> a: a[<span class="hljs-params">0</span>]) <span class="hljs-keyword">for</span> s, e <span class="hljs-keyword">in</span> clips: <span class="hljs-title"># s > t1 已經確定不可以了, t1 >= T 已經可以了</span> <span class="hljs-keyword">if</span> s > t1 <span class="hljs-keyword">or</span> t1 >= T: <span class="hljs-keyword">break</span> <span class="hljs-keyword">if</span> s > t2 <span class="hljs-keyword">and</span> t2 <= t1: cnt += <span class="hljs-params">1</span> t2 = t1 t1 = max(t1,e) <span class="hljs-keyword">return</span> cnt <span class="hljs-keyword">if</span> t1 >= T <span class="hljs-keyword">else</span> - <span class="hljs-params">1</span> ``` ``` **復雜度分析** - 時間復雜度:由于使用了排序(假設是基于比較的排序),因此時間復雜度為 O(NlogN)O(NlogN)O(NlogN)。 - 空間復雜度:O(1)O(1)O(1)。 ### 1326. 灌溉花園的最少水龍頭數目 #### 題目描述 在 x 軸上有一個一維的花園。花園長度為 n,從點 0 開始,到點 n 結束。 花園里總共有 n + 1 個水龍頭,分別位于 \[0, 1, ..., n\] 。 給你一個整數 n 和一個長度為 n + 1 的整數數組 ranges ,其中 ranges\[i\] (下標從 0 開始)表示:如果打開點 i 處的水龍頭,可以灌溉的區域為 \[i - ranges\[i\], i + ranges\[i\]\] 。 請你返回可以灌溉整個花園的 最少水龍頭數目 。如果花園始終存在無法灌溉到的地方,請你返回 -1 。 示例 1: ![](https://img.kancloud.cn/63/96/639673d30232ba886aefb05e59d8d999_418x213.jpg) 輸入:n = 5, ranges = \[3,4,1,1,0,0\] 輸出:1 解釋: 點 0 處的水龍頭可以灌溉區間 \[-3,3\] 點 1 處的水龍頭可以灌溉區間 \[-3,5\] 點 2 處的水龍頭可以灌溉區間 \[1,3\] 點 3 處的水龍頭可以灌溉區間 \[2,4\] 點 4 處的水龍頭可以灌溉區間 \[4,4\] 點 5 處的水龍頭可以灌溉區間 \[5,5\] 只需要打開點 1 處的水龍頭即可灌溉整個花園 \[0,5\] 。 示例 2: 輸入:n = 3, ranges = \[0,0,0,0\] 輸出:-1 解釋:即使打開所有水龍頭,你也無法灌溉整個花園。 示例 3: 輸入:n = 7, ranges = \[1,2,1,0,2,1,0,1\] 輸出:3 示例 4: 輸入:n = 8, ranges = \[4,0,0,0,0,0,0,0,4\] 輸出:2 示例 5: 輸入:n = 8, ranges = \[4,0,0,0,4,0,0,0,4\] 輸出:1 提示: 1 <= n <= 10^4 ranges.length == n + 1 0 <= ranges\[i\] <= 100 #### 思路 貪心策略,我們盡量找到能夠覆蓋最遠(右邊)位置的水龍頭,并記錄它最右覆蓋的土地。 - 我們使用 furthest\[i\] 來記錄經過每一個水龍頭 i 能夠覆蓋的最右側土地。 - 一共有 n+1 個水龍頭,我們遍歷 n + 1 次。 - 對于每次我們計算水龍頭的左右邊界,\[i - ranges\[i\], i + ranges\[i\]\] - 我們更新左右邊界范圍內的水龍頭的 furthest - 最后從土地 0 開始,一直到土地 n ,記錄水龍頭數目 #### 代碼 代碼支持:Python3 Python3 Code: ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span> <span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">minTaps</span><span class="hljs-params">(self, n: int, ranges: List[int])</span> -> int:</span> furthest, cnt, cur = [<span class="hljs-params">0</span>] * n, <span class="hljs-params">0</span>, <span class="hljs-params">0</span> <span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(n + <span class="hljs-params">1</span>): l = max(<span class="hljs-params">0</span>, i - ranges[i]) r = min(n, i + ranges[i]) <span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> range(l, r): furthest[j] = max(furthest[j], r) <span class="hljs-keyword">while</span> cur < n: <span class="hljs-keyword">if</span> furthest[cur] == <span class="hljs-params">0</span>: <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">-1</span> cur = furthest[cur] cnt += <span class="hljs-params">1</span> <span class="hljs-keyword">return</span> cnt ``` ``` **復雜度分析** - 時間復雜度:時間復雜度取決 l 和 r,也就是說取決于 ranges 數組的值,假設 ranges 的平均大小為 Size 的話,那么時間復雜度為 O(N?Size)O(N \* Size)O(N?Size)。 - 空間復雜度:我們使用了 furthest 數組, 因此空間復雜度為 O(N)O(N)O(N)。
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