# 0062. 不同路徑
## 題目地址(62. 不同路徑)
<https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/>
## 題目描述
```
<pre class="calibre18">```
一個機器人位于一個 m x n 網格的左上角 (起始點在下圖中標記為“Start” )。
機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角(在下圖中標記為“Finish”)。
問總共有多少條不同的路徑?
```
```

```
<pre class="calibre18">```
例如,上圖是一個7 x 3 的網格。有多少可能的路徑?
示例 1:
輸入: m = 3, n = 2
輸出: 3
解釋:
從左上角開始,總共有 3 條路徑可以到達右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2:
輸入: m = 7, n = 3
輸出: 28
提示:
1 <= m, n <= 100
題目數據保證答案小于等于 2 * 10 ^ 9
```
```
## 前置知識
- 動態規劃
- 排列組合
## 公司
- 阿里
- 騰訊
- 百度
- 字節
## 思路
首先這道題可以用排列組合的解法來解,需要一點高中的知識。

而這道題我們用動態規劃來解。
這是一道典型的適合使用動態規劃解決的題目,它和爬樓梯等都屬于動態規劃中最簡單的題目,因此也經常會被用于面試之中。
讀完題目你就能想到動態規劃的話,建立模型并解決恐怕不是難事。其實我們很容易看出,由于機器人只能右移動和下移動, 因此第\[i, j\]個格子的總數應該等于\[i - 1, j\] + \[i, j -1\], 因為第\[i,j\]個格子一定是從左邊或者上面移動過來的。

代碼大概是:
Python Code:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">uniquePaths</span><span class="hljs-params">(self, m: int, n: int)</span> -> int:</span>
d = [[<span class="hljs-params">1</span>] * n <span class="hljs-keyword">for</span> _ <span class="hljs-keyword">in</span> range(m)]
<span class="hljs-keyword">for</span> col <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">1</span>, m):
<span class="hljs-keyword">for</span> row <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">1</span>, n):
d[col][row] = d[col - <span class="hljs-params">1</span>][row] + d[col][row - <span class="hljs-params">1</span>]
<span class="hljs-keyword">return</span> d[m - <span class="hljs-params">1</span>][n - <span class="hljs-params">1</span>]
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:O(M?N)O(M \* N)O(M?N)
- 空間復雜度:O(M?N)O(M \* N)O(M?N)
由于 dp\[i\]\[j\] 只依賴于左邊的元素和上面的元素,因此空間復雜度可以進一步優化, 優化到 O(n).

具體代碼請查看代碼區。
當然你也可以使用記憶化遞歸的方式來進行,由于遞歸深度的原因,性能比上面的方法差不少:
> 直接暴力遞歸的話可能會超時。
Python3 Code:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-params"> @lru_cache</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">uniquePaths</span><span class="hljs-params">(self, m: int, n: int)</span> -> int:</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> m == <span class="hljs-params">1</span> <span class="hljs-keyword">or</span> n == <span class="hljs-params">1</span>:
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">1</span>
cnt = self.uniquePaths(m - <span class="hljs-params">1</span>, n) + self.uniquePaths(m, n - <span class="hljs-params">1</span>)
<span class="hljs-keyword">return</span> cnt
```
```
## 關鍵點
- 排列組合原理
- 記憶化遞歸
- 基本動態規劃問題
- 空間復雜度可以進一步優化到 O(n), 這會是一個考點
## 代碼
代碼支持 JavaScript,Python3
JavaScript Code:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-title">/*
* @lc app=leetcode id=62 lang=javascript
*
* [62] Unique Paths
*
* https://leetcode.com/problems/unique-paths/description/
*/</span>
<span class="hljs-title">/**
* @param {number} m
* @param {number} n
* @return {number}
*/</span>
<span class="hljs-keyword">var</span> uniquePaths = <span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">function</span> (<span class="hljs-params">m, n</span>) </span>{
<span class="hljs-keyword">const</span> dp = <span class="hljs-params">Array</span>(n).fill(<span class="hljs-params">1</span>);
<span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-keyword">let</span> i = <span class="hljs-params">1</span>; i < m; i++) {
<span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-keyword">let</span> j = <span class="hljs-params">1</span>; j < n; j++) {
dp[j] = dp[j] + dp[j - <span class="hljs-params">1</span>];
}
}
<span class="hljs-keyword">return</span> dp[n - <span class="hljs-params">1</span>];
};
```
```
Python3 Code:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">uniquePaths</span><span class="hljs-params">(self, m: int, n: int)</span> -> int:</span>
dp = [<span class="hljs-params">1</span>] * n
<span class="hljs-keyword">for</span> _ <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">1</span>, m):
<span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">1</span>, n):
dp[j] += dp[j - <span class="hljs-params">1</span>]
<span class="hljs-keyword">return</span> dp[n - <span class="hljs-params">1</span>]
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:O(M?N)O(M \* N)O(M?N)
- 空間復雜度:O(N)O(N)O(N)
## 擴展
你可以做到比O(M?N)O(M \* N)O(M?N)更快,比O(N)O(N)O(N)更省內存的算法么?這里有一份[資料](https://leetcode.com/articles/unique-paths/)可供參考。
> 提示: 考慮數學
## 相關題目
- [70. 爬樓梯](https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/)
- [63. 不同路徑 II](63.unique-paths-ii.md)
- Introduction
- 第一章 - 算法專題
- 數據結構
- 基礎算法
- 二叉樹的遍歷
- 動態規劃
- 哈夫曼編碼和游程編碼
- 布隆過濾器
- 字符串問題
- 前綴樹專題
- 《貪婪策略》專題
- 《深度優先遍歷》專題
- 滑動窗口(思路 + 模板)
- 位運算
- 設計題
- 小島問題
- 最大公約數
- 并查集
- 前綴和
- 平衡二叉樹專題
- 第二章 - 91 天學算法
- 第一期講義-二分法
- 第一期講義-雙指針
- 第二期
- 第三章 - 精選題解
- 《日程安排》專題
- 《構造二叉樹》專題
- 字典序列刪除
- 百度的算法面試題 * 祖瑪游戲
- 西法的刷題秘籍】一次搞定前綴和
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?(第二彈)
- 《我是你的媽媽呀》 * 第一期
- 一文帶你看懂二叉樹的序列化
- 穿上衣服我就不認識你了?來聊聊最長上升子序列
- 你的衣服我扒了 * 《最長公共子序列》
- 一文看懂《最大子序列和問題》
- 第四章 - 高頻考題(簡單)
- 面試題 17.12. BiNode
- 0001. 兩數之和
- 0020. 有效的括號
- 0021. 合并兩個有序鏈表
- 0026. 刪除排序數組中的重復項
- 0053. 最大子序和
- 0088. 合并兩個有序數組
- 0101. 對稱二叉樹
- 0104. 二叉樹的最大深度
- 0108. 將有序數組轉換為二叉搜索樹
- 0121. 買賣股票的最佳時機
- 0122. 買賣股票的最佳時機 II
- 0125. 驗證回文串
- 0136. 只出現一次的數字
- 0155. 最小棧
- 0167. 兩數之和 II * 輸入有序數組
- 0169. 多數元素
- 0172. 階乘后的零
- 0190. 顛倒二進制位
- 0191. 位1的個數
- 0198. 打家劫舍
- 0203. 移除鏈表元素
- 0206. 反轉鏈表
- 0219. 存在重復元素 II
- 0226. 翻轉二叉樹
- 0232. 用棧實現隊列
- 0263. 丑數
- 0283. 移動零
- 0342. 4的冪
- 0349. 兩個數組的交集
- 0371. 兩整數之和
- 0437. 路徑總和 III
- 0455. 分發餅干
- 0575. 分糖果
- 0874. 模擬行走機器人
- 1260. 二維網格遷移
- 1332. 刪除回文子序列
- 第五章 - 高頻考題(中等)
- 0002. 兩數相加
- 0003. 無重復字符的最長子串
- 0005. 最長回文子串
- 0011. 盛最多水的容器
- 0015. 三數之和
- 0017. 電話號碼的字母組合
- 0019. 刪除鏈表的倒數第N個節點
- 0022. 括號生成
- 0024. 兩兩交換鏈表中的節點
- 0029. 兩數相除
- 0031. 下一個排列
- 0033. 搜索旋轉排序數組
- 0039. 組合總和
- 0040. 組合總和 II
- 0046. 全排列
- 0047. 全排列 II
- 0048. 旋轉圖像
- 0049. 字母異位詞分組
- 0050. Pow(x, n)
- 0055. 跳躍游戲
- 0056. 合并區間
- 0060. 第k個排列
- 0062. 不同路徑
- 0073. 矩陣置零
- 0075. 顏色分類
- 0078. 子集
- 0079. 單詞搜索
- 0080. 刪除排序數組中的重復項 II
- 0086. 分隔鏈表
- 0090. 子集 II
- 0091. 解碼方法
- 0092. 反轉鏈表 II
- 0094. 二叉樹的中序遍歷
- 0095. 不同的二叉搜索樹 II
- 0096. 不同的二叉搜索樹
- 0098. 驗證二叉搜索樹
- 0102. 二叉樹的層序遍歷
- 0103. 二叉樹的鋸齒形層次遍歷
- 105. 從前序與中序遍歷序列構造二叉樹
- 0113. 路徑總和 II
- 0129. 求根到葉子節點數字之和
- 0130. 被圍繞的區域
- 0131. 分割回文串
- 0139. 單詞拆分
- 0144. 二叉樹的前序遍歷
- 0150. 逆波蘭表達式求值
- 0152. 乘積最大子數組
- 0199. 二叉樹的右視圖
- 0200. 島嶼數量
- 0201. 數字范圍按位與
- 0208. 實現 Trie (前綴樹)
- 0209. 長度最小的子數組
- 0211. 添加與搜索單詞 * 數據結構設計
- 0215. 數組中的第K個最大元素
- 0221. 最大正方形
- 0229. 求眾數 II
- 0230. 二叉搜索樹中第K小的元素
- 0236. 二叉樹的最近公共祖先
- 0238. 除自身以外數組的乘積
- 0240. 搜索二維矩陣 II
- 0279. 完全平方數
- 0309. 最佳買賣股票時機含冷凍期
- 0322. 零錢兌換
- 0328. 奇偶鏈表
- 0334. 遞增的三元子序列
- 0337. 打家劫舍 III
- 0343. 整數拆分
- 0365. 水壺問題
- 0378. 有序矩陣中第K小的元素
- 0380. 常數時間插入、刪除和獲取隨機元素
- 0416. 分割等和子集
- 0445. 兩數相加 II
- 0454. 四數相加 II
- 0494. 目標和
- 0516. 最長回文子序列
- 0518. 零錢兌換 II
- 0547. 朋友圈
- 0560. 和為K的子數組
- 0609. 在系統中查找重復文件
- 0611. 有效三角形的個數
- 0718. 最長重復子數組
- 0754. 到達終點數字
- 0785. 判斷二分圖
- 0820. 單詞的壓縮編碼
- 0875. 愛吃香蕉的珂珂
- 0877. 石子游戲
- 0886. 可能的二分法
- 0900. RLE 迭代器
- 0912. 排序數組
- 0935. 騎士撥號器
- 1011. 在 D 天內送達包裹的能力
- 1014. 最佳觀光組合
- 1015. 可被 K 整除的最小整數
- 1019. 鏈表中的下一個更大節點
- 1020. 飛地的數量
- 1023. 駝峰式匹配
- 1031. 兩個非重疊子數組的最大和
- 1104. 二叉樹尋路
- 1131.絕對值表達式的最大值
- 1186. 刪除一次得到子數組最大和
- 1218. 最長定差子序列
- 1227. 飛機座位分配概率
- 1261. 在受污染的二叉樹中查找元素
- 1262. 可被三整除的最大和
- 1297. 子串的最大出現次數
- 1310. 子數組異或查詢
- 1334. 閾值距離內鄰居最少的城市
- 1371.每個元音包含偶數次的最長子字符串
- 第六章 - 高頻考題(困難)
- 0004. 尋找兩個正序數組的中位數
- 0023. 合并K個升序鏈表
- 0025. K 個一組翻轉鏈表
- 0030. 串聯所有單詞的子串
- 0032. 最長有效括號
- 0042. 接雨水
- 0052. N皇后 II
- 0084. 柱狀圖中最大的矩形
- 0085. 最大矩形
- 0124. 二叉樹中的最大路徑和
- 0128. 最長連續序列
- 0145. 二叉樹的后序遍歷
- 0212. 單詞搜索 II
- 0239. 滑動窗口最大值
- 0295. 數據流的中位數
- 0301. 刪除無效的括號
- 0312. 戳氣球
- 0335. 路徑交叉
- 0460. LFU緩存
- 0472. 連接詞
- 0488. 祖瑪游戲
- 0493. 翻轉對
- 0887. 雞蛋掉落
- 0895. 最大頻率棧
- 1032. 字符流
- 1168. 水資源分配優化
- 1449. 數位成本和為目標值的最大數字
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