# 0312. 戳氣球
### 題目地址(312. 戳氣球)
<https://leetcode-cn.com/problems/burst-balloons/>
### 題目描述
```
<pre class="calibre18">```
有 n 個氣球,編號為0 到 n-1,每個氣球上都標有一個數字,這些數字存在數組 nums 中。
現在要求你戳破所有的氣球。每當你戳破一個氣球 i 時,你可以獲得 nums[left] * nums[i] * nums[right] 個硬幣。 這里的 left 和 right 代表和 i 相鄰的兩個氣球的序號。注意當你戳破了氣球 i 后,氣球 left 和氣球 right 就變成了相鄰的氣球。
求所能獲得硬幣的最大數量。
說明:
你可以假設 nums[-1] = nums[n] = 1,但注意它們不是真實存在的所以并不能被戳破。
0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100
示例:
輸入: [3,1,5,8]
輸出: 167
解釋: nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins = 3*1*5 + 3*5*8 + 1*3*8 + 1*8*1 = 167
```
```
## 前置知識
- 回溯法
- 動態規劃
## 公司
- 阿里
- 騰訊
- 百度
- 字節
### 思路
#### 回溯法
分析一下這道題,就是要戳破所有的氣球,獲得硬幣的最大數量,然后左右兩邊的氣球相鄰了。我的第一反應就是暴力,回溯法。
但是肯定會超時,為什么呢?因為題目給的氣球數量有點多,最多 500 個;500 的階乘,會超時爆棧;但是我們依然寫一下代碼,找下突破口,小伙伴們千萬不要看不起暴力,暴力是優化的突破口;
如果小伙伴對回溯法不太熟悉,我建議你記住下面的模版,也可以看我之前寫的文章,回溯法基本可以使用以下的模版寫。回溯法省心省力,0 智商負擔。
#### 代碼
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-keyword">var</span> maxCoins = <span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">function</span> (<span class="hljs-params">nums</span>) </span>{
<span class="hljs-keyword">let</span> res = <span class="hljs-params">Number</span>.MIN_VALUE;
backtrack(nums, <span class="hljs-params">0</span>);
<span class="hljs-keyword">return</span> res;
<span class="hljs-title">// 回溯法,狀態樹很大</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">function</span> <span class="hljs-title">backtrack</span>(<span class="hljs-params">nums, score</span>) </span>{
<span class="hljs-keyword">if</span> (nums.length == <span class="hljs-params">0</span>) {
res = <span class="hljs-params">Math</span>.max(res, score);
<span class="hljs-keyword">return</span>;
}
<span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-keyword">let</span> i = <span class="hljs-params">0</span>, n = nums.length; i < n; i++) {
<span class="hljs-keyword">let</span> point =
(i - <span class="hljs-params">1</span> < <span class="hljs-params">0</span> ? <span class="hljs-params">1</span> : nums[i - <span class="hljs-params">1</span>]) *
nums[i] *
(i + <span class="hljs-params">1</span> >= n ? <span class="hljs-params">1</span> : nums[i + <span class="hljs-params">1</span>]);
<span class="hljs-keyword">let</span> tempNums = [].concat(nums);
<span class="hljs-title">// 做選擇 在 nums 中刪除元素 nums[i]</span>
nums.splice(i, <span class="hljs-params">1</span>);
<span class="hljs-title">// 遞歸回溯</span>
backtrack(nums, score + point);
<span class="hljs-title">// 撤銷選擇</span>
nums = [...tempNums];
}
}
};
```
```
#### 動態規劃
回溯法的缺點也很明顯,復雜度很高,對應本題戳氣球;小伙伴們可以腦補一下執行過程的狀態樹,這里我偷個懶就不畫了;通過仔細觀察這個狀態樹,我們會發現這個狀態樹的【選擇】上,會有一些重復的選擇分支;很明顯存在了重復子問題;自然我就想到了能不能用動態規劃來解決;
判讀能不能用動態規劃解決,還有一個問題,就是必須存在最優子結構;什么意思呢?其實就是根據局部最優,推導出答案;假設我們戳破第 k 個氣球是最優策略的最后一步,和上一步有沒有聯系呢?根據題目意思,戳破第 k 個,前一個和后一個就變成相鄰的了,看似是會有聯系,其實是沒有的。因為戳破第 k 個和 k-1 個是沒有聯系的,腦補一下回溯法的狀態樹就更加明確了;
既然用動態規劃,那就老套路了,把動態規劃的三個問題想清楚定義好;然后找出題目的【狀態】和【選擇】,然后根據【狀態】枚舉,枚舉的過程中根據【選擇】計算遞推就能得到答案了。
那本題的【選擇】是什么呢?就是戳哪一個氣球。那【狀態】呢?就是題目給的氣球數量。
1. 定義狀態
2. 這里有個細節,就是題目說明有兩個虛擬氣球,nums\[-1\] = nums\[n\] = 1;如果當前戳破的氣球是最后一個或者第一個,前面/后面沒有氣球了,不能乘以 0,而是乘以 1。
3. 定義狀態的最關鍵兩個點,往子問題(問題規模變小)想,最后一步最優策略是什么;我們假設最后戳破的氣球是 k,戳破 k 獲得最大數量的銀幣就是 nums\[i\] *nums\[k\]* nums\[j\] 再加上前面戳破的最大數量和后面的最大數量,即:nums\[i\] *nums\[k\]* nums\[j\] + 前面最大數量 + 后面最大數量,就是答案。
> 注意 i 不一定是 k - 1,同理 j 也不一定是 k + 1,因此可能 i - 1 和 i + 1 已經被戳破了。
- 而如果我們不考慮兩個虛擬氣球而直接定義狀態,戳到最后兩個氣球的時候又該怎么定義狀態來避免和前面的產生聯系呢?這兩個虛擬氣球就恰到好處了,這也是本題的一個難點之一。
- 那我們可以這樣來定義狀態,dp\[i\]\[j\] = x 表示戳破氣球 i 和氣球 j 之間(開區間,不包括 i 和 j)的所有氣球,可以獲得的最大硬幣數為 x。為什么開區間?因為不能和已經計算過的產生聯系,我們這樣定義之后,利用兩個虛擬氣球,戳到最后兩個氣球的時候就完美的避開了所有狀態的聯系。
- 狀態轉移方程
- 而對于 dp\[i\]\[j\],i 和 j 之間會有很多氣球,到底該戳哪個先呢?我們直接設為 k,枚舉選擇最優的 k 就可以了。
- 1。
- 所以,最終的狀態轉移方程為:dp\[i\]\[j\] = max(dp\[i\]\[j\], dp\[i\]\[k\] + dp\[k\]\[j\] + nums\[k\] *nums\[i\]* nums\[j\])。由于是開區間,因此 k 為 i + 1, i + 2... j - 1。
- 初始值和邊界
- 由于我們利用了兩個虛擬氣球,邊界就是氣球數 n + 2
- 初始值,當 i == j 時,很明顯兩個之間沒有氣球,所有為 0;
- 如何枚舉狀態
- 因為我們最終要求的答案是 dp\[0\]\[n + 1\],就是戳破虛擬氣球之間的所有氣球獲得的最大值;
- 當 i == j 時,i 和 j 之間是沒有氣球的,所以枚舉的狀態很明顯是 dp table 的左上部分,也就是 j 大于 i,如下圖所示,只給出一部分方便思考。
(圖有錯誤。圖中 dp\[k\]\[i\] 應該是 dp\[i\]\[k\],dp\[j\]\[k\] 應該是 dp\[k\]\[j\])
> 從上圖可以看出,我們需要從下到上,從左到右進行遍歷。
#### 代碼
代碼支持: JS, Python
JS Code:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-keyword">var</span> maxCoins = <span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">function</span> (<span class="hljs-params">nums</span>) </span>{
<span class="hljs-keyword">let</span> n = nums.length;
<span class="hljs-title">// 添加兩側的虛擬氣球</span>
<span class="hljs-keyword">let</span> points = [<span class="hljs-params">1</span>, ...nums, <span class="hljs-params">1</span>];
<span class="hljs-keyword">let</span> dp = <span class="hljs-params">Array</span>.from(<span class="hljs-params">Array</span>(n + <span class="hljs-params">2</span>), () => <span class="hljs-params">Array</span>(n + <span class="hljs-params">2</span>).fill(<span class="hljs-params">0</span>));
<span class="hljs-title">// 最后一行開始遍歷,從下往上</span>
<span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-keyword">let</span> i = n; i >= <span class="hljs-params">0</span>; i--) {
<span class="hljs-title">// 從左往右</span>
<span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-keyword">let</span> j = i + <span class="hljs-params">1</span>; j < n + <span class="hljs-params">2</span>; j++) {
<span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-keyword">let</span> k = i + <span class="hljs-params">1</span>; k < j; k++) {
dp[i][j] = <span class="hljs-params">Math</span>.max(
dp[i][j],
points[j] * points[k] * points[i] + dp[i][k] + dp[k][j]
);
}
}
}
<span class="hljs-keyword">return</span> dp[<span class="hljs-params">0</span>][n + <span class="hljs-params">1</span>];
};
```
```
Python Code:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">maxCoins</span><span class="hljs-params">(self, nums: List[int])</span> -> int:</span>
n = len(nums)
points = [<span class="hljs-params">1</span>] + nums + [<span class="hljs-params">1</span>]
dp = [[<span class="hljs-params">0</span>] * (n + <span class="hljs-params">2</span>) <span class="hljs-keyword">for</span> _ <span class="hljs-keyword">in</span> range(n + <span class="hljs-params">2</span>)]
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(n, <span class="hljs-params">-1</span>, <span class="hljs-params">-1</span>):
<span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> range(i + <span class="hljs-params">1</span>, n + <span class="hljs-params">2</span>):
<span class="hljs-keyword">for</span> k <span class="hljs-keyword">in</span> range(i + <span class="hljs-params">1</span>, j):
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + points[i] * points[k] * points[j])
<span class="hljs-keyword">return</span> dp[<span class="hljs-params">0</span>][<span class="hljs-params">-1</span>]
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:O(N3)O(N ^ 3)O(N3)
- 空間復雜度:O(N2)O(N ^ 2)O(N2)
### 總結
簡單的 dp 題目會直接告訴你怎么定義狀態,告訴你怎么選擇計算,你只需要根據套路判斷一下能不能用 dp 解題即可,而判斷能不能,往往暴力就是突破口。而困難點的 dp,我覺的都是細節問題了,要注意的細節太多了。感覺力扣加加,路西法大佬,把我領進了動態規劃的大門,共勉。
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- Introduction
- 第一章 - 算法專題
- 數據結構
- 基礎算法
- 二叉樹的遍歷
- 動態規劃
- 哈夫曼編碼和游程編碼
- 布隆過濾器
- 字符串問題
- 前綴樹專題
- 《貪婪策略》專題
- 《深度優先遍歷》專題
- 滑動窗口(思路 + 模板)
- 位運算
- 設計題
- 小島問題
- 最大公約數
- 并查集
- 前綴和
- 平衡二叉樹專題
- 第二章 - 91 天學算法
- 第一期講義-二分法
- 第一期講義-雙指針
- 第二期
- 第三章 - 精選題解
- 《日程安排》專題
- 《構造二叉樹》專題
- 字典序列刪除
- 百度的算法面試題 * 祖瑪游戲
- 西法的刷題秘籍】一次搞定前綴和
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?(第二彈)
- 《我是你的媽媽呀》 * 第一期
- 一文帶你看懂二叉樹的序列化
- 穿上衣服我就不認識你了?來聊聊最長上升子序列
- 你的衣服我扒了 * 《最長公共子序列》
- 一文看懂《最大子序列和問題》
- 第四章 - 高頻考題(簡單)
- 面試題 17.12. BiNode
- 0001. 兩數之和
- 0020. 有效的括號
- 0021. 合并兩個有序鏈表
- 0026. 刪除排序數組中的重復項
- 0053. 最大子序和
- 0088. 合并兩個有序數組
- 0101. 對稱二叉樹
- 0104. 二叉樹的最大深度
- 0108. 將有序數組轉換為二叉搜索樹
- 0121. 買賣股票的最佳時機
- 0122. 買賣股票的最佳時機 II
- 0125. 驗證回文串
- 0136. 只出現一次的數字
- 0155. 最小棧
- 0167. 兩數之和 II * 輸入有序數組
- 0169. 多數元素
- 0172. 階乘后的零
- 0190. 顛倒二進制位
- 0191. 位1的個數
- 0198. 打家劫舍
- 0203. 移除鏈表元素
- 0206. 反轉鏈表
- 0219. 存在重復元素 II
- 0226. 翻轉二叉樹
- 0232. 用棧實現隊列
- 0263. 丑數
- 0283. 移動零
- 0342. 4的冪
- 0349. 兩個數組的交集
- 0371. 兩整數之和
- 0437. 路徑總和 III
- 0455. 分發餅干
- 0575. 分糖果
- 0874. 模擬行走機器人
- 1260. 二維網格遷移
- 1332. 刪除回文子序列
- 第五章 - 高頻考題(中等)
- 0002. 兩數相加
- 0003. 無重復字符的最長子串
- 0005. 最長回文子串
- 0011. 盛最多水的容器
- 0015. 三數之和
- 0017. 電話號碼的字母組合
- 0019. 刪除鏈表的倒數第N個節點
- 0022. 括號生成
- 0024. 兩兩交換鏈表中的節點
- 0029. 兩數相除
- 0031. 下一個排列
- 0033. 搜索旋轉排序數組
- 0039. 組合總和
- 0040. 組合總和 II
- 0046. 全排列
- 0047. 全排列 II
- 0048. 旋轉圖像
- 0049. 字母異位詞分組
- 0050. Pow(x, n)
- 0055. 跳躍游戲
- 0056. 合并區間
- 0060. 第k個排列
- 0062. 不同路徑
- 0073. 矩陣置零
- 0075. 顏色分類
- 0078. 子集
- 0079. 單詞搜索
- 0080. 刪除排序數組中的重復項 II
- 0086. 分隔鏈表
- 0090. 子集 II
- 0091. 解碼方法
- 0092. 反轉鏈表 II
- 0094. 二叉樹的中序遍歷
- 0095. 不同的二叉搜索樹 II
- 0096. 不同的二叉搜索樹
- 0098. 驗證二叉搜索樹
- 0102. 二叉樹的層序遍歷
- 0103. 二叉樹的鋸齒形層次遍歷
- 105. 從前序與中序遍歷序列構造二叉樹
- 0113. 路徑總和 II
- 0129. 求根到葉子節點數字之和
- 0130. 被圍繞的區域
- 0131. 分割回文串
- 0139. 單詞拆分
- 0144. 二叉樹的前序遍歷
- 0150. 逆波蘭表達式求值
- 0152. 乘積最大子數組
- 0199. 二叉樹的右視圖
- 0200. 島嶼數量
- 0201. 數字范圍按位與
- 0208. 實現 Trie (前綴樹)
- 0209. 長度最小的子數組
- 0211. 添加與搜索單詞 * 數據結構設計
- 0215. 數組中的第K個最大元素
- 0221. 最大正方形
- 0229. 求眾數 II
- 0230. 二叉搜索樹中第K小的元素
- 0236. 二叉樹的最近公共祖先
- 0238. 除自身以外數組的乘積
- 0240. 搜索二維矩陣 II
- 0279. 完全平方數
- 0309. 最佳買賣股票時機含冷凍期
- 0322. 零錢兌換
- 0328. 奇偶鏈表
- 0334. 遞增的三元子序列
- 0337. 打家劫舍 III
- 0343. 整數拆分
- 0365. 水壺問題
- 0378. 有序矩陣中第K小的元素
- 0380. 常數時間插入、刪除和獲取隨機元素
- 0416. 分割等和子集
- 0445. 兩數相加 II
- 0454. 四數相加 II
- 0494. 目標和
- 0516. 最長回文子序列
- 0518. 零錢兌換 II
- 0547. 朋友圈
- 0560. 和為K的子數組
- 0609. 在系統中查找重復文件
- 0611. 有效三角形的個數
- 0718. 最長重復子數組
- 0754. 到達終點數字
- 0785. 判斷二分圖
- 0820. 單詞的壓縮編碼
- 0875. 愛吃香蕉的珂珂
- 0877. 石子游戲
- 0886. 可能的二分法
- 0900. RLE 迭代器
- 0912. 排序數組
- 0935. 騎士撥號器
- 1011. 在 D 天內送達包裹的能力
- 1014. 最佳觀光組合
- 1015. 可被 K 整除的最小整數
- 1019. 鏈表中的下一個更大節點
- 1020. 飛地的數量
- 1023. 駝峰式匹配
- 1031. 兩個非重疊子數組的最大和
- 1104. 二叉樹尋路
- 1131.絕對值表達式的最大值
- 1186. 刪除一次得到子數組最大和
- 1218. 最長定差子序列
- 1227. 飛機座位分配概率
- 1261. 在受污染的二叉樹中查找元素
- 1262. 可被三整除的最大和
- 1297. 子串的最大出現次數
- 1310. 子數組異或查詢
- 1334. 閾值距離內鄰居最少的城市
- 1371.每個元音包含偶數次的最長子字符串
- 第六章 - 高頻考題(困難)
- 0004. 尋找兩個正序數組的中位數
- 0023. 合并K個升序鏈表
- 0025. K 個一組翻轉鏈表
- 0030. 串聯所有單詞的子串
- 0032. 最長有效括號
- 0042. 接雨水
- 0052. N皇后 II
- 0084. 柱狀圖中最大的矩形
- 0085. 最大矩形
- 0124. 二叉樹中的最大路徑和
- 0128. 最長連續序列
- 0145. 二叉樹的后序遍歷
- 0212. 單詞搜索 II
- 0239. 滑動窗口最大值
- 0295. 數據流的中位數
- 0301. 刪除無效的括號
- 0312. 戳氣球
- 0335. 路徑交叉
- 0460. LFU緩存
- 0472. 連接詞
- 0488. 祖瑪游戲
- 0493. 翻轉對
- 0887. 雞蛋掉落
- 0895. 最大頻率棧
- 1032. 字符流
- 1168. 水資源分配優化
- 1449. 數位成本和為目標值的最大數字
- 后序