# 0004. 尋找兩個正序數組的中位數
## 題目地址(4. 尋找兩個正序數組的中位數)
<https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/>
## 題目描述
```
<pre class="calibre18">```
給定兩個大小為 m 和 n 的正序(從小到大)數組 nums1 和 nums2。
請你找出這兩個正序數組的中位數,并且要求算法的時間復雜度為 O(log(m + n))。
你可以假設 nums1 和 nums2 不會同時為空。
示例 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
則中位數是 2.0
示例 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
則中位數是 (2 + 3)/2 = 2.5
```
```
## 前置知識
- 中位數
- 分治法
- 二分查找
## 公司
- 阿里
- 百度
- 騰訊
## 思路
首先了解一下 Median 的概念,一個數組中 median 就是把數組分成左右等分的中位數。
如下圖: 
這道題,很容易想到暴力解法,時間復雜度和空間復雜度都是`O(m+n)`, 不符合題中給出`O(log(m+n))`時間復雜度的要求。 我們可以從簡單的解法入手,試了一下,暴力解法也是可以被 Leetcode Accept 的. 分析中會給出兩種解法,暴力求解和二分解法。
#### 解法一 - 暴力 (Brute Force)
暴力解主要是要 merge 兩個排序的數組`(A,B)`成一個排序的數組。
用兩個`pointer(i,j)`,`i` 從數組`A`起始位置開始,即`i=0`開始,`j` 從數組`B`起始位置, 即`j=0`開始. 一一比較 `A[i] 和 B[j]`,
1. 如果`A[i] <= B[j]`, 則把`A[i]` 放入新的數組中,i 往后移一位,即 `i+1`.
2. 如果`A[i] > B[j]`, 則把`B[j]` 放入新的數組中,j 往后移一位,即 `j+1`.
3. 重復步驟#1 和 #2,直到`i`移到`A`最后,或者`j`移到`B`最后。
4. 如果`j`移動到`B`數組最后,那么直接把剩下的所有`A`依次放入新的數組中.
5. 如果`i`移動到`A`數組最后,那么直接把剩下的所有`B`依次放入新的數組中.
Merge 的過程如下圖。 
*時間復雜度: `O(m+n) - m is length of A, n is length of B`*
*空間復雜度: `O(m+n)`*
#### 解法二 - 二分查找 (Binary Search)
由于題中給出的數組都是排好序的,在排好序的數組中查找很容易想到可以用二分查找(Binary Search), 這里對數組長度小的做二分, 保證數組 A 和 數組 B 做 partition 之后
`len(Aleft)+len(Bleft)=(m+n+1)/2 - m是數組A的長度, n是數組B的長度`
對數組 A 的做 partition 的位置是區間`[0,m]`
如圖: 
下圖給出幾種不同情況的例子(注意但左邊或者右邊沒有元素的時候,左邊用`INF_MIN`,右邊用`INF_MAX`表示左右的元素: 
下圖給出具體做的 partition 解題的例子步驟, 
*時間復雜度: `O(log(min(m, n)) - m is length of A, n is length of B`*
*空間復雜度: `O(1)` - 這里沒有用額外的空間*
## 關鍵點分析
1. 暴力求解,在線性時間內 merge 兩個排好序的數組成一個數組。
2. 二分查找,關鍵點在于
3. 要 partition 兩個排好序的數組成左右兩等份,partition 需要滿足`len(Aleft)+len(Bleft)=(m+n+1)/2 - m是數組A的長度, n是數組B的長度`
4. 并且 partition 后 A 左邊最大(`maxLeftA`), A 右邊最小(`minRightA`), B 左邊最大(`maxLeftB`), B 右邊最小(`minRightB`) 滿足 `(maxLeftA <= minRightB && maxLeftB <= minRightA)`
有了這兩個條件,那么 median 就在這四個數中,根據奇數或者是偶數,
```
<pre class="calibre18">```
奇數:
median = max(maxLeftA, maxLeftB)
偶數:
median = (max(maxLeftA, maxLeftB) + min(minRightA, minRightB)) / 2
```
```
## 代碼
代碼支持: Java,JS:
Java Code:
*解法一 - 暴力解法(Brute force)*
```java \[\] class MedianTwoSortedArrayBruteForce { public double findMedianSortedArrays(int\[\] nums1, int\[\] nums2) { int\[\] newArr = mergeTwoSortedArray(nums1, nums2); int n = newArr.length; if (n % 2 == 0) { // even return (double) (newArr\[n / 2\] + newArr\[n / 2 - 1\]) / 2; } else { // odd return (double) newArr\[n / 2\]; } } private int\[\] mergeTwoSortedArray(int\[\] nums1, int\[\] nums2) { int m = nums1.length; int n = nums2.length; int\[\] res = new int\[m + n\]; int i = 0; int j = 0; int idx = 0; while (i < m && j < n) { if (nums1\[i\] <= nums2\[j\]) { res\[idx++\] = nums1\[i++\]; } else { res\[idx++\] = nums2\[j++\]; } } while (i < m) { res\[idx++\] = nums1\[i++\]; } while (j < n) { res\[idx++\] = nums2\[j++\]; } return res; } }
```
<pre class="calibre18">```
```javascript []
/**
* @param {number[]} nums1
* @param {number[]} nums2
* @return {number}
*/
var findMedianSortedArrays = function (nums1, nums2) {
// 歸并排序
const merged = [];
let i = 0;
let j = 0;
while (i < nums1.length && j < nums2.length) {
if (nums1[i] < nums2[j]) {
merged.push(nums1[i++]);
} else {
merged.push(nums2[j++]);
}
}
while (i < nums1.length) {
merged.push(nums1[i++]);
}
while (j < nums2.length) {
merged.push(nums2[j++]);
}
const { length } = merged;
return length % 2 === 1
? merged[Math.floor(length / 2)]
: (merged[length / 2] + merged[length / 2 - 1]) / 2;
};
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:O(max(m,n))O(max(m, n))O(max(m,n))
- 空間復雜度:O(m+n)O(m + n)O(m+n)
*解法二 - 二分查找(Binary Search)*
```js \[\] /\*\*
- 二分解法
- @param {number\[\]} nums1
- @param {number\[\]} nums2
- @return {number} \*/ var findMedianSortedArrays = function (nums1, nums2) { // make sure to do binary search for shorten array if (nums1.length > nums2.length) { \[nums1, nums2\] = \[nums2, nums1\]; } const m = nums1.length; const n = nums2.length; let low = 0; let high = m; while (low <= high) { const i = low + Math.floor((high - low) / 2); const j = Math.floor((m + n + 1) / 2) - i;
const maxLeftA = i === 0 ? -Infinity : nums1\[i - 1\]; const minRightA = i === m ? Infinity : nums1\[i\]; const maxLeftB = j === 0 ? -Infinity : nums2\[j - 1\]; const minRightB = j === n ? Infinity : nums2\[j\];
if (maxLeftA <= minRightB && minRightA >= maxLeftB) { return (m + n) % 2 === 1
```
<pre class="calibre18">```
? Math.max(maxLeftA, maxLeftB)
: (Math.max(maxLeftA, maxLeftB) + Math.min(minRightA, minRightB)) / 2;
```
```
} else if (maxLeftA > minRightB) { high = i - 1; } else { low = low + 1; } } }; ```
```java \[\] class MedianSortedTwoArrayBinarySearch { public static double findMedianSortedArraysBinarySearch(int\[\] nums1, int\[\] nums2) { // do binary search for shorter length array, make sure time complexity log(min(m,n)). if (nums1.length > nums2.length) { return findMedianSortedArraysBinarySearch(nums2, nums1); } int m = nums1.length; int n = nums2.length; int lo = 0; int hi = m; while (lo <= hi) { // partition A position i int i = lo + (hi - lo) / 2; // partition B position j int j = (m + n + 1) / 2 - i;
```
<pre class="calibre18">```
int maxLeftA = i == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums1[i - 1];
int minRightA = i == m ? Integer.MAX_VALUE : nums1[i];
int maxLeftB = j == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums2[j - 1];
int minRightB = j == n ? Integer.MAX_VALUE : nums2[j];
if (maxLeftA <= minRightB && maxLeftB <= minRightA) {
// total length is even
if ((m + n) % 2 == 0) {
return (double) (Math.max(maxLeftA, maxLeftB) + Math.min(minRightA, minRightB)) / 2;
} else {
// total length is odd
return (double) Math.max(maxLeftA, maxLeftB);
}
} else if (maxLeftA > minRightB) {
// binary search left half
hi = i - 1;
} else {
// binary search right half
lo = i + 1;
}
}
return 0.0;
}
```
```
} ```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:O(log(min(m,n)))O(log(min(m, n)))O(log(min(m,n)))
- 空間復雜度:O(log(min(m,n)))O(log(min(m, n)))O(log(min(m,n)))
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- Introduction
- 第一章 - 算法專題
- 數據結構
- 基礎算法
- 二叉樹的遍歷
- 動態規劃
- 哈夫曼編碼和游程編碼
- 布隆過濾器
- 字符串問題
- 前綴樹專題
- 《貪婪策略》專題
- 《深度優先遍歷》專題
- 滑動窗口(思路 + 模板)
- 位運算
- 設計題
- 小島問題
- 最大公約數
- 并查集
- 前綴和
- 平衡二叉樹專題
- 第二章 - 91 天學算法
- 第一期講義-二分法
- 第一期講義-雙指針
- 第二期
- 第三章 - 精選題解
- 《日程安排》專題
- 《構造二叉樹》專題
- 字典序列刪除
- 百度的算法面試題 * 祖瑪游戲
- 西法的刷題秘籍】一次搞定前綴和
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?(第二彈)
- 《我是你的媽媽呀》 * 第一期
- 一文帶你看懂二叉樹的序列化
- 穿上衣服我就不認識你了?來聊聊最長上升子序列
- 你的衣服我扒了 * 《最長公共子序列》
- 一文看懂《最大子序列和問題》
- 第四章 - 高頻考題(簡單)
- 面試題 17.12. BiNode
- 0001. 兩數之和
- 0020. 有效的括號
- 0021. 合并兩個有序鏈表
- 0026. 刪除排序數組中的重復項
- 0053. 最大子序和
- 0088. 合并兩個有序數組
- 0101. 對稱二叉樹
- 0104. 二叉樹的最大深度
- 0108. 將有序數組轉換為二叉搜索樹
- 0121. 買賣股票的最佳時機
- 0122. 買賣股票的最佳時機 II
- 0125. 驗證回文串
- 0136. 只出現一次的數字
- 0155. 最小棧
- 0167. 兩數之和 II * 輸入有序數組
- 0169. 多數元素
- 0172. 階乘后的零
- 0190. 顛倒二進制位
- 0191. 位1的個數
- 0198. 打家劫舍
- 0203. 移除鏈表元素
- 0206. 反轉鏈表
- 0219. 存在重復元素 II
- 0226. 翻轉二叉樹
- 0232. 用棧實現隊列
- 0263. 丑數
- 0283. 移動零
- 0342. 4的冪
- 0349. 兩個數組的交集
- 0371. 兩整數之和
- 0437. 路徑總和 III
- 0455. 分發餅干
- 0575. 分糖果
- 0874. 模擬行走機器人
- 1260. 二維網格遷移
- 1332. 刪除回文子序列
- 第五章 - 高頻考題(中等)
- 0002. 兩數相加
- 0003. 無重復字符的最長子串
- 0005. 最長回文子串
- 0011. 盛最多水的容器
- 0015. 三數之和
- 0017. 電話號碼的字母組合
- 0019. 刪除鏈表的倒數第N個節點
- 0022. 括號生成
- 0024. 兩兩交換鏈表中的節點
- 0029. 兩數相除
- 0031. 下一個排列
- 0033. 搜索旋轉排序數組
- 0039. 組合總和
- 0040. 組合總和 II
- 0046. 全排列
- 0047. 全排列 II
- 0048. 旋轉圖像
- 0049. 字母異位詞分組
- 0050. Pow(x, n)
- 0055. 跳躍游戲
- 0056. 合并區間
- 0060. 第k個排列
- 0062. 不同路徑
- 0073. 矩陣置零
- 0075. 顏色分類
- 0078. 子集
- 0079. 單詞搜索
- 0080. 刪除排序數組中的重復項 II
- 0086. 分隔鏈表
- 0090. 子集 II
- 0091. 解碼方法
- 0092. 反轉鏈表 II
- 0094. 二叉樹的中序遍歷
- 0095. 不同的二叉搜索樹 II
- 0096. 不同的二叉搜索樹
- 0098. 驗證二叉搜索樹
- 0102. 二叉樹的層序遍歷
- 0103. 二叉樹的鋸齒形層次遍歷
- 105. 從前序與中序遍歷序列構造二叉樹
- 0113. 路徑總和 II
- 0129. 求根到葉子節點數字之和
- 0130. 被圍繞的區域
- 0131. 分割回文串
- 0139. 單詞拆分
- 0144. 二叉樹的前序遍歷
- 0150. 逆波蘭表達式求值
- 0152. 乘積最大子數組
- 0199. 二叉樹的右視圖
- 0200. 島嶼數量
- 0201. 數字范圍按位與
- 0208. 實現 Trie (前綴樹)
- 0209. 長度最小的子數組
- 0211. 添加與搜索單詞 * 數據結構設計
- 0215. 數組中的第K個最大元素
- 0221. 最大正方形
- 0229. 求眾數 II
- 0230. 二叉搜索樹中第K小的元素
- 0236. 二叉樹的最近公共祖先
- 0238. 除自身以外數組的乘積
- 0240. 搜索二維矩陣 II
- 0279. 完全平方數
- 0309. 最佳買賣股票時機含冷凍期
- 0322. 零錢兌換
- 0328. 奇偶鏈表
- 0334. 遞增的三元子序列
- 0337. 打家劫舍 III
- 0343. 整數拆分
- 0365. 水壺問題
- 0378. 有序矩陣中第K小的元素
- 0380. 常數時間插入、刪除和獲取隨機元素
- 0416. 分割等和子集
- 0445. 兩數相加 II
- 0454. 四數相加 II
- 0494. 目標和
- 0516. 最長回文子序列
- 0518. 零錢兌換 II
- 0547. 朋友圈
- 0560. 和為K的子數組
- 0609. 在系統中查找重復文件
- 0611. 有效三角形的個數
- 0718. 最長重復子數組
- 0754. 到達終點數字
- 0785. 判斷二分圖
- 0820. 單詞的壓縮編碼
- 0875. 愛吃香蕉的珂珂
- 0877. 石子游戲
- 0886. 可能的二分法
- 0900. RLE 迭代器
- 0912. 排序數組
- 0935. 騎士撥號器
- 1011. 在 D 天內送達包裹的能力
- 1014. 最佳觀光組合
- 1015. 可被 K 整除的最小整數
- 1019. 鏈表中的下一個更大節點
- 1020. 飛地的數量
- 1023. 駝峰式匹配
- 1031. 兩個非重疊子數組的最大和
- 1104. 二叉樹尋路
- 1131.絕對值表達式的最大值
- 1186. 刪除一次得到子數組最大和
- 1218. 最長定差子序列
- 1227. 飛機座位分配概率
- 1261. 在受污染的二叉樹中查找元素
- 1262. 可被三整除的最大和
- 1297. 子串的最大出現次數
- 1310. 子數組異或查詢
- 1334. 閾值距離內鄰居最少的城市
- 1371.每個元音包含偶數次的最長子字符串
- 第六章 - 高頻考題(困難)
- 0004. 尋找兩個正序數組的中位數
- 0023. 合并K個升序鏈表
- 0025. K 個一組翻轉鏈表
- 0030. 串聯所有單詞的子串
- 0032. 最長有效括號
- 0042. 接雨水
- 0052. N皇后 II
- 0084. 柱狀圖中最大的矩形
- 0085. 最大矩形
- 0124. 二叉樹中的最大路徑和
- 0128. 最長連續序列
- 0145. 二叉樹的后序遍歷
- 0212. 單詞搜索 II
- 0239. 滑動窗口最大值
- 0295. 數據流的中位數
- 0301. 刪除無效的括號
- 0312. 戳氣球
- 0335. 路徑交叉
- 0460. LFU緩存
- 0472. 連接詞
- 0488. 祖瑪游戲
- 0493. 翻轉對
- 0887. 雞蛋掉落
- 0895. 最大頻率棧
- 1032. 字符流
- 1168. 水資源分配優化
- 1449. 數位成本和為目標值的最大數字
- 后序