# 1131.絕對值表達式的最大值
## 題目地址(1131. 絕對值表達式的最大值)
<https://leetcode-cn.com/problems/maximum-of-absolute-value-expression/>
## 題目描述
```
<pre class="calibre18">```
給你兩個長度相等的整數數組,返回下面表達式的最大值:
|arr1[i] - arr1[j]| + |arr2[i] - arr2[j]| + |i - j|
其中下標 i,j 滿足 0 <= i, j < arr1.length。
示例 1:
輸入:arr1 = [1,2,3,4], arr2 = [-1,4,5,6]
輸出:13
示例 2:
輸入:arr1 = [1,-2,-5,0,10], arr2 = [0,-2,-1,-7,-4]
輸出:20
提示:
2 <= arr1.length == arr2.length <= 40000
-10^6 <= arr1[i], arr2[i] <= 10^6
```
```
## 前置知識
- 數組
## 解法一(數學分析)
## 公司
- 阿里
- 騰訊
- 字節
### 思路
如圖我們要求的是這樣一個表達式的最大值。arr1 和 arr2 為兩個不同的數組,且二者長度相同。i 和 j 是兩個合法的索引。
> 紅色豎線表示的是絕對值的符號

我們對其進行分類討論,有如下八種情況:
> |arr1\[i\] -arr1\[j\]| 兩種情況 |arr2\[i\] -arr2\[j\]| 兩種情況 |i - j| 兩種情況 因此一共是 2 \* 2 \* 2 = 8 種

由于 i 和 j 之前沒有大小關系,也就說二者可以相互替代。因此:
- 1 等價于 8
- 2 等價于 7
- 3 等價于 6
- 4 等價于 5
也就是說我們只需要計算 1,2,3,4 的最大值就可以了。(當然你可以選擇其他組合,只要完備就行)
為了方便,我們將 i 和 j 都提取到一起:

容易看出等式的最大值就是前面的最大值,和后面最小值的差值。如圖:

再仔細觀察,會發現前面部分和后面部分是一樣的,原因還是上面所說的 i 和 j 可以互換。因此我們要做的就是:
- 遍歷一遍數組,然后計算四個表達式, arr1\[i\] + arr2\[i\] + i,arr1\[i\] - arr2\[i\] + i,arr2\[i\] - arr1\[i\] + i 和 -1 \* arr2\[i\] - arr1\[i\] + i 的 最大值和最小值。
- 然后分別取出四個表達式最大值和最小值的差值(就是這個表達式的最大值)
- 四個表達式最大值再取出最大值
### 關鍵點
- 數學分析
### 代碼
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">maxAbsValExpr</span><span class="hljs-params">(self, arr1: List[int], arr2: List[int])</span> -> int:</span>
A = []
B = []
C = []
D = []
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(len(arr1)):
a, b, c, d = arr1[i] + arr2[i] + i, arr1[i] - arr2[i] + \
i, arr2[i] - arr1[i] + i, <span class="hljs-params">-1</span> * arr2[i] - arr1[i] + i
A.append(a)
B.append(b)
C.append(c)
D.append(d)
<span class="hljs-keyword">return</span> max(max(A) - min(A), max(B) - min(B), max(C) - min(C), max(D) - min(D))
```
```
## 解法二(曼哈頓距離)
### 思路

(圖來自: [https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%BC%E5%93%88%E9%A0%93%E8%B7%9D%E9%9B%A2)](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%BC%E5%93%88%E9%A0%93%E8%B7%9D%E9%9B%A2%EF%BC%89)
一維曼哈頓距離可以理解為一條線上兩點之間的距離: |x1 - x2|,其值為 max(x1 - x2, x2 - x1)

在平面上,坐標(x1, y1)的點 P1 與坐標(x2, y2)的點 P2 的曼哈頓距離為:|x1-x2| + |y1 - y2|,其值為 max(x1 - x2 + y1 - y2, x2 - x1 + y1 - y2, x1 - x2 + y2 - y1, x2 -x1 + y2 - y1)

然后這道題目是更復雜的三維曼哈頓距離,其中(i, arr\[i\], arr\[j\])可以看作三位空間中的一個點,問題轉化為曼哈頓距離最遠的兩個點的距離。 延續上面的思路,|x1-x2| + |y1 - y2| + |z1 - z2|,其值為 :
max(
x1 - x2 + y1 - y2 + z1 - z2,
x1 - x2 + y1 - y2 + z2 - z1,
x2 - x1 + y1 - y2 + z1 - z2,
x2 - x1 + y1 - y2 + z2 - z1,
x1 - x2 + y2 - y1 + z1 - z2,
x1 - x2 + y2 - y1 + z2- z1,
x2 -x1 + y2 - y1 + z1 - z2,
x2 -x1 + y2 - y1 + z2 - z1
)
我們可以將 1 和 2 放在一起方便計算:
max(
x1 + y1 + z1 - (x2 + y2 + z2),
x1 + y1 - z1 - (x2 + y2 - z2)
...
)
我們甚至可以擴展到 n 維,具體代碼見下方。
### 關鍵點
- 曼哈頓距離
- 曼哈頓距離代碼模板
> 解題模板可以幫助你快速并且更少錯誤的解題,更多解題模板請期待我的[新書](https://lucifer.ren/blog/2019/12/11/draft/)(未完成)
### 代碼
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">maxAbsValExpr</span><span class="hljs-params">(self, arr1: List[int], arr2: List[int])</span> -> int:</span>
<span class="hljs-title"># 曼哈頓距離模板代碼</span>
sign = [<span class="hljs-params">1</span>, <span class="hljs-params">-1</span>]
n = len(arr1)
dists = []
<span class="hljs-title"># 三維模板</span>
<span class="hljs-keyword">for</span> a <span class="hljs-keyword">in</span> sign:
<span class="hljs-keyword">for</span> b <span class="hljs-keyword">in</span> sign:
<span class="hljs-keyword">for</span> c <span class="hljs-keyword">in</span> sign:
maxDist = float(<span class="hljs-string">'-inf'</span>)
minDist = float(<span class="hljs-string">'inf'</span>)
<span class="hljs-title"># 分別計算所有點的曼哈頓距離</span>
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(n):
dist = arr1[i] * a + arr2[i] * b + i * c
maxDist = max(maxDist, dist)
minDist = min(minDist, dist)
<span class="hljs-title"># 將所有的點的曼哈頓距離放到dists中</span>
dists.append(maxDist - minDist)
<span class="hljs-keyword">return</span> max(dists)
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:O(N3)O(N^3)O(N3)
- 空間復雜度:O(N)O(N)O(N)
## 總結
可以看出其實兩種解法都是一樣的,只是思考角度不一樣。
## 相關題目
- [1030. 距離順序排列矩陣單元格](https://leetcode-cn.com/problems/matrix-cells-in-distance-order/)

- [1162. 地圖分析](https://leetcode-cn.com/problems/as-far-from-land-as-possible/)
大家對此有何看法,歡迎給我留言,我有時間都會一一查看回答。更多算法套路可以訪問我的 LeetCode 題解倉庫:<https://github.com/azl397985856/leetcode> 。 目前已經 37K star 啦。 大家也可以關注我的公眾號《力扣加加》帶你啃下算法這塊硬骨頭。 
- Introduction
- 第一章 - 算法專題
- 數據結構
- 基礎算法
- 二叉樹的遍歷
- 動態規劃
- 哈夫曼編碼和游程編碼
- 布隆過濾器
- 字符串問題
- 前綴樹專題
- 《貪婪策略》專題
- 《深度優先遍歷》專題
- 滑動窗口(思路 + 模板)
- 位運算
- 設計題
- 小島問題
- 最大公約數
- 并查集
- 前綴和
- 平衡二叉樹專題
- 第二章 - 91 天學算法
- 第一期講義-二分法
- 第一期講義-雙指針
- 第二期
- 第三章 - 精選題解
- 《日程安排》專題
- 《構造二叉樹》專題
- 字典序列刪除
- 百度的算法面試題 * 祖瑪游戲
- 西法的刷題秘籍】一次搞定前綴和
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?(第二彈)
- 《我是你的媽媽呀》 * 第一期
- 一文帶你看懂二叉樹的序列化
- 穿上衣服我就不認識你了?來聊聊最長上升子序列
- 你的衣服我扒了 * 《最長公共子序列》
- 一文看懂《最大子序列和問題》
- 第四章 - 高頻考題(簡單)
- 面試題 17.12. BiNode
- 0001. 兩數之和
- 0020. 有效的括號
- 0021. 合并兩個有序鏈表
- 0026. 刪除排序數組中的重復項
- 0053. 最大子序和
- 0088. 合并兩個有序數組
- 0101. 對稱二叉樹
- 0104. 二叉樹的最大深度
- 0108. 將有序數組轉換為二叉搜索樹
- 0121. 買賣股票的最佳時機
- 0122. 買賣股票的最佳時機 II
- 0125. 驗證回文串
- 0136. 只出現一次的數字
- 0155. 最小棧
- 0167. 兩數之和 II * 輸入有序數組
- 0169. 多數元素
- 0172. 階乘后的零
- 0190. 顛倒二進制位
- 0191. 位1的個數
- 0198. 打家劫舍
- 0203. 移除鏈表元素
- 0206. 反轉鏈表
- 0219. 存在重復元素 II
- 0226. 翻轉二叉樹
- 0232. 用棧實現隊列
- 0263. 丑數
- 0283. 移動零
- 0342. 4的冪
- 0349. 兩個數組的交集
- 0371. 兩整數之和
- 0437. 路徑總和 III
- 0455. 分發餅干
- 0575. 分糖果
- 0874. 模擬行走機器人
- 1260. 二維網格遷移
- 1332. 刪除回文子序列
- 第五章 - 高頻考題(中等)
- 0002. 兩數相加
- 0003. 無重復字符的最長子串
- 0005. 最長回文子串
- 0011. 盛最多水的容器
- 0015. 三數之和
- 0017. 電話號碼的字母組合
- 0019. 刪除鏈表的倒數第N個節點
- 0022. 括號生成
- 0024. 兩兩交換鏈表中的節點
- 0029. 兩數相除
- 0031. 下一個排列
- 0033. 搜索旋轉排序數組
- 0039. 組合總和
- 0040. 組合總和 II
- 0046. 全排列
- 0047. 全排列 II
- 0048. 旋轉圖像
- 0049. 字母異位詞分組
- 0050. Pow(x, n)
- 0055. 跳躍游戲
- 0056. 合并區間
- 0060. 第k個排列
- 0062. 不同路徑
- 0073. 矩陣置零
- 0075. 顏色分類
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- 0080. 刪除排序數組中的重復項 II
- 0086. 分隔鏈表
- 0090. 子集 II
- 0091. 解碼方法
- 0092. 反轉鏈表 II
- 0094. 二叉樹的中序遍歷
- 0095. 不同的二叉搜索樹 II
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- 0098. 驗證二叉搜索樹
- 0102. 二叉樹的層序遍歷
- 0103. 二叉樹的鋸齒形層次遍歷
- 105. 從前序與中序遍歷序列構造二叉樹
- 0113. 路徑總和 II
- 0129. 求根到葉子節點數字之和
- 0130. 被圍繞的區域
- 0131. 分割回文串
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- 0150. 逆波蘭表達式求值
- 0152. 乘積最大子數組
- 0199. 二叉樹的右視圖
- 0200. 島嶼數量
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- 0208. 實現 Trie (前綴樹)
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- 0215. 數組中的第K個最大元素
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- 0229. 求眾數 II
- 0230. 二叉搜索樹中第K小的元素
- 0236. 二叉樹的最近公共祖先
- 0238. 除自身以外數組的乘積
- 0240. 搜索二維矩陣 II
- 0279. 完全平方數
- 0309. 最佳買賣股票時機含冷凍期
- 0322. 零錢兌換
- 0328. 奇偶鏈表
- 0334. 遞增的三元子序列
- 0337. 打家劫舍 III
- 0343. 整數拆分
- 0365. 水壺問題
- 0378. 有序矩陣中第K小的元素
- 0380. 常數時間插入、刪除和獲取隨機元素
- 0416. 分割等和子集
- 0445. 兩數相加 II
- 0454. 四數相加 II
- 0494. 目標和
- 0516. 最長回文子序列
- 0518. 零錢兌換 II
- 0547. 朋友圈
- 0560. 和為K的子數組
- 0609. 在系統中查找重復文件
- 0611. 有效三角形的個數
- 0718. 最長重復子數組
- 0754. 到達終點數字
- 0785. 判斷二分圖
- 0820. 單詞的壓縮編碼
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- 0877. 石子游戲
- 0886. 可能的二分法
- 0900. RLE 迭代器
- 0912. 排序數組
- 0935. 騎士撥號器
- 1011. 在 D 天內送達包裹的能力
- 1014. 最佳觀光組合
- 1015. 可被 K 整除的最小整數
- 1019. 鏈表中的下一個更大節點
- 1020. 飛地的數量
- 1023. 駝峰式匹配
- 1031. 兩個非重疊子數組的最大和
- 1104. 二叉樹尋路
- 1131.絕對值表達式的最大值
- 1186. 刪除一次得到子數組最大和
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- 1262. 可被三整除的最大和
- 1297. 子串的最大出現次數
- 1310. 子數組異或查詢
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- 1371.每個元音包含偶數次的最長子字符串
- 第六章 - 高頻考題(困難)
- 0004. 尋找兩個正序數組的中位數
- 0023. 合并K個升序鏈表
- 0025. K 個一組翻轉鏈表
- 0030. 串聯所有單詞的子串
- 0032. 最長有效括號
- 0042. 接雨水
- 0052. N皇后 II
- 0084. 柱狀圖中最大的矩形
- 0085. 最大矩形
- 0124. 二叉樹中的最大路徑和
- 0128. 最長連續序列
- 0145. 二叉樹的后序遍歷
- 0212. 單詞搜索 II
- 0239. 滑動窗口最大值
- 0295. 數據流的中位數
- 0301. 刪除無效的括號
- 0312. 戳氣球
- 0335. 路徑交叉
- 0460. LFU緩存
- 0472. 連接詞
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- 0887. 雞蛋掉落
- 0895. 最大頻率棧
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