# 1131.絕對值表達式的最大值 ## 題目地址（1131. 絕對值表達式的最大值） <https://leetcode-cn.com/problems/maximum-of-absolute-value-expression/> ## 題目描述 ``` <pre class="calibre18">``` 給你兩個長度相等的整數數組，返回下面表達式的最大值： |arr1[i] - arr1[j]| + |arr2[i] - arr2[j]| + |i - j| 其中下標 i，j 滿足 0 <= i, j < arr1.length。 示例 1： 輸入：arr1 = [1,2,3,4], arr2 = [-1,4,5,6] 輸出：13 示例 2： 輸入：arr1 = [1,-2,-5,0,10], arr2 = [0,-2,-1,-7,-4] 輸出：20 提示： 2 <= arr1.length == arr2.length <= 40000 -10^6 <= arr1[i], arr2[i] <= 10^6 ``` ``` ## 前置知識 - 數組 ## 解法一（數學分析） ## 公司 - 阿里 - 騰訊 - 字節 ### 思路 如圖我們要求的是這樣一個表達式的最大值。arr1 和 arr2 為兩個不同的數組，且二者長度相同。i 和 j 是兩個合法的索引。 > 紅色豎線表示的是絕對值的符號  我們對其進行分類討論，有如下八種情況： > |arr1\[i\] -arr1\[j\]| 兩種情況 |arr2\[i\] -arr2\[j\]| 兩種情況 |i - j| 兩種情況 因此一共是 2 \* 2 \* 2 = 8 種  由于 i 和 j 之前沒有大小關系，也就說二者可以相互替代。因此： - 1 等價于 8 - 2 等價于 7 - 3 等價于 6 - 4 等價于 5 也就是說我們只需要計算 1，2，3，4 的最大值就可以了。（當然你可以選擇其他組合，只要完備就行） 為了方便，我們將 i 和 j 都提取到一起：  容易看出等式的最大值就是前面的最大值，和后面最小值的差值。如圖：  再仔細觀察，會發現前面部分和后面部分是一樣的，原因還是上面所說的 i 和 j 可以互換。因此我們要做的就是： - 遍歷一遍數組，然后計算四個表達式， arr1\[i\] + arr2\[i\] + i，arr1\[i\] - arr2\[i\] + i，arr2\[i\] - arr1\[i\] + i 和 -1 \* arr2\[i\] - arr1\[i\] + i 的 最大值和最小值。 - 然后分別取出四個表達式最大值和最小值的差值（就是這個表達式的最大值） - 四個表達式最大值再取出最大值 ### 關鍵點 - 數學分析 ### 代碼 ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span> <span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">maxAbsValExpr</span><span class="hljs-params">(self, arr1: List[int], arr2: List[int])</span> -> int:</span> A = [] B = [] C = [] D = [] <span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(len(arr1)): a, b, c, d = arr1[i] + arr2[i] + i, arr1[i] - arr2[i] + \ i, arr2[i] - arr1[i] + i, <span class="hljs-params">-1</span> * arr2[i] - arr1[i] + i A.append(a) B.append(b) C.append(c) D.append(d) <span class="hljs-keyword">return</span> max(max(A) - min(A), max(B) - min(B), max(C) - min(C), max(D) - min(D)) ``` ``` ## 解法二（曼哈頓距離） ### 思路  （圖來自： [https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%BC%E5%93%88%E9%A0%93%E8%B7%9D%E9%9B%A2）](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9B%BC%E5%93%88%E9%A0%93%E8%B7%9D%E9%9B%A2%EF%BC%89) 一維曼哈頓距離可以理解為一條線上兩點之間的距離: |x1 - x2|，其值為 max(x1 - x2, x2 - x1)  在平面上，坐標（x1, y1）的點 P1 與坐標（x2, y2）的點 P2 的曼哈頓距離為：|x1-x2| + |y1 - y2|,其值為 max(x1 - x2 + y1 - y2, x2 - x1 + y1 - y2, x1 - x2 + y2 - y1, x2 -x1 + y2 - y1)  然后這道題目是更復雜的三維曼哈頓距離，其中(i, arr\[i\], arr\[j\])可以看作三位空間中的一個點，問題轉化為曼哈頓距離最遠的兩個點的距離。 延續上面的思路，|x1-x2| + |y1 - y2| + |z1 - z2|,其值為 : max( x1 - x2 + y1 - y2 + z1 - z2, x1 - x2 + y1 - y2 + z2 - z1, x2 - x1 + y1 - y2 + z1 - z2, x2 - x1 + y1 - y2 + z2 - z1, x1 - x2 + y2 - y1 + z1 - z2, x1 - x2 + y2 - y1 + z2- z1, x2 -x1 + y2 - y1 + z1 - z2， x2 -x1 + y2 - y1 + z2 - z1 ) 我們可以將 1 和 2 放在一起方便計算： max( x1 + y1 + z1 - (x2 + y2 + z2)， x1 + y1 - z1 - (x2 + y2 - z2) ... ) 我們甚至可以擴展到 n 維，具體代碼見下方。 ### 關鍵點 - 曼哈頓距離 - 曼哈頓距離代碼模板 > 解題模板可以幫助你快速并且更少錯誤的解題，更多解題模板請期待我的[新書](https://lucifer.ren/blog/2019/12/11/draft/)(未完成) ### 代碼 ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span> <span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">maxAbsValExpr</span><span class="hljs-params">(self, arr1: List[int], arr2: List[int])</span> -> int:</span> <span class="hljs-title"># 曼哈頓距離模板代碼</span> sign = [<span class="hljs-params">1</span>, <span class="hljs-params">-1</span>] n = len(arr1) dists = [] <span class="hljs-title"># 三維模板</span> <span class="hljs-keyword">for</span> a <span class="hljs-keyword">in</span> sign: <span class="hljs-keyword">for</span> b <span class="hljs-keyword">in</span> sign: <span class="hljs-keyword">for</span> c <span class="hljs-keyword">in</span> sign: maxDist = float(<span class="hljs-string">'-inf'</span>) minDist = float(<span class="hljs-string">'inf'</span>) <span class="hljs-title"># 分別計算所有點的曼哈頓距離</span> <span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(n): dist = arr1[i] * a + arr2[i] * b + i * c maxDist = max(maxDist, dist) minDist = min(minDist, dist) <span class="hljs-title"># 將所有的點的曼哈頓距離放到dists中</span> dists.append(maxDist - minDist) <span class="hljs-keyword">return</span> max(dists) ``` ``` **復雜度分析** - 時間復雜度：O(N3)O(N^3)O(N3) - 空間復雜度：O(N)O(N)O(N) ## 總結 可以看出其實兩種解法都是一樣的，只是思考角度不一樣。 ## 相關題目 - [1030. 距離順序排列矩陣單元格](https://leetcode-cn.com/problems/matrix-cells-in-distance-order/)  - [1162. 地圖分析](https://leetcode-cn.com/problems/as-far-from-land-as-possible/) 大家對此有何看法，歡迎給我留言，我有時間都會一一查看回答。更多算法套路可以訪問我的 LeetCode 題解倉庫：<https://github.com/azl397985856/leetcode> 。 目前已經 37K star 啦。 大家也可以關注我的公眾號《力扣加加》帶你啃下算法這塊硬骨頭。