# 0084. 柱狀圖中最大的矩形
## 題目地址(84. 柱狀圖中最大的矩形)
<https://leetcode-cn.com/problems/largest-rectangle-in-histogram/>
## 題目描述
給定 n 個非負整數,用來表示柱狀圖中各個柱子的高度。每個柱子彼此相鄰,且寬度為 1 。
求在該柱狀圖中,能夠勾勒出來的矩形的最大面積。

以上是柱狀圖的示例,其中每個柱子的寬度為 1,給定的高度為 \[2,1,5,6,2,3\]。

圖中陰影部分為所能勾勒出的最大矩形面積,其面積為 10 個單位。
```
<pre class="calibre18">```
示例:
輸入:[2,1,5,6,2,3]
輸出:10
```
```
## 前置知識
- 單調棧
## 暴力枚舉 - 左右端點法(TLE)
## 公司
- 阿里
- 騰訊
- 百度
- 字節
### 思路
我們暴力嘗試`所有可能的矩形`。由于矩陣是二維圖形, 我我們可以使用`左右兩個端點來唯一確認一個矩陣`。因此我們使用雙層循環枚舉所有的可能性即可。 而矩形的面積等于`(右端點坐標 - 左端點坐標 + 1) * 最小的高度`,最小的高度我們可以在遍歷的時候順便求出。
### 代碼
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">largestRectangleArea</span><span class="hljs-params">(self, heights: List[int])</span> -> int:</span>
n, ans = len(heights), <span class="hljs-params">0</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> n != <span class="hljs-params">0</span>:
ans = heights[<span class="hljs-params">0</span>]
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(n):
height = heights[i]
<span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> range(i, n):
height = min(height, heights[j])
ans = max(ans, (j - i + <span class="hljs-params">1</span>) * height)
<span class="hljs-keyword">return</span> ans
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:O(N2)O(N^2)O(N2)
- 空間復雜度:O(1)O(1)O(1)
## 暴力枚舉 - 中心擴展法(TLE)
### 思路
我們仍然暴力嘗試`所有可能的矩形`。只不過我們這一次從中心向兩邊進行擴展。對于每一個 i,我們計算出其左邊第一個高度小于它的索引 p,同樣地,計算出右邊第一個高度小于它的索引 q。那么以 i 為最低點能夠構成的面積就是`(q - p - 1) * heights[i]`。 這種算法毫無疑問也是正確的。 我們證明一下,假設 f(i) 表示求以 i 為最低點的情況下,所能形成的最大矩陣面積。那么原問題轉化為`max(f(0), f(1), f(2), ..., f(n - 1))`。
具體算法如下:
- 我們使用 l 和 r 數組。l\[i\] 表示 左邊第一個高度小于它的索引,r\[i\] 表示 右邊第一個高度小于它的索引。
- 我們從前往后求出 l,再從后往前計算出 r。
- 再次遍歷求出所有的可能面積,并取出最大的。
### 代碼
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">largestRectangleArea</span><span class="hljs-params">(self, heights: List[int])</span> -> int:</span>
n = len(heights)
l, r, ans = [<span class="hljs-params">-1</span>] * n, [n] * n, <span class="hljs-params">0</span>
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">1</span>, n):
j = i - <span class="hljs-params">1</span>
<span class="hljs-keyword">while</span> j >= <span class="hljs-params">0</span> <span class="hljs-keyword">and</span> heights[j] >= heights[i]:
j -= <span class="hljs-params">1</span>
l[i] = j
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(n - <span class="hljs-params">2</span>, <span class="hljs-params">-1</span>, <span class="hljs-params">-1</span>):
j = i + <span class="hljs-params">1</span>
<span class="hljs-keyword">while</span> j < n <span class="hljs-keyword">and</span> heights[j] >= heights[i]:
j += <span class="hljs-params">1</span>
r[i] = j
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(n):
ans = max(ans, heights[i] * (r[i] - l[i] - <span class="hljs-params">1</span>))
<span class="hljs-keyword">return</span> ans
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:O(N2)O(N^2)O(N2)
- 空間復雜度:O(N)O(N)O(N)
## 優化中心擴展法(Accepted)
### 思路
實際上我們內層循環沒必要一步一步移動,我們可以直接將`j -= 1` 改成 `j = l[j]`, `j += 1` 改成 `j = r[j]`。
### 代碼
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">largestRectangleArea</span><span class="hljs-params">(self, heights: List[int])</span> -> int:</span>
n = len(heights)
l, r, ans = [<span class="hljs-params">-1</span>] * n, [n] * n, <span class="hljs-params">0</span>
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">1</span>, n):
j = i - <span class="hljs-params">1</span>
<span class="hljs-keyword">while</span> j >= <span class="hljs-params">0</span> <span class="hljs-keyword">and</span> heights[j] >= heights[i]:
j = l[j]
l[i] = j
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(n - <span class="hljs-params">2</span>, <span class="hljs-params">-1</span>, <span class="hljs-params">-1</span>):
j = i + <span class="hljs-params">1</span>
<span class="hljs-keyword">while</span> j < n <span class="hljs-keyword">and</span> heights[j] >= heights[i]:
j = r[j]
r[i] = j
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(n):
ans = max(ans, heights[i] * (r[i] - l[i] - <span class="hljs-params">1</span>))
<span class="hljs-keyword">return</span> ans
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:O(N)O(N)O(N)
- 空間復雜度:O(N)O(N)O(N)
## 單調棧(Accepted)
### 思路
實際上,讀完第二種方法的時候,你應該注意到了。我們的核心是求左邊第一個比 i 小的和右邊第一個比 i 小的。 如果你熟悉單調棧的話,那么應該會想到這是非常適合使用單調棧來處理的場景。
從左到右遍歷柱子,對于每一個柱子,我們想找到第一個高度小于它的柱子,那么我們就可以使用一個單調遞增棧來實現。 如果柱子大于棧頂的柱子,那么說明不是我們要找的柱子,我們把它塞進去繼續遍歷,如果比棧頂小,那么我們就找到了第一個小于的柱子。 **對于棧頂元素,其右邊第一個小于它的就是當前遍歷到的柱子,左邊第一個小于它的就是棧中下一個要被彈出的元素**,因此以當前棧頂為最小柱子的面積為**當前棧頂的柱子高度 \* (當前遍歷到的柱子索引 - 1 - 棧中下一個要被彈出的元素索引 - 1 + 1)**
這種方法只需要遍歷一次,并用一個棧。由于每一個元素最多進棧出棧一次,因此時間和空間復雜度都是O(N)O(N)O(N)。
為了統一算法邏輯,減少邊界處理,我在 heights 首尾添加了兩個哨兵元素,**這樣我們可以保證所有的柱子都會出棧**。
### 代碼
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">largestRectangleArea</span><span class="hljs-params">(self, heights: List[int])</span> -> int:</span>
n, heights, st, ans = len(heights), [<span class="hljs-params">0</span>] + heights + [<span class="hljs-params">0</span>], [], <span class="hljs-params">0</span>
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(n + <span class="hljs-params">2</span>):
<span class="hljs-keyword">while</span> st <span class="hljs-keyword">and</span> heights[st[<span class="hljs-params">-1</span>]] > heights[i]:
ans = max(ans, heights[st.pop(<span class="hljs-params">-1</span>)] * (i - st[<span class="hljs-params">-1</span>] - <span class="hljs-params">1</span>))
st.append(i)
<span class="hljs-keyword">return</span> ans
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:O(N)O(N)O(N)
- 空間復雜度:O(N)O(N)O(N)
2020-05-30 更新:
有的觀眾反應看不懂為啥需要兩個哨兵。 其實末尾的哨兵就是為了將棧清空,防止遍歷完成棧中還有沒參與運算的數據。
而前面的哨兵有什么用呢? 我這里把上面代碼進行了拆解:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">largestRectangleArea</span><span class="hljs-params">(self, heights: List[int])</span> -> int:</span>
n, heights, st, ans = len(heights),[<span class="hljs-params">0</span>] + heights + [<span class="hljs-params">0</span>], [], <span class="hljs-params">0</span>
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(n + <span class="hljs-params">2</span>):
<span class="hljs-keyword">while</span> st <span class="hljs-keyword">and</span> heights[st[<span class="hljs-params">-1</span>]] > heights[i]:
a = heights[st[<span class="hljs-params">-1</span>]]
<span class="hljs-title"># 如果沒有前面的哨兵,這里可能會越界。</span>
st.pop()
ans = max(ans, a * (i - <span class="hljs-params">1</span> - st[<span class="hljs-params">-1</span>]))
st.append(i)
<span class="hljs-keyword">return</span> ans
```
```
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- [42.trapping-rain-water](https://github.com/azl397985856/leetcode/blob/master/problems/42.trapping-rain-water.md)
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- Introduction
- 第一章 - 算法專題
- 數據結構
- 基礎算法
- 二叉樹的遍歷
- 動態規劃
- 哈夫曼編碼和游程編碼
- 布隆過濾器
- 字符串問題
- 前綴樹專題
- 《貪婪策略》專題
- 《深度優先遍歷》專題
- 滑動窗口(思路 + 模板)
- 位運算
- 設計題
- 小島問題
- 最大公約數
- 并查集
- 前綴和
- 平衡二叉樹專題
- 第二章 - 91 天學算法
- 第一期講義-二分法
- 第一期講義-雙指針
- 第二期
- 第三章 - 精選題解
- 《日程安排》專題
- 《構造二叉樹》專題
- 字典序列刪除
- 百度的算法面試題 * 祖瑪游戲
- 西法的刷題秘籍】一次搞定前綴和
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?(第二彈)
- 《我是你的媽媽呀》 * 第一期
- 一文帶你看懂二叉樹的序列化
- 穿上衣服我就不認識你了?來聊聊最長上升子序列
- 你的衣服我扒了 * 《最長公共子序列》
- 一文看懂《最大子序列和問題》
- 第四章 - 高頻考題(簡單)
- 面試題 17.12. BiNode
- 0001. 兩數之和
- 0020. 有效的括號
- 0021. 合并兩個有序鏈表
- 0026. 刪除排序數組中的重復項
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- 0088. 合并兩個有序數組
- 0101. 對稱二叉樹
- 0104. 二叉樹的最大深度
- 0108. 將有序數組轉換為二叉搜索樹
- 0121. 買賣股票的最佳時機
- 0122. 買賣股票的最佳時機 II
- 0125. 驗證回文串
- 0136. 只出現一次的數字
- 0155. 最小棧
- 0167. 兩數之和 II * 輸入有序數組
- 0169. 多數元素
- 0172. 階乘后的零
- 0190. 顛倒二進制位
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- 0198. 打家劫舍
- 0203. 移除鏈表元素
- 0206. 反轉鏈表
- 0219. 存在重復元素 II
- 0226. 翻轉二叉樹
- 0232. 用棧實現隊列
- 0263. 丑數
- 0283. 移動零
- 0342. 4的冪
- 0349. 兩個數組的交集
- 0371. 兩整數之和
- 0437. 路徑總和 III
- 0455. 分發餅干
- 0575. 分糖果
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- 1260. 二維網格遷移
- 1332. 刪除回文子序列
- 第五章 - 高頻考題(中等)
- 0002. 兩數相加
- 0003. 無重復字符的最長子串
- 0005. 最長回文子串
- 0011. 盛最多水的容器
- 0015. 三數之和
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- 0518. 零錢兌換 II
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- 0718. 最長重復子數組
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- 0877. 石子游戲
- 0886. 可能的二分法
- 0900. RLE 迭代器
- 0912. 排序數組
- 0935. 騎士撥號器
- 1011. 在 D 天內送達包裹的能力
- 1014. 最佳觀光組合
- 1015. 可被 K 整除的最小整數
- 1019. 鏈表中的下一個更大節點
- 1020. 飛地的數量
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- 1031. 兩個非重疊子數組的最大和
- 1104. 二叉樹尋路
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- 1186. 刪除一次得到子數組最大和
- 1218. 最長定差子序列
- 1227. 飛機座位分配概率
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- 1262. 可被三整除的最大和
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- 第六章 - 高頻考題(困難)
- 0004. 尋找兩個正序數組的中位數
- 0023. 合并K個升序鏈表
- 0025. K 個一組翻轉鏈表
- 0030. 串聯所有單詞的子串
- 0032. 最長有效括號
- 0042. 接雨水
- 0052. N皇后 II
- 0084. 柱狀圖中最大的矩形
- 0085. 最大矩形
- 0124. 二叉樹中的最大路徑和
- 0128. 最長連續序列
- 0145. 二叉樹的后序遍歷
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