# 1168. 水資源分配優化
## 題目地址(1168. 水資源分配優化)
<https://leetcode.com/problems/optimize-water-distribution-in-a-village/>
## 題目描述
```
<pre class="calibre18">```
村莊內有n戶人家,我們可以通過挖井或者建造水管向每家供水。
對于每戶人家i,我們可以通過花費 wells[i] 直接在其房內挖水井,或者通過水管連接到其他的水井。每兩戶住戶間鋪設水管的費用通過 pipes 數組表示。 pipes[i] = [house1, house2, cost] 表示住戶1到住戶2間鋪設水管的費用為cost。
請求出所有住戶都能通水的最小花費。
示例1:
輸入: n = 3, wells = [1,2,2], pipes = [[1,2,1],[2,3,1]]
輸出: 3
解釋:
The image shows the costs of connecting houses using pipes.
The best strategy is to build a well in the first house with cost 1 and connect the other houses to it with cost 2 so the total cost is 3.
提示:
1 <= n <= 10000
wells.length == n
0 <= wells[i] <= 10^5
1 <= pipes.length <= 10000
1 <= pipes[i][0], pipes[i][1] <= n
0 <= pipes[i][2] <= 10^5
pipes[i][0] != pipes[i][1]
```
```
## 前置知識
- 圖
- 最小生成樹
## 公司
- 暫無
## 思路

題意,在每個城市打井需要一定的花費,也可以用其他城市的井水,城市之間建立連接管道需要一定的花費,怎么樣安排可以花費最少的前灌溉所有城市。
這是一道連通所有點的最短路徑/最小生成樹問題,把城市看成圖中的點,管道連接城市看成是連接兩個點之間的邊。這里打井的花費是直接在點上,而且并不是所有 點之間都有邊連接,為了方便,我們可以假想一個點`(root)0`,這里自身點的花費可以與 `0` 連接,花費可以是 `0-i` 之間的花費。這樣我們就可以構建一個連通圖包含所有的點和邊。 那在一個連通圖中求最短路徑/最小生成樹的問題.
參考延伸閱讀中,維基百科針對這類題給出的幾種解法。
解題步驟:
1. 創建 `POJO EdgeCost(node1, node2, cost) - 節點1 和 節點2 連接邊的花費`。
2. 假想一個`root` 點 `0`,構建圖
3. 連通所有節點和 `0`,`[0,i] - i 是節點 [1,n]`,`0-1` 是節點 `0` 和 `1` 的邊,邊的值是節點 `i` 上打井的花費 `wells[i]`;
4. 把打井花費和城市連接點轉換成圖的節點和邊。
5. 對圖的邊的值排序(從小到大)
6. 遍歷圖的邊,判斷兩個節點有沒有連通 (`Union-Find`),
- 已連通就跳過,繼續訪問下一條邊
- 沒有連通,記錄花費,連通節點
7. 若所有節點已連通,求得的最小路徑即為最小花費,返回
8. 對于每次`union`, 節點數 `n-1`, 如果 `n==0` 說明所有節點都已連通,可以提前退出,不需要繼續訪問剩余的邊。
> 這里用加權Union-Find 判斷兩個節點是否連通,和連通未連通的節點。
舉例:`n = 5, wells=[1,2,2,3,2], pipes=[[1,2,1],[2,3,1],[4,5,7]]`
如圖:

從圖中可以看到,最后所有的節點都是連通的。
**復雜度分析**
- 時間復雜度: `O(ElogE) - E 是圖的邊的個數`
- 空間復雜度: `O(E)`
> 一個圖最多有 `n(n-1)/2 - n 是圖中節點個數` 條邊 (完全連通圖)
## 關鍵點分析
1. 構建圖,得出所有邊
2. 對所有邊排序
3. 遍歷所有的邊(從小到大)
4. 對于每條邊,檢查是否已經連通,若沒有連通,加上邊上的值,連通兩個節點。若已連通,跳過。
## 代碼 (`Java/Python3`)
*Java code*
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">OptimizeWaterDistribution</span> </span>{
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">public</span> <span class="hljs-keyword">int</span> <span class="hljs-title">minCostToSupplyWater</span><span class="hljs-params">(<span class="hljs-keyword">int</span> n, <span class="hljs-keyword">int</span>[] wells, <span class="hljs-keyword">int</span>[][] pipes)</span> </span>{
List<EdgeCost> costs = <span class="hljs-keyword">new</span> ArrayList<>();
<span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-keyword">int</span> i = <span class="hljs-params">1</span>; i <= n; i++) {
costs.add(<span class="hljs-keyword">new</span> EdgeCost(<span class="hljs-params">0</span>, i, wells[i - <span class="hljs-params">1</span>]));
}
<span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-keyword">int</span>[] p : pipes) {
costs.add(<span class="hljs-keyword">new</span> EdgeCost(p[<span class="hljs-params">0</span>], p[<span class="hljs-params">1</span>], p[<span class="hljs-params">2</span>]));
}
Collections.sort(costs);
<span class="hljs-keyword">int</span> minCosts = <span class="hljs-params">0</span>;
UnionFind uf = <span class="hljs-keyword">new</span> UnionFind(n);
<span class="hljs-keyword">for</span> (EdgeCost edge : costs) {
<span class="hljs-keyword">int</span> rootX = uf.find(edge.node1);
<span class="hljs-keyword">int</span> rootY = uf.find(edge.node2);
<span class="hljs-keyword">if</span> (rootX == rootY) <span class="hljs-keyword">continue</span>;
minCosts += edge.cost;
uf.union(edge.node1, edge.node2);
<span class="hljs-title">// for each union, we connnect one node</span>
n--;
<span class="hljs-title">// if all nodes already connected, terminate early</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> (n == <span class="hljs-params">0</span>) {
<span class="hljs-keyword">return</span> minCosts;
}
}
<span class="hljs-keyword">return</span> minCosts;
}
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">EdgeCost</span> <span class="hljs-keyword">implements</span> <span class="hljs-title">Comparable</span><<span class="hljs-title">EdgeCost</span>> </span>{
<span class="hljs-keyword">int</span> node1;
<span class="hljs-keyword">int</span> node2;
<span class="hljs-keyword">int</span> cost;
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">public</span> <span class="hljs-title">EdgeCost</span><span class="hljs-params">(<span class="hljs-keyword">int</span> node1, <span class="hljs-keyword">int</span> node2, <span class="hljs-keyword">int</span> cost)</span> </span>{
<span class="hljs-keyword">this</span>.node1 = node1;
<span class="hljs-keyword">this</span>.node2 = node2;
<span class="hljs-keyword">this</span>.cost = cost;
}
<span class="hljs-params">@Override</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">public</span> <span class="hljs-keyword">int</span> <span class="hljs-title">compareTo</span><span class="hljs-params">(EdgeCost o)</span> </span>{
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-keyword">this</span>.cost - o.cost;
}
}
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">UnionFind</span> </span>{
<span class="hljs-keyword">int</span>[] parent;
<span class="hljs-keyword">int</span>[] rank;
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">public</span> <span class="hljs-title">UnionFind</span><span class="hljs-params">(<span class="hljs-keyword">int</span> n)</span> </span>{
parent = <span class="hljs-keyword">new</span> <span class="hljs-keyword">int</span>[n + <span class="hljs-params">1</span>];
<span class="hljs-keyword">for</span> (<span class="hljs-keyword">int</span> i = <span class="hljs-params">0</span>; i <= n; i++) {
parent[i] = i;
}
rank = <span class="hljs-keyword">new</span> <span class="hljs-keyword">int</span>[n + <span class="hljs-params">1</span>];
}
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">public</span> <span class="hljs-keyword">int</span> <span class="hljs-title">find</span><span class="hljs-params">(<span class="hljs-keyword">int</span> x)</span> </span>{
<span class="hljs-keyword">return</span> x == parent[x] ? x : find(parent[x]);
}
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">public</span> <span class="hljs-keyword">void</span> <span class="hljs-title">union</span><span class="hljs-params">(<span class="hljs-keyword">int</span> x, <span class="hljs-keyword">int</span> y)</span> </span>{
<span class="hljs-keyword">int</span> px = find(x);
<span class="hljs-keyword">int</span> py = find(y);
<span class="hljs-keyword">if</span> (px == py) <span class="hljs-keyword">return</span>;
<span class="hljs-keyword">if</span> (rank[px] >= rank[py]) {
parent[py] = px;
rank[px] += rank[py];
} <span class="hljs-keyword">else</span> {
parent[px] = py;
rank[py] += rank[px];
}
}
}
}
```
```
*Pythong3 code*
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">minCostToSupplyWater</span><span class="hljs-params">(self, n: int, wells: List[int], pipes: List[List[int]])</span> -> int:</span>
union_find = {i: i <span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(n + <span class="hljs-params">1</span>)}
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">find</span><span class="hljs-params">(x)</span>:</span>
<span class="hljs-keyword">return</span> x <span class="hljs-keyword">if</span> x == union_find[x] <span class="hljs-keyword">else</span> find(union_find[x])
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">union</span><span class="hljs-params">(x, y)</span>:</span>
px = find(x)
py = find(y)
union_find[px] = py
graph_wells = [[cost, <span class="hljs-params">0</span>, i] <span class="hljs-keyword">for</span> i, cost <span class="hljs-keyword">in</span> enumerate(wells, <span class="hljs-params">1</span>)]
graph_pipes = [[cost, i, j] <span class="hljs-keyword">for</span> i, j, cost <span class="hljs-keyword">in</span> pipes]
min_costs = <span class="hljs-params">0</span>
<span class="hljs-keyword">for</span> cost, x, y <span class="hljs-keyword">in</span> sorted(graph_wells + graph_pipes):
<span class="hljs-keyword">if</span> find(x) == find(y):
<span class="hljs-keyword">continue</span>
union(x, y)
min_costs += cost
n -= <span class="hljs-params">1</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> n == <span class="hljs-params">0</span>:
<span class="hljs-keyword">return</span> min_costs
```
```
## 延伸閱讀
1. [最短路徑問題](https://www.wikiwand.com/zh-hans/%E6%9C%80%E7%9F%AD%E8%B7%AF%E9%97%AE%E9%A2%98)
2. [Dijkstra算法](https://www.wikiwand.com/zh-hans/%E6%88%B4%E5%85%8B%E6%96%AF%E7%89%B9%E6%8B%89%E7%AE%97%E6%B3%95)
3. [Floyd-Warshall算法](https://www.wikiwand.com/zh-hans/Floyd-Warshall%E7%AE%97%E6%B3%95)
4. [Bellman-Ford算法](https://www.wikiwand.com/zh-hans/%E8%B4%9D%E5%B0%94%E6%9B%BC-%E7%A6%8F%E7%89%B9%E7%AE%97%E6%B3%95)
5. [Kruskal算法](https://www.wikiwand.com/zh-hans/%E5%85%8B%E9%B2%81%E6%96%AF%E5%85%8B%E5%B0%94%E6%BC%94%E7%AE%97%E6%B3%95)
6. [Prim's 算法](https://www.wikiwand.com/zh-hans/%E6%99%AE%E6%9E%97%E5%A7%86%E7%AE%97%E6%B3%95)
7. [最小生成樹](https://www.wikiwand.com/zh/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E7%94%9F%E6%88%90%E6%A0%91)
- Introduction
- 第一章 - 算法專題
- 數據結構
- 基礎算法
- 二叉樹的遍歷
- 動態規劃
- 哈夫曼編碼和游程編碼
- 布隆過濾器
- 字符串問題
- 前綴樹專題
- 《貪婪策略》專題
- 《深度優先遍歷》專題
- 滑動窗口(思路 + 模板)
- 位運算
- 設計題
- 小島問題
- 最大公約數
- 并查集
- 前綴和
- 平衡二叉樹專題
- 第二章 - 91 天學算法
- 第一期講義-二分法
- 第一期講義-雙指針
- 第二期
- 第三章 - 精選題解
- 《日程安排》專題
- 《構造二叉樹》專題
- 字典序列刪除
- 百度的算法面試題 * 祖瑪游戲
- 西法的刷題秘籍】一次搞定前綴和
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?(第二彈)
- 《我是你的媽媽呀》 * 第一期
- 一文帶你看懂二叉樹的序列化
- 穿上衣服我就不認識你了?來聊聊最長上升子序列
- 你的衣服我扒了 * 《最長公共子序列》
- 一文看懂《最大子序列和問題》
- 第四章 - 高頻考題(簡單)
- 面試題 17.12. BiNode
- 0001. 兩數之和
- 0020. 有效的括號
- 0021. 合并兩個有序鏈表
- 0026. 刪除排序數組中的重復項
- 0053. 最大子序和
- 0088. 合并兩個有序數組
- 0101. 對稱二叉樹
- 0104. 二叉樹的最大深度
- 0108. 將有序數組轉換為二叉搜索樹
- 0121. 買賣股票的最佳時機
- 0122. 買賣股票的最佳時機 II
- 0125. 驗證回文串
- 0136. 只出現一次的數字
- 0155. 最小棧
- 0167. 兩數之和 II * 輸入有序數組
- 0169. 多數元素
- 0172. 階乘后的零
- 0190. 顛倒二進制位
- 0191. 位1的個數
- 0198. 打家劫舍
- 0203. 移除鏈表元素
- 0206. 反轉鏈表
- 0219. 存在重復元素 II
- 0226. 翻轉二叉樹
- 0232. 用棧實現隊列
- 0263. 丑數
- 0283. 移動零
- 0342. 4的冪
- 0349. 兩個數組的交集
- 0371. 兩整數之和
- 0437. 路徑總和 III
- 0455. 分發餅干
- 0575. 分糖果
- 0874. 模擬行走機器人
- 1260. 二維網格遷移
- 1332. 刪除回文子序列
- 第五章 - 高頻考題(中等)
- 0002. 兩數相加
- 0003. 無重復字符的最長子串
- 0005. 最長回文子串
- 0011. 盛最多水的容器
- 0015. 三數之和
- 0017. 電話號碼的字母組合
- 0019. 刪除鏈表的倒數第N個節點
- 0022. 括號生成
- 0024. 兩兩交換鏈表中的節點
- 0029. 兩數相除
- 0031. 下一個排列
- 0033. 搜索旋轉排序數組
- 0039. 組合總和
- 0040. 組合總和 II
- 0046. 全排列
- 0047. 全排列 II
- 0048. 旋轉圖像
- 0049. 字母異位詞分組
- 0050. Pow(x, n)
- 0055. 跳躍游戲
- 0056. 合并區間
- 0060. 第k個排列
- 0062. 不同路徑
- 0073. 矩陣置零
- 0075. 顏色分類
- 0078. 子集
- 0079. 單詞搜索
- 0080. 刪除排序數組中的重復項 II
- 0086. 分隔鏈表
- 0090. 子集 II
- 0091. 解碼方法
- 0092. 反轉鏈表 II
- 0094. 二叉樹的中序遍歷
- 0095. 不同的二叉搜索樹 II
- 0096. 不同的二叉搜索樹
- 0098. 驗證二叉搜索樹
- 0102. 二叉樹的層序遍歷
- 0103. 二叉樹的鋸齒形層次遍歷
- 105. 從前序與中序遍歷序列構造二叉樹
- 0113. 路徑總和 II
- 0129. 求根到葉子節點數字之和
- 0130. 被圍繞的區域
- 0131. 分割回文串
- 0139. 單詞拆分
- 0144. 二叉樹的前序遍歷
- 0150. 逆波蘭表達式求值
- 0152. 乘積最大子數組
- 0199. 二叉樹的右視圖
- 0200. 島嶼數量
- 0201. 數字范圍按位與
- 0208. 實現 Trie (前綴樹)
- 0209. 長度最小的子數組
- 0211. 添加與搜索單詞 * 數據結構設計
- 0215. 數組中的第K個最大元素
- 0221. 最大正方形
- 0229. 求眾數 II
- 0230. 二叉搜索樹中第K小的元素
- 0236. 二叉樹的最近公共祖先
- 0238. 除自身以外數組的乘積
- 0240. 搜索二維矩陣 II
- 0279. 完全平方數
- 0309. 最佳買賣股票時機含冷凍期
- 0322. 零錢兌換
- 0328. 奇偶鏈表
- 0334. 遞增的三元子序列
- 0337. 打家劫舍 III
- 0343. 整數拆分
- 0365. 水壺問題
- 0378. 有序矩陣中第K小的元素
- 0380. 常數時間插入、刪除和獲取隨機元素
- 0416. 分割等和子集
- 0445. 兩數相加 II
- 0454. 四數相加 II
- 0494. 目標和
- 0516. 最長回文子序列
- 0518. 零錢兌換 II
- 0547. 朋友圈
- 0560. 和為K的子數組
- 0609. 在系統中查找重復文件
- 0611. 有效三角形的個數
- 0718. 最長重復子數組
- 0754. 到達終點數字
- 0785. 判斷二分圖
- 0820. 單詞的壓縮編碼
- 0875. 愛吃香蕉的珂珂
- 0877. 石子游戲
- 0886. 可能的二分法
- 0900. RLE 迭代器
- 0912. 排序數組
- 0935. 騎士撥號器
- 1011. 在 D 天內送達包裹的能力
- 1014. 最佳觀光組合
- 1015. 可被 K 整除的最小整數
- 1019. 鏈表中的下一個更大節點
- 1020. 飛地的數量
- 1023. 駝峰式匹配
- 1031. 兩個非重疊子數組的最大和
- 1104. 二叉樹尋路
- 1131.絕對值表達式的最大值
- 1186. 刪除一次得到子數組最大和
- 1218. 最長定差子序列
- 1227. 飛機座位分配概率
- 1261. 在受污染的二叉樹中查找元素
- 1262. 可被三整除的最大和
- 1297. 子串的最大出現次數
- 1310. 子數組異或查詢
- 1334. 閾值距離內鄰居最少的城市
- 1371.每個元音包含偶數次的最長子字符串
- 第六章 - 高頻考題(困難)
- 0004. 尋找兩個正序數組的中位數
- 0023. 合并K個升序鏈表
- 0025. K 個一組翻轉鏈表
- 0030. 串聯所有單詞的子串
- 0032. 最長有效括號
- 0042. 接雨水
- 0052. N皇后 II
- 0084. 柱狀圖中最大的矩形
- 0085. 最大矩形
- 0124. 二叉樹中的最大路徑和
- 0128. 最長連續序列
- 0145. 二叉樹的后序遍歷
- 0212. 單詞搜索 II
- 0239. 滑動窗口最大值
- 0295. 數據流的中位數
- 0301. 刪除無效的括號
- 0312. 戳氣球
- 0335. 路徑交叉
- 0460. LFU緩存
- 0472. 連接詞
- 0488. 祖瑪游戲
- 0493. 翻轉對
- 0887. 雞蛋掉落
- 0895. 最大頻率棧
- 1032. 字符流
- 1168. 水資源分配優化
- 1449. 數位成本和為目標值的最大數字
- 后序