# 0365. 水壺問題
## 題目地址(365. 水壺問題)
<https://leetcode-cn.com/problems/water-and-jug-problem/>
## 題目描述
```
<pre class="calibre18">```
有兩個容量分別為 x升 和 y升 的水壺以及無限多的水。請判斷能否通過使用這兩個水壺,從而可以得到恰好 z升 的水?
如果可以,最后請用以上水壺中的一或兩個來盛放取得的 z升 水。
你允許:
裝滿任意一個水壺
清空任意一個水壺
從一個水壺向另外一個水壺倒水,直到裝滿或者倒空
示例 1: (From the famous "Die Hard" example)
輸入: x = 3, y = 5, z = 4
輸出: True
示例 2:
輸入: x = 2, y = 6, z = 5
輸出: False
```
```
## BFS(超時)
## 前置知識
- BFS
- 最大公約數
## 公司
- 阿里
- 百度
- 字節
### 思路
兩個水壺的水我們考慮成狀態,然后我們不斷進行倒的操作,改變狀態。那么初始狀態就是(0 0) 目標狀態就是 (any, z)或者 (z, any),其中any 指的是任意升水。
已題目的例子,其過程示意圖,其中括號表示其是由哪個狀態轉移過來的:
0 0 3 5(0 0) 3 0 (0 0 )0 5(0 0) 3 2(0 5) 0 3(0 0) 0 2(3 2) 2 0(0 2) 2 5(2 0) 3 4(2 5) bingo
### 代碼
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">canMeasureWater</span><span class="hljs-params">(self, x: int, y: int, z: int)</span> -> bool:</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> x + y < z:
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-keyword">False</span>
queue = [(<span class="hljs-params">0</span>, <span class="hljs-params">0</span>)]
seen = set((<span class="hljs-params">0</span>, <span class="hljs-params">0</span>))
<span class="hljs-keyword">while</span>(len(queue) > <span class="hljs-params">0</span>):
a, b = queue.pop(<span class="hljs-params">0</span>)
<span class="hljs-keyword">if</span> a ==z <span class="hljs-keyword">or</span> b == z <span class="hljs-keyword">or</span> a + b == z:
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-keyword">True</span>
states = set()
states.add((x, b))
states.add((a, y))
states.add((<span class="hljs-params">0</span>, b))
states.add((a, <span class="hljs-params">0</span>))
states.add((min(x, b + a), <span class="hljs-params">0</span> <span class="hljs-keyword">if</span> b < x - a <span class="hljs-keyword">else</span> b - (x - a)))
states.add((<span class="hljs-params">0</span> <span class="hljs-keyword">if</span> a + b < y <span class="hljs-keyword">else</span> a - (y - b), min(b + a, y)))
<span class="hljs-keyword">for</span> state <span class="hljs-keyword">in</span> states:
<span class="hljs-keyword">if</span> state <span class="hljs-keyword">in</span> seen:
<span class="hljs-keyword">continue</span>;
queue.append(state)
seen.add(state)
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-keyword">False</span>
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:由于狀態最多有O((x+1)?(y+1))O((x + 1) \* (y + 1))O((x+1)?(y+1)) 種,因此總的時間復雜度為O(x?y)O(x \* y)O(x?y)。
- 空間復雜度:我們使用了隊列來存儲狀態,set 存儲已經訪問的元素,空間復雜度和狀態數目一致,因此空間復雜度是O(x?y)O(x \* y)O(x?y)。
上面的思路很直觀,但是很遺憾這個算法在 LeetCode 的表現是 TLE(Time Limit Exceeded)。不過如果你能在真實面試中寫出這樣的算法,我相信大多數情況是可以過關的。
我們來看一下有沒有別的解法。實際上,上面的算法就是一個標準的 BFS。如果從更深層次去看這道題,會發現這道題其實是一道純數學問題,類似的純數學問題在 LeetCode 中也會有一些,不過大多數這種題目,我們仍然可以采取其他方式 AC。那么讓我們來看一下如何用數學的方式來解這個題。
## 數學法 - 最大公約數
### 思路
這是一道關于`數論`的題目,確切地說是關于`裴蜀定理`(英語:Bézout's identity)的題目。
摘自wiki的定義:
```
<pre class="calibre18">```
對任意兩個整數 a、b,設 d是它們的最大公約數。那么關于未知數 x和 y的線性丟番圖方程(稱為裴蜀等式):
ax+by=m
有整數解 (x,y) 當且僅當 m是 d的整數倍。裴蜀等式有解時必然有無窮多個解。
```
```
因此這道題可以完全轉化為`裴蜀定理`。還是以題目給的例子`x = 3, y = 5, z = 4`,我們其實可以表示成`3 * 3 - 1 * 5 = 4`, 即`3 * x - 1 * y = z`。我們用a和b分別表示3 升的水壺和5升的水壺。那么我們可以:
- 倒滿a(**1**)
- 將a倒到b
- 再次倒滿a(**2**)
- 再次將a倒到b(a這個時候還剩下1升)
- 倒空b(**-1**)
- 將剩下的1升倒到b
- 將a倒滿(**3**)
- 將a倒到b
- b此時正好是4升
上面的過程就是`3 * x - 1 * y = z`的具體過程解釋。
**也就是說我們只需要求出x和y的最大公約數d,并判斷z是否是d的整數倍即可。**
### 代碼
代碼支持:Python3,JavaScript
Python Code:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">canMeasureWater</span><span class="hljs-params">(self, x: int, y: int, z: int)</span> -> bool:</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> x + y < z:
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-keyword">False</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> (z == <span class="hljs-params">0</span>):
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-keyword">True</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> (x == <span class="hljs-params">0</span>):
<span class="hljs-keyword">return</span> y == z
<span class="hljs-keyword">if</span> (y == <span class="hljs-params">0</span>):
<span class="hljs-keyword">return</span> x == z
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">GCD</span><span class="hljs-params">(a, b)</span>:</span>
smaller = min(a, b)
<span class="hljs-keyword">while</span> smaller:
<span class="hljs-keyword">if</span> a % smaller == <span class="hljs-params">0</span> <span class="hljs-keyword">and</span> b % smaller == <span class="hljs-params">0</span>:
<span class="hljs-keyword">return</span> smaller
smaller -= <span class="hljs-params">1</span>
<span class="hljs-keyword">return</span> z % GCD(x, y) == <span class="hljs-params">0</span>
```
```
JavaScript:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-title">/**
* @param {number} x
* @param {number} y
* @param {number} z
* @return {boolean}
*/</span>
<span class="hljs-keyword">var</span> canMeasureWater = <span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">function</span>(<span class="hljs-params">x, y, z</span>) </span>{
<span class="hljs-keyword">if</span> (x + y < z) <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">false</span>;
<span class="hljs-keyword">if</span> (z === <span class="hljs-params">0</span>) <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">true</span>;
<span class="hljs-keyword">if</span> (x === <span class="hljs-params">0</span>) <span class="hljs-keyword">return</span> y === z;
<span class="hljs-keyword">if</span> (y === <span class="hljs-params">0</span>) <span class="hljs-keyword">return</span> x === z;
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">function</span> <span class="hljs-title">GCD</span>(<span class="hljs-params">a, b</span>) </span>{
<span class="hljs-keyword">let</span> min = <span class="hljs-params">Math</span>.min(a, b);
<span class="hljs-keyword">while</span> (min) {
<span class="hljs-keyword">if</span> (a % min === <span class="hljs-params">0</span> && b % min === <span class="hljs-params">0</span>) <span class="hljs-keyword">return</span> min;
min--;
}
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">1</span>;
}
<span class="hljs-keyword">return</span> z % GCD(x, y) === <span class="hljs-params">0</span>;
};
```
```
實際上求最大公約數還有更好的方式,比如輾轉相除法:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">GCD</span><span class="hljs-params">(a, b)</span>:</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> b == <span class="hljs-params">0</span>: <span class="hljs-keyword">return</span> a
<span class="hljs-keyword">return</span> GCD(b, a % b)
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:O(log(max(a,b)))O(log(max(a, b)))O(log(max(a,b)))
- 空間復雜度:空間復雜度取決于遞歸的深度,因此空間復雜度為 O(log(max(a,b)))O(log(max(a, b)))O(log(max(a,b)))
## 關鍵點分析
- 數論
- 裴蜀定理
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- Introduction
- 第一章 - 算法專題
- 數據結構
- 基礎算法
- 二叉樹的遍歷
- 動態規劃
- 哈夫曼編碼和游程編碼
- 布隆過濾器
- 字符串問題
- 前綴樹專題
- 《貪婪策略》專題
- 《深度優先遍歷》專題
- 滑動窗口(思路 + 模板)
- 位運算
- 設計題
- 小島問題
- 最大公約數
- 并查集
- 前綴和
- 平衡二叉樹專題
- 第二章 - 91 天學算法
- 第一期講義-二分法
- 第一期講義-雙指針
- 第二期
- 第三章 - 精選題解
- 《日程安排》專題
- 《構造二叉樹》專題
- 字典序列刪除
- 百度的算法面試題 * 祖瑪游戲
- 西法的刷題秘籍】一次搞定前綴和
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?(第二彈)
- 《我是你的媽媽呀》 * 第一期
- 一文帶你看懂二叉樹的序列化
- 穿上衣服我就不認識你了?來聊聊最長上升子序列
- 你的衣服我扒了 * 《最長公共子序列》
- 一文看懂《最大子序列和問題》
- 第四章 - 高頻考題(簡單)
- 面試題 17.12. BiNode
- 0001. 兩數之和
- 0020. 有效的括號
- 0021. 合并兩個有序鏈表
- 0026. 刪除排序數組中的重復項
- 0053. 最大子序和
- 0088. 合并兩個有序數組
- 0101. 對稱二叉樹
- 0104. 二叉樹的最大深度
- 0108. 將有序數組轉換為二叉搜索樹
- 0121. 買賣股票的最佳時機
- 0122. 買賣股票的最佳時機 II
- 0125. 驗證回文串
- 0136. 只出現一次的數字
- 0155. 最小棧
- 0167. 兩數之和 II * 輸入有序數組
- 0169. 多數元素
- 0172. 階乘后的零
- 0190. 顛倒二進制位
- 0191. 位1的個數
- 0198. 打家劫舍
- 0203. 移除鏈表元素
- 0206. 反轉鏈表
- 0219. 存在重復元素 II
- 0226. 翻轉二叉樹
- 0232. 用棧實現隊列
- 0263. 丑數
- 0283. 移動零
- 0342. 4的冪
- 0349. 兩個數組的交集
- 0371. 兩整數之和
- 0437. 路徑總和 III
- 0455. 分發餅干
- 0575. 分糖果
- 0874. 模擬行走機器人
- 1260. 二維網格遷移
- 1332. 刪除回文子序列
- 第五章 - 高頻考題(中等)
- 0002. 兩數相加
- 0003. 無重復字符的最長子串
- 0005. 最長回文子串
- 0011. 盛最多水的容器
- 0015. 三數之和
- 0017. 電話號碼的字母組合
- 0019. 刪除鏈表的倒數第N個節點
- 0022. 括號生成
- 0024. 兩兩交換鏈表中的節點
- 0029. 兩數相除
- 0031. 下一個排列
- 0033. 搜索旋轉排序數組
- 0039. 組合總和
- 0040. 組合總和 II
- 0046. 全排列
- 0047. 全排列 II
- 0048. 旋轉圖像
- 0049. 字母異位詞分組
- 0050. Pow(x, n)
- 0055. 跳躍游戲
- 0056. 合并區間
- 0060. 第k個排列
- 0062. 不同路徑
- 0073. 矩陣置零
- 0075. 顏色分類
- 0078. 子集
- 0079. 單詞搜索
- 0080. 刪除排序數組中的重復項 II
- 0086. 分隔鏈表
- 0090. 子集 II
- 0091. 解碼方法
- 0092. 反轉鏈表 II
- 0094. 二叉樹的中序遍歷
- 0095. 不同的二叉搜索樹 II
- 0096. 不同的二叉搜索樹
- 0098. 驗證二叉搜索樹
- 0102. 二叉樹的層序遍歷
- 0103. 二叉樹的鋸齒形層次遍歷
- 105. 從前序與中序遍歷序列構造二叉樹
- 0113. 路徑總和 II
- 0129. 求根到葉子節點數字之和
- 0130. 被圍繞的區域
- 0131. 分割回文串
- 0139. 單詞拆分
- 0144. 二叉樹的前序遍歷
- 0150. 逆波蘭表達式求值
- 0152. 乘積最大子數組
- 0199. 二叉樹的右視圖
- 0200. 島嶼數量
- 0201. 數字范圍按位與
- 0208. 實現 Trie (前綴樹)
- 0209. 長度最小的子數組
- 0211. 添加與搜索單詞 * 數據結構設計
- 0215. 數組中的第K個最大元素
- 0221. 最大正方形
- 0229. 求眾數 II
- 0230. 二叉搜索樹中第K小的元素
- 0236. 二叉樹的最近公共祖先
- 0238. 除自身以外數組的乘積
- 0240. 搜索二維矩陣 II
- 0279. 完全平方數
- 0309. 最佳買賣股票時機含冷凍期
- 0322. 零錢兌換
- 0328. 奇偶鏈表
- 0334. 遞增的三元子序列
- 0337. 打家劫舍 III
- 0343. 整數拆分
- 0365. 水壺問題
- 0378. 有序矩陣中第K小的元素
- 0380. 常數時間插入、刪除和獲取隨機元素
- 0416. 分割等和子集
- 0445. 兩數相加 II
- 0454. 四數相加 II
- 0494. 目標和
- 0516. 最長回文子序列
- 0518. 零錢兌換 II
- 0547. 朋友圈
- 0560. 和為K的子數組
- 0609. 在系統中查找重復文件
- 0611. 有效三角形的個數
- 0718. 最長重復子數組
- 0754. 到達終點數字
- 0785. 判斷二分圖
- 0820. 單詞的壓縮編碼
- 0875. 愛吃香蕉的珂珂
- 0877. 石子游戲
- 0886. 可能的二分法
- 0900. RLE 迭代器
- 0912. 排序數組
- 0935. 騎士撥號器
- 1011. 在 D 天內送達包裹的能力
- 1014. 最佳觀光組合
- 1015. 可被 K 整除的最小整數
- 1019. 鏈表中的下一個更大節點
- 1020. 飛地的數量
- 1023. 駝峰式匹配
- 1031. 兩個非重疊子數組的最大和
- 1104. 二叉樹尋路
- 1131.絕對值表達式的最大值
- 1186. 刪除一次得到子數組最大和
- 1218. 最長定差子序列
- 1227. 飛機座位分配概率
- 1261. 在受污染的二叉樹中查找元素
- 1262. 可被三整除的最大和
- 1297. 子串的最大出現次數
- 1310. 子數組異或查詢
- 1334. 閾值距離內鄰居最少的城市
- 1371.每個元音包含偶數次的最長子字符串
- 第六章 - 高頻考題(困難)
- 0004. 尋找兩個正序數組的中位數
- 0023. 合并K個升序鏈表
- 0025. K 個一組翻轉鏈表
- 0030. 串聯所有單詞的子串
- 0032. 最長有效括號
- 0042. 接雨水
- 0052. N皇后 II
- 0084. 柱狀圖中最大的矩形
- 0085. 最大矩形
- 0124. 二叉樹中的最大路徑和
- 0128. 最長連續序列
- 0145. 二叉樹的后序遍歷
- 0212. 單詞搜索 II
- 0239. 滑動窗口最大值
- 0295. 數據流的中位數
- 0301. 刪除無效的括號
- 0312. 戳氣球
- 0335. 路徑交叉
- 0460. LFU緩存
- 0472. 連接詞
- 0488. 祖瑪游戲
- 0493. 翻轉對
- 0887. 雞蛋掉落
- 0895. 最大頻率棧
- 1032. 字符流
- 1168. 水資源分配優化
- 1449. 數位成本和為目標值的最大數字
- 后序