# 最大公約數 # 最大公約數 關于最大公約數有專門的研究。 而在 LeetCode 中雖然沒有直接讓你求解最大公約數的題目。但是卻有一些間接需要你求解最大公約數的題目。 比如： - [914. 卡牌分組](https://leetcode-cn.com/problems/x-of-a-kind-in-a-deck-of-cards/solution/python3-zui-da-gong-yue-shu-914-qia-pai-fen-zu-by-/) - [365. 水壺問題](https://leetcode-cn.com/problems/water-and-jug-problem/solution/bfszui-da-gong-yue-shu-by-fe-lucifer/) - [1071. 字符串的最大公因子](https://leetcode-cn.com/problems/greatest-common-divisor-of-strings/solution/1071-zi-fu-chuan-de-zui-da-gong-yin-zi-zui-da-gong/) 因此如何求解最大公約數就顯得重要了。 ## 定義法 ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">GCD</span><span class="hljs-params">(a: int, b: int)</span> -> int:</span> smaller = min(a, b) <span class="hljs-keyword">while</span> smaller: <span class="hljs-keyword">if</span> a % smaller == <span class="hljs-params">0</span> <span class="hljs-keyword">and</span> b % smaller == <span class="hljs-params">0</span>: <span class="hljs-keyword">return</span> smaller smaller -= <span class="hljs-params">1</span> ``` ``` **復雜度分析** - 時間復雜度：最好的情況是執行一次循環體，最壞的情況是循環到 smaller 為 1，因此總的時間復雜度為 O(N)O(N)O(N)，其中 N 為 a 和 b 中較小的數。 - 空間復雜度：O(1)O(1)O(1)。 ## 輾轉相除法 如果我們需要計算 a 和 b 的最大公約數，運用輾轉相除法的話。首先，我們先計算出 a 除以 b 的余數 c，把問題轉化成求出 b 和 c 的最大公約數；然后計算出 b 除以 c 的余數 d，把問題轉化成求出 c 和 d 的最大公約數；再然后計算出 c 除以 d 的余數 e，把問題轉化成求出 d 和 e 的最大公約數。..... 以此類推，逐漸把兩個較大整數之間的運算轉化為兩個較小整數之間的運算，直到兩個數可以整除為止。 ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">GCD</span><span class="hljs-params">(a: int, b: int)</span> -> int:</span> <span class="hljs-keyword">return</span> a <span class="hljs-keyword">if</span> b == <span class="hljs-params">0</span> <span class="hljs-keyword">else</span> GCD(b, a % b) ``` ``` **復雜度分析** - 時間復雜度：O(log(max(a,b)))O(log(max(a, b)))O(log(max(a,b))) - 空間復雜度：空間復雜度取決于遞歸的深度，因此空間復雜度為 O(log(max(a,b)))O(log(max(a, b)))O(log(max(a,b))) 下面我們對上面的過程進行一個表形象地講解，實際上這也是教材里面的講解方式，我只是照搬過來，增加一下自己的理解罷了。我們來通過一個例子來講解： 假如我們有一塊 1680 米 \* 640 米 的土地，我們希望講起分成若干正方形的土地，且我們想讓正方形土地的邊長盡可能大，我們應該如何設計算法呢？ 實際上這正是一個最大公約數的應用場景，我們的目標就是求解 1680 和 640 的最大公約數。  將 1680 米 \* 640 米 的土地分割，相當于對將 400 米 \* 640 米 的土地進行分割。 為什么呢？ 假如 400 米 \* 640 米分割的正方形邊長為 x，那么有 640 % x == 0，那么肯定也滿足剩下的兩塊 640 米 \* 640 米的。  我們不斷進行上面的分割：  直到邊長為 80，沒有必要進行下去了。  輾轉相除法如果 a 和 b 都很大的時候，a % b 性能會較低。在中國，《九章算術》中提到了一種類似輾轉相減法的 [更相減損術](https://zh.wikisource.org/wiki/%E4%B9%9D%E7%AB%A0%E7%AE%97%E8%A1%93#-.7BA.7Czh-hans:.E5.8D.B7.3Bzh-hant:.E5.8D.B7.7D-.E7.AC.AC.E4.B8.80.E3.80.80.E6.96.B9.E7.94.B0.E4.BB.A5.E5.BE.A1.E7.94.B0.E7.96.87.E7.95.8C.E5.9F.9F "更相減損術")。它的原理是：`兩個正整數 a 和 b（a>b），它們的最大公約數等于 a-b 的差值 c 和較小數 b 的最大公約數。`。 ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">GCD</span><span class="hljs-params">(a: int, b: int)</span> -> int:</span> <span class="hljs-keyword">if</span> a == b: <span class="hljs-keyword">return</span> a <span class="hljs-keyword">if</span> a < b: <span class="hljs-keyword">return</span> GCD(b - a, a) <span class="hljs-keyword">return</span> GCD(a - b, b) ``` ``` 上面的代碼會報棧溢出。原因在于如果 a 和 b 相差比較大的話，遞歸次數會明顯增加，要比輾轉相除法遞歸深度增加很多，最壞時間復雜度為 O(max(a, b)))。這個時候我們可以將`輾轉相除法`和`更相減損術`做一個結合，從而在各種情況都可以獲得較好的性能。