# 最大公約數
# 最大公約數
關于最大公約數有專門的研究。 而在 LeetCode 中雖然沒有直接讓你求解最大公約數的題目。但是卻有一些間接需要你求解最大公約數的題目。
比如:
- [914. 卡牌分組](https://leetcode-cn.com/problems/x-of-a-kind-in-a-deck-of-cards/solution/python3-zui-da-gong-yue-shu-914-qia-pai-fen-zu-by-/)
- [365. 水壺問題](https://leetcode-cn.com/problems/water-and-jug-problem/solution/bfszui-da-gong-yue-shu-by-fe-lucifer/)
- [1071. 字符串的最大公因子](https://leetcode-cn.com/problems/greatest-common-divisor-of-strings/solution/1071-zi-fu-chuan-de-zui-da-gong-yin-zi-zui-da-gong/)
因此如何求解最大公約數就顯得重要了。
## 定義法
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">GCD</span><span class="hljs-params">(a: int, b: int)</span> -> int:</span>
smaller = min(a, b)
<span class="hljs-keyword">while</span> smaller:
<span class="hljs-keyword">if</span> a % smaller == <span class="hljs-params">0</span> <span class="hljs-keyword">and</span> b % smaller == <span class="hljs-params">0</span>:
<span class="hljs-keyword">return</span> smaller
smaller -= <span class="hljs-params">1</span>
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:最好的情況是執行一次循環體,最壞的情況是循環到 smaller 為 1,因此總的時間復雜度為 O(N)O(N)O(N),其中 N 為 a 和 b 中較小的數。
- 空間復雜度:O(1)O(1)O(1)。
## 輾轉相除法
如果我們需要計算 a 和 b 的最大公約數,運用輾轉相除法的話。首先,我們先計算出 a 除以 b 的余數 c,把問題轉化成求出 b 和 c 的最大公約數;然后計算出 b 除以 c 的余數 d,把問題轉化成求出 c 和 d 的最大公約數;再然后計算出 c 除以 d 的余數 e,把問題轉化成求出 d 和 e 的最大公約數。..... 以此類推,逐漸把兩個較大整數之間的運算轉化為兩個較小整數之間的運算,直到兩個數可以整除為止。
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">GCD</span><span class="hljs-params">(a: int, b: int)</span> -> int:</span>
<span class="hljs-keyword">return</span> a <span class="hljs-keyword">if</span> b == <span class="hljs-params">0</span> <span class="hljs-keyword">else</span> GCD(b, a % b)
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:O(log(max(a,b)))O(log(max(a, b)))O(log(max(a,b)))
- 空間復雜度:空間復雜度取決于遞歸的深度,因此空間復雜度為 O(log(max(a,b)))O(log(max(a, b)))O(log(max(a,b)))
下面我們對上面的過程進行一個表形象地講解,實際上這也是教材里面的講解方式,我只是照搬過來,增加一下自己的理解罷了。我們來通過一個例子來講解:
假如我們有一塊 1680 米 \* 640 米 的土地,我們希望講起分成若干正方形的土地,且我們想讓正方形土地的邊長盡可能大,我們應該如何設計算法呢?
實際上這正是一個最大公約數的應用場景,我們的目標就是求解 1680 和 640 的最大公約數。

將 1680 米 \* 640 米 的土地分割,相當于對將 400 米 \* 640 米 的土地進行分割。 為什么呢? 假如 400 米 \* 640 米分割的正方形邊長為 x,那么有 640 % x == 0,那么肯定也滿足剩下的兩塊 640 米 \* 640 米的。

我們不斷進行上面的分割:

直到邊長為 80,沒有必要進行下去了。

輾轉相除法如果 a 和 b 都很大的時候,a % b 性能會較低。在中國,《九章算術》中提到了一種類似輾轉相減法的 [更相減損術](https://zh.wikisource.org/wiki/%E4%B9%9D%E7%AB%A0%E7%AE%97%E8%A1%93#-.7BA.7Czh-hans:.E5.8D.B7.3Bzh-hant:.E5.8D.B7.7D-.E7.AC.AC.E4.B8.80.E3.80.80.E6.96.B9.E7.94.B0.E4.BB.A5.E5.BE.A1.E7.94.B0.E7.96.87.E7.95.8C.E5.9F.9F "更相減損術")。它的原理是:`兩個正整數 a 和 b(a>b),它們的最大公約數等于 a-b 的差值 c 和較小數 b 的最大公約數。`。
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">GCD</span><span class="hljs-params">(a: int, b: int)</span> -> int:</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> a == b:
<span class="hljs-keyword">return</span> a
<span class="hljs-keyword">if</span> a < b:
<span class="hljs-keyword">return</span> GCD(b - a, a)
<span class="hljs-keyword">return</span> GCD(a - b, b)
```
```
上面的代碼會報棧溢出。原因在于如果 a 和 b 相差比較大的話,遞歸次數會明顯增加,要比輾轉相除法遞歸深度增加很多,最壞時間復雜度為 O(max(a, b)))。這個時候我們可以將`輾轉相除法`和`更相減損術`做一個結合,從而在各種情況都可以獲得較好的性能。
- Introduction
- 第一章 - 算法專題
- 數據結構
- 基礎算法
- 二叉樹的遍歷
- 動態規劃
- 哈夫曼編碼和游程編碼
- 布隆過濾器
- 字符串問題
- 前綴樹專題
- 《貪婪策略》專題
- 《深度優先遍歷》專題
- 滑動窗口(思路 + 模板)
- 位運算
- 設計題
- 小島問題
- 最大公約數
- 并查集
- 前綴和
- 平衡二叉樹專題
- 第二章 - 91 天學算法
- 第一期講義-二分法
- 第一期講義-雙指針
- 第二期
- 第三章 - 精選題解
- 《日程安排》專題
- 《構造二叉樹》專題
- 字典序列刪除
- 百度的算法面試題 * 祖瑪游戲
- 西法的刷題秘籍】一次搞定前綴和
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?(第二彈)
- 《我是你的媽媽呀》 * 第一期
- 一文帶你看懂二叉樹的序列化
- 穿上衣服我就不認識你了?來聊聊最長上升子序列
- 你的衣服我扒了 * 《最長公共子序列》
- 一文看懂《最大子序列和問題》
- 第四章 - 高頻考題(簡單)
- 面試題 17.12. BiNode
- 0001. 兩數之和
- 0020. 有效的括號
- 0021. 合并兩個有序鏈表
- 0026. 刪除排序數組中的重復項
- 0053. 最大子序和
- 0088. 合并兩個有序數組
- 0101. 對稱二叉樹
- 0104. 二叉樹的最大深度
- 0108. 將有序數組轉換為二叉搜索樹
- 0121. 買賣股票的最佳時機
- 0122. 買賣股票的最佳時機 II
- 0125. 驗證回文串
- 0136. 只出現一次的數字
- 0155. 最小棧
- 0167. 兩數之和 II * 輸入有序數組
- 0169. 多數元素
- 0172. 階乘后的零
- 0190. 顛倒二進制位
- 0191. 位1的個數
- 0198. 打家劫舍
- 0203. 移除鏈表元素
- 0206. 反轉鏈表
- 0219. 存在重復元素 II
- 0226. 翻轉二叉樹
- 0232. 用棧實現隊列
- 0263. 丑數
- 0283. 移動零
- 0342. 4的冪
- 0349. 兩個數組的交集
- 0371. 兩整數之和
- 0437. 路徑總和 III
- 0455. 分發餅干
- 0575. 分糖果
- 0874. 模擬行走機器人
- 1260. 二維網格遷移
- 1332. 刪除回文子序列
- 第五章 - 高頻考題(中等)
- 0002. 兩數相加
- 0003. 無重復字符的最長子串
- 0005. 最長回文子串
- 0011. 盛最多水的容器
- 0015. 三數之和
- 0017. 電話號碼的字母組合
- 0019. 刪除鏈表的倒數第N個節點
- 0022. 括號生成
- 0024. 兩兩交換鏈表中的節點
- 0029. 兩數相除
- 0031. 下一個排列
- 0033. 搜索旋轉排序數組
- 0039. 組合總和
- 0040. 組合總和 II
- 0046. 全排列
- 0047. 全排列 II
- 0048. 旋轉圖像
- 0049. 字母異位詞分組
- 0050. Pow(x, n)
- 0055. 跳躍游戲
- 0056. 合并區間
- 0060. 第k個排列
- 0062. 不同路徑
- 0073. 矩陣置零
- 0075. 顏色分類
- 0078. 子集
- 0079. 單詞搜索
- 0080. 刪除排序數組中的重復項 II
- 0086. 分隔鏈表
- 0090. 子集 II
- 0091. 解碼方法
- 0092. 反轉鏈表 II
- 0094. 二叉樹的中序遍歷
- 0095. 不同的二叉搜索樹 II
- 0096. 不同的二叉搜索樹
- 0098. 驗證二叉搜索樹
- 0102. 二叉樹的層序遍歷
- 0103. 二叉樹的鋸齒形層次遍歷
- 105. 從前序與中序遍歷序列構造二叉樹
- 0113. 路徑總和 II
- 0129. 求根到葉子節點數字之和
- 0130. 被圍繞的區域
- 0131. 分割回文串
- 0139. 單詞拆分
- 0144. 二叉樹的前序遍歷
- 0150. 逆波蘭表達式求值
- 0152. 乘積最大子數組
- 0199. 二叉樹的右視圖
- 0200. 島嶼數量
- 0201. 數字范圍按位與
- 0208. 實現 Trie (前綴樹)
- 0209. 長度最小的子數組
- 0211. 添加與搜索單詞 * 數據結構設計
- 0215. 數組中的第K個最大元素
- 0221. 最大正方形
- 0229. 求眾數 II
- 0230. 二叉搜索樹中第K小的元素
- 0236. 二叉樹的最近公共祖先
- 0238. 除自身以外數組的乘積
- 0240. 搜索二維矩陣 II
- 0279. 完全平方數
- 0309. 最佳買賣股票時機含冷凍期
- 0322. 零錢兌換
- 0328. 奇偶鏈表
- 0334. 遞增的三元子序列
- 0337. 打家劫舍 III
- 0343. 整數拆分
- 0365. 水壺問題
- 0378. 有序矩陣中第K小的元素
- 0380. 常數時間插入、刪除和獲取隨機元素
- 0416. 分割等和子集
- 0445. 兩數相加 II
- 0454. 四數相加 II
- 0494. 目標和
- 0516. 最長回文子序列
- 0518. 零錢兌換 II
- 0547. 朋友圈
- 0560. 和為K的子數組
- 0609. 在系統中查找重復文件
- 0611. 有效三角形的個數
- 0718. 最長重復子數組
- 0754. 到達終點數字
- 0785. 判斷二分圖
- 0820. 單詞的壓縮編碼
- 0875. 愛吃香蕉的珂珂
- 0877. 石子游戲
- 0886. 可能的二分法
- 0900. RLE 迭代器
- 0912. 排序數組
- 0935. 騎士撥號器
- 1011. 在 D 天內送達包裹的能力
- 1014. 最佳觀光組合
- 1015. 可被 K 整除的最小整數
- 1019. 鏈表中的下一個更大節點
- 1020. 飛地的數量
- 1023. 駝峰式匹配
- 1031. 兩個非重疊子數組的最大和
- 1104. 二叉樹尋路
- 1131.絕對值表達式的最大值
- 1186. 刪除一次得到子數組最大和
- 1218. 最長定差子序列
- 1227. 飛機座位分配概率
- 1261. 在受污染的二叉樹中查找元素
- 1262. 可被三整除的最大和
- 1297. 子串的最大出現次數
- 1310. 子數組異或查詢
- 1334. 閾值距離內鄰居最少的城市
- 1371.每個元音包含偶數次的最長子字符串
- 第六章 - 高頻考題(困難)
- 0004. 尋找兩個正序數組的中位數
- 0023. 合并K個升序鏈表
- 0025. K 個一組翻轉鏈表
- 0030. 串聯所有單詞的子串
- 0032. 最長有效括號
- 0042. 接雨水
- 0052. N皇后 II
- 0084. 柱狀圖中最大的矩形
- 0085. 最大矩形
- 0124. 二叉樹中的最大路徑和
- 0128. 最長連續序列
- 0145. 二叉樹的后序遍歷
- 0212. 單詞搜索 II
- 0239. 滑動窗口最大值
- 0295. 數據流的中位數
- 0301. 刪除無效的括號
- 0312. 戳氣球
- 0335. 路徑交叉
- 0460. LFU緩存
- 0472. 連接詞
- 0488. 祖瑪游戲
- 0493. 翻轉對
- 0887. 雞蛋掉落
- 0895. 最大頻率棧
- 1032. 字符流
- 1168. 水資源分配優化
- 1449. 數位成本和為目標值的最大數字
- 后序