# 平衡二叉樹專題
# 衡二叉樹專題
力扣關于平衡二叉樹的題目還是有一些的,并且都非常經典,推薦大家練習。今天給大家精選了 4 道題,如果你徹底搞明白了這幾道題,碰到其他的平衡二叉樹的題目應該不至于沒有思路。當你領會了我的思路之后, 建議再找幾個題目練手,鞏固一下學習成果。
## 110. 平衡二叉樹(簡單)
最簡單的莫過于判斷一個樹是否為平衡二叉樹了,我們來看下。
### 題目描述
```
<pre class="calibre18">```
給定一個二叉樹,判斷它是否是高度平衡的二叉樹。
本題中,一棵高度平衡二叉樹定義為:
一個二叉樹每個節點 的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1。
示例 1:
給定二叉樹 [3,9,20,null,null,15,7]
3
/ \
9 20
/ \
15 7
返回 true 。
示例 2:
給定二叉樹 [1,2,2,3,3,null,null,4,4]
1
/ \
2 2
/ \
3 3
/ \
4 4
返回 false
```
```
### 思路
由于平衡二叉樹定義為就是**一個二叉樹每個節點的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過 1。**用偽代碼描述就是:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-keyword">if</span> abs(高度(root.left) - 高度(root.right)) <= <span class="hljs-params">1</span> <span class="hljs-keyword">and</span> root.left 也是平衡二叉樹 <span class="hljs-keyword">and</span> root.right 也是平衡二叉樹:
print(<span class="hljs-string">'是平衡二叉樹'</span>)
<span class="hljs-keyword">else</span>:
print(<span class="hljs-string">'不是平衡二叉樹'</span>)
```
```
而 root.left 和 root.right **如何判斷是否是二叉平衡樹就和 root 是一樣的了**,可以看出這個問題有明顯的遞歸性。
因此我們首先需要知道如何計算一個子樹的高度。這個可以通過遞歸的方式輕松地計算出來。計算子樹高度的 Python 代碼如下:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">dfs</span><span class="hljs-params">(node, depth)</span>:</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> <span class="hljs-keyword">not</span> node: <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">0</span>
l = dfs(node.left, depth + <span class="hljs-params">1</span>)
r = dfs(node.right, depth + <span class="hljs-params">1</span>)
<span class="hljs-keyword">return</span> max(l, r) + <span class="hljs-params">1</span>
```
```
### 代碼
代碼支持: Python3
Python3 Code:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">isBalanced</span><span class="hljs-params">(self, root: TreeNode)</span> -> bool:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">dfs</span><span class="hljs-params">(node, depth)</span>:</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> <span class="hljs-keyword">not</span> node: <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">0</span>
l = dfs(node.left, depth + <span class="hljs-params">1</span>)
r = dfs(node.right, depth + <span class="hljs-params">1</span>)
<span class="hljs-keyword">return</span> max(l, r) + <span class="hljs-params">1</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> <span class="hljs-keyword">not</span> root: <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-keyword">True</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> abs(dfs(root.left, <span class="hljs-params">0</span>) - dfs(root.right, <span class="hljs-params">0</span>)) > <span class="hljs-params">1</span>: <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-keyword">False</span>
<span class="hljs-keyword">return</span> self.isBalanced(root.left) <span class="hljs-keyword">and</span> self.isBalanced(root.right)
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:對于 isBalanced 來說,由于每個節點最多被訪問一次,這部分的時間復雜度為 O(N)O(N)O(N),而 dfs 函數 每次被調用的次數不超過 logNlog NlogN,因此總的時間復雜度為 O(NlogN)O(NlogN)O(NlogN),其中 NNN 為 樹的節點總數。
- 空間復雜度:由于使用了遞歸,這里的空間復雜度的瓶頸在棧空間,因此空間復雜度為 O(h)O(h)O(h),其中 hhh 為樹的高度。
## 108. 將有序數組轉換為二叉搜索樹(簡單)
108 和 109 基本是一樣的,只不過數據結構不一樣,109 變成了鏈表了而已。由于鏈表操作比數組需要考慮更多的因素,因此 109 是 中等難度。
### 題目描述
```
<pre class="calibre18">```
將一個按照升序排列的有序數組,轉換為一棵高度平衡二叉搜索樹。
本題中,一個高度平衡二叉樹是指一個二叉樹每個節點 的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過 1。
示例:
給定有序數組: [-10,-3,0,5,9],
一個可能的答案是:[0,-3,9,-10,null,5],它可以表示下面這個高度平衡二叉搜索樹:
0
/ \
-3 9
/ /
-10 5
```
```
### 思路
對于這個問題或者 `給定一個二叉搜索樹,將其改為平衡(后面會講)` 基本思路都是一樣的。
題目的要求是將有序數組轉化為:
1. 高度平衡的二叉樹
2. 二叉搜索樹
由于平衡二叉樹是左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過 1。因此一種簡單的方法是**選擇中點作為根節點,根節點左側的作為左子樹,右側的作為右子樹即可。**原因很簡單,這樣分配可以保證左右子樹的節點數目差不超過 1。因此高度差自然也不會超過 1 了。
上面的操作同時也滿足了二叉搜索樹,原因就是題目給的數組是有序的。
> 你也可以選擇別的數作為根節點,而不是中點,這也可以看出答案是不唯一的。
### 代碼
代碼支持: Python3
Python3 Code:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">sortedArrayToBST</span><span class="hljs-params">(self, nums: List[int])</span> -> TreeNode:</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> <span class="hljs-keyword">not</span> nums: <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-keyword">None</span>
mid = (len(nums) - <span class="hljs-params">1</span>) // <span class="hljs-params">2</span>
root = TreeNode(nums[mid])
root.left = self.sortedArrayToBST(nums[:mid])
root.right = self.sortedArrayToBST(nums[mid + <span class="hljs-params">1</span>:])
<span class="hljs-keyword">return</span> root
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:由于每個節點最多被訪問一次,因此總的時間復雜度為 O(N)O(N)O(N),其中 NNN 為數組長度。
- 空間復雜度:由于使用了遞歸,這里的空間復雜度的瓶頸在棧空間,因此空間復雜度為 O(h)O(h)O(h),其中 hhh 為樹的高度。同時由于是平衡二叉樹,因此 hhh 就是 logNlog NlogN。
## 109. 有序鏈表轉換二叉搜索樹(中等)
### 題目描述
```
<pre class="calibre18">```
`給定一個單鏈表,其中的元素按升序排序,將其轉換為高度平衡的二叉搜索樹。
本題中,一個高度平衡二叉樹是指一個二叉樹每個節點 的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過 1。
示例:
給定的有序鏈表: [-10, -3, 0, 5, 9],
一個可能的答案是:[0, -3, 9, -10, null, 5], 它可以表示下面這個高度平衡二叉搜索樹:
0
/ \
-3 9
/ /
-10 5
```
```
### 思路
和 108 思路一樣。 不同的是數據結構的不同,因此我們需要關注的是鏈表和數組的操作差異。

(數組的情況)
我們再來看下鏈表:
(鏈表的情況)
找到中點,只需要使用經典的快慢指針即可。同時為了防止環的出現, 我們需要斬斷指向 mid 的 next 指針,因此需要記錄一下中點前的一個節點,這只需要用一個變量 pre 記錄即可。
### 代碼
代碼支持: Python3
Python3 Code:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">sortedListToBST</span><span class="hljs-params">(self, head: ListNode)</span> -> TreeNode:</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> <span class="hljs-keyword">not</span> head:
<span class="hljs-keyword">return</span> head
pre, slow, fast = <span class="hljs-keyword">None</span>, head, head
<span class="hljs-keyword">while</span> fast <span class="hljs-keyword">and</span> fast.next:
fast = fast.next.next
pre = slow
slow = slow.next
<span class="hljs-keyword">if</span> pre:
pre.next = <span class="hljs-keyword">None</span>
node = TreeNode(slow.val)
<span class="hljs-keyword">if</span> slow == fast:
<span class="hljs-keyword">return</span> node
node.left = self.sortedListToBST(head)
node.right = self.sortedListToBST(slow.next)
<span class="hljs-keyword">return</span> node
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:由于每個節點最多被訪問一次,因此總的時間復雜度為 O(N)O(N)O(N),其中 NNN 為鏈表長度。
- 空間復雜度:由于使用了遞歸,這里的空間復雜度的瓶頸在棧空間,因此空間復雜度為 O(h)O(h)O(h),其中 hhh 為樹的高度。同時由于是平衡二叉樹,因此 hhh 就是 logNlog NlogN。
## 1382. 將二叉搜索樹變平衡(中等)
### 題目描述
```
<pre class="calibre18">```
給你一棵二叉搜索樹,請你返回一棵 平衡后 的二叉搜索樹,新生成的樹應該與原來的樹有著相同的節點值。
如果一棵二叉搜索樹中,每個節點的兩棵子樹高度差不超過 1 ,我們就稱這棵二叉搜索樹是 平衡的 。
如果有多種構造方法,請你返回任意一種。
示例:
```
```

```
<pre class="calibre18">```
輸入:root = [1,null,2,null,3,null,4,null,null]
輸出:[2,1,3,null,null,null,4]
解釋:這不是唯一的正確答案,[3,1,4,null,2,null,null] 也是一個可行的構造方案。
提示:
樹節點的數目在 1 到 10^4 之間。
樹節點的值互不相同,且在 1 到 10^5 之間。
```
```
### 思路
由于`二叉搜索樹的中序遍歷是一個有序數組`,因此問題很容易就轉化為 `108. 將有序數組轉換為二叉搜索樹(簡單)`。
### 代碼
代碼支持: Python3
Python3 Code:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">inorder</span><span class="hljs-params">(self, node)</span>:</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> <span class="hljs-keyword">not</span> node: <span class="hljs-keyword">return</span> []
<span class="hljs-keyword">return</span> self.inorder(node.left) + [node.val] + self.inorder(node.right)
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">balanceBST</span><span class="hljs-params">(self, root: TreeNode)</span> -> TreeNode:</span>
nums = self.inorder(root)
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">dfs</span><span class="hljs-params">(start, end)</span>:</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> start == end: <span class="hljs-keyword">return</span> TreeNode(nums[start])
<span class="hljs-keyword">if</span> start > end: <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-keyword">None</span>
mid = (start + end) // <span class="hljs-params">2</span>
root = TreeNode(nums[mid])
root.left = dfs(start, mid - <span class="hljs-params">1</span>)
root.right = dfs(mid + <span class="hljs-params">1</span>, end)
<span class="hljs-keyword">return</span> root
<span class="hljs-keyword">return</span> dfs(<span class="hljs-params">0</span>, len(nums) - <span class="hljs-params">1</span>)
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:由于每個節點最多被訪問一次,因此總的時間復雜度為 O(N)O(N)O(N),其中 NNN 為鏈表長度。
- 空間復雜度:雖然使用了遞歸,但是瓶頸不在棧空間,而是開辟的長度為 NNN 的 nums 數組,因此空間復雜度為 O(N)O(N)O(N),其中 NNN 為樹的節點總數。
## 總結
本文通過四道關于二叉平衡樹的題幫助大家識別此類型題目背后的思維邏輯,我們來總結一下學到的知識。
平衡二叉樹指的是:`一個二叉樹每個節點的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過1。`
如果需要讓你判斷一個樹是否是平衡二叉樹,只需要死扣定義,然后用遞歸即可輕松解決。
如果需要你將一個數組或者鏈表(邏輯上都是線性的數據結構)轉化為平衡二叉樹,只需要隨便選一個節點,并分配一半到左子樹,另一半到右子樹即可。
同時,如果要求你轉化為平衡二叉搜索樹,則可以選擇排序數組(或鏈表)的中點,左邊的元素為左子樹, 右邊的元素為右子樹即可。
> 小提示 1: 如果不需要是二叉搜索樹則不需要排序,否則需要排序。
>
> 小提示 2: 你也可以不選擇中點, 算法需要相應調整,感興趣的同學可以試試。
>
> 小提示 3: 鏈表的操作需要特別注意環的存在。
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- Introduction
- 第一章 - 算法專題
- 數據結構
- 基礎算法
- 二叉樹的遍歷
- 動態規劃
- 哈夫曼編碼和游程編碼
- 布隆過濾器
- 字符串問題
- 前綴樹專題
- 《貪婪策略》專題
- 《深度優先遍歷》專題
- 滑動窗口(思路 + 模板)
- 位運算
- 設計題
- 小島問題
- 最大公約數
- 并查集
- 前綴和
- 平衡二叉樹專題
- 第二章 - 91 天學算法
- 第一期講義-二分法
- 第一期講義-雙指針
- 第二期
- 第三章 - 精選題解
- 《日程安排》專題
- 《構造二叉樹》專題
- 字典序列刪除
- 百度的算法面試題 * 祖瑪游戲
- 西法的刷題秘籍】一次搞定前綴和
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?(第二彈)
- 《我是你的媽媽呀》 * 第一期
- 一文帶你看懂二叉樹的序列化
- 穿上衣服我就不認識你了?來聊聊最長上升子序列
- 你的衣服我扒了 * 《最長公共子序列》
- 一文看懂《最大子序列和問題》
- 第四章 - 高頻考題(簡單)
- 面試題 17.12. BiNode
- 0001. 兩數之和
- 0020. 有效的括號
- 0021. 合并兩個有序鏈表
- 0026. 刪除排序數組中的重復項
- 0053. 最大子序和
- 0088. 合并兩個有序數組
- 0101. 對稱二叉樹
- 0104. 二叉樹的最大深度
- 0108. 將有序數組轉換為二叉搜索樹
- 0121. 買賣股票的最佳時機
- 0122. 買賣股票的最佳時機 II
- 0125. 驗證回文串
- 0136. 只出現一次的數字
- 0155. 最小棧
- 0167. 兩數之和 II * 輸入有序數組
- 0169. 多數元素
- 0172. 階乘后的零
- 0190. 顛倒二進制位
- 0191. 位1的個數
- 0198. 打家劫舍
- 0203. 移除鏈表元素
- 0206. 反轉鏈表
- 0219. 存在重復元素 II
- 0226. 翻轉二叉樹
- 0232. 用棧實現隊列
- 0263. 丑數
- 0283. 移動零
- 0342. 4的冪
- 0349. 兩個數組的交集
- 0371. 兩整數之和
- 0437. 路徑總和 III
- 0455. 分發餅干
- 0575. 分糖果
- 0874. 模擬行走機器人
- 1260. 二維網格遷移
- 1332. 刪除回文子序列
- 第五章 - 高頻考題(中等)
- 0002. 兩數相加
- 0003. 無重復字符的最長子串
- 0005. 最長回文子串
- 0011. 盛最多水的容器
- 0015. 三數之和
- 0017. 電話號碼的字母組合
- 0019. 刪除鏈表的倒數第N個節點
- 0022. 括號生成
- 0024. 兩兩交換鏈表中的節點
- 0029. 兩數相除
- 0031. 下一個排列
- 0033. 搜索旋轉排序數組
- 0039. 組合總和
- 0040. 組合總和 II
- 0046. 全排列
- 0047. 全排列 II
- 0048. 旋轉圖像
- 0049. 字母異位詞分組
- 0050. Pow(x, n)
- 0055. 跳躍游戲
- 0056. 合并區間
- 0060. 第k個排列
- 0062. 不同路徑
- 0073. 矩陣置零
- 0075. 顏色分類
- 0078. 子集
- 0079. 單詞搜索
- 0080. 刪除排序數組中的重復項 II
- 0086. 分隔鏈表
- 0090. 子集 II
- 0091. 解碼方法
- 0092. 反轉鏈表 II
- 0094. 二叉樹的中序遍歷
- 0095. 不同的二叉搜索樹 II
- 0096. 不同的二叉搜索樹
- 0098. 驗證二叉搜索樹
- 0102. 二叉樹的層序遍歷
- 0103. 二叉樹的鋸齒形層次遍歷
- 105. 從前序與中序遍歷序列構造二叉樹
- 0113. 路徑總和 II
- 0129. 求根到葉子節點數字之和
- 0130. 被圍繞的區域
- 0131. 分割回文串
- 0139. 單詞拆分
- 0144. 二叉樹的前序遍歷
- 0150. 逆波蘭表達式求值
- 0152. 乘積最大子數組
- 0199. 二叉樹的右視圖
- 0200. 島嶼數量
- 0201. 數字范圍按位與
- 0208. 實現 Trie (前綴樹)
- 0209. 長度最小的子數組
- 0211. 添加與搜索單詞 * 數據結構設計
- 0215. 數組中的第K個最大元素
- 0221. 最大正方形
- 0229. 求眾數 II
- 0230. 二叉搜索樹中第K小的元素
- 0236. 二叉樹的最近公共祖先
- 0238. 除自身以外數組的乘積
- 0240. 搜索二維矩陣 II
- 0279. 完全平方數
- 0309. 最佳買賣股票時機含冷凍期
- 0322. 零錢兌換
- 0328. 奇偶鏈表
- 0334. 遞增的三元子序列
- 0337. 打家劫舍 III
- 0343. 整數拆分
- 0365. 水壺問題
- 0378. 有序矩陣中第K小的元素
- 0380. 常數時間插入、刪除和獲取隨機元素
- 0416. 分割等和子集
- 0445. 兩數相加 II
- 0454. 四數相加 II
- 0494. 目標和
- 0516. 最長回文子序列
- 0518. 零錢兌換 II
- 0547. 朋友圈
- 0560. 和為K的子數組
- 0609. 在系統中查找重復文件
- 0611. 有效三角形的個數
- 0718. 最長重復子數組
- 0754. 到達終點數字
- 0785. 判斷二分圖
- 0820. 單詞的壓縮編碼
- 0875. 愛吃香蕉的珂珂
- 0877. 石子游戲
- 0886. 可能的二分法
- 0900. RLE 迭代器
- 0912. 排序數組
- 0935. 騎士撥號器
- 1011. 在 D 天內送達包裹的能力
- 1014. 最佳觀光組合
- 1015. 可被 K 整除的最小整數
- 1019. 鏈表中的下一個更大節點
- 1020. 飛地的數量
- 1023. 駝峰式匹配
- 1031. 兩個非重疊子數組的最大和
- 1104. 二叉樹尋路
- 1131.絕對值表達式的最大值
- 1186. 刪除一次得到子數組最大和
- 1218. 最長定差子序列
- 1227. 飛機座位分配概率
- 1261. 在受污染的二叉樹中查找元素
- 1262. 可被三整除的最大和
- 1297. 子串的最大出現次數
- 1310. 子數組異或查詢
- 1334. 閾值距離內鄰居最少的城市
- 1371.每個元音包含偶數次的最長子字符串
- 第六章 - 高頻考題(困難)
- 0004. 尋找兩個正序數組的中位數
- 0023. 合并K個升序鏈表
- 0025. K 個一組翻轉鏈表
- 0030. 串聯所有單詞的子串
- 0032. 最長有效括號
- 0042. 接雨水
- 0052. N皇后 II
- 0084. 柱狀圖中最大的矩形
- 0085. 最大矩形
- 0124. 二叉樹中的最大路徑和
- 0128. 最長連續序列
- 0145. 二叉樹的后序遍歷
- 0212. 單詞搜索 II
- 0239. 滑動窗口最大值
- 0295. 數據流的中位數
- 0301. 刪除無效的括號
- 0312. 戳氣球
- 0335. 路徑交叉
- 0460. LFU緩存
- 0472. 連接詞
- 0488. 祖瑪游戲
- 0493. 翻轉對
- 0887. 雞蛋掉落
- 0895. 最大頻率棧
- 1032. 字符流
- 1168. 水資源分配優化
- 1449. 數位成本和為目標值的最大數字
- 后序