# 1262. 可被三整除的最大和
# 題目地址(1262. 可被三整除的最大和)
<https://leetcode-cn.com/problems/greatest-sum-divisible-by-three/>
## 題目描述
```
<pre class="calibre18">```
給你一個整數數組 nums,請你找出并返回能被三整除的元素最大和。
示例 1:
輸入:nums = [3,6,5,1,8]
輸出:18
解釋:選出數字 3, 6, 1 和 8,它們的和是 18(可被 3 整除的最大和)。
示例 2:
輸入:nums = [4]
輸出:0
解釋:4 不能被 3 整除,所以無法選出數字,返回 0。
示例 3:
輸入:nums = [1,2,3,4,4]
輸出:12
解釋:選出數字 1, 3, 4 以及 4,它們的和是 12(可被 3 整除的最大和)。
提示:
1 <= nums.length <= 4 * 10^4
1 <= nums[i] <= 10^4
```
```
## 前置知識
- 數組
- 回溯法
- 排序
## 暴力法
## 公司
- 字節
- 網易有道
### 思路
一種方式是找出所有的能夠被 3 整除的子集,然后挑選出和最大的。由于我們選出了所有的子集,那么時間復雜度就是 O(2N)O(2^N)O(2N) , 毫無疑問會超時。這里我們使用回溯法找子集,如果不清楚回溯法,可以參考我之前的題解,很多題目都用到了,比如[78.subsets](https://github.com/azl397985856/leetcode/blob/master/problems/78.subsets.md)。
更多回溯題目,可以訪問上方鏈接查看(可以使用一套模板搞定):

### 代碼
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">maxSumDivThree</span><span class="hljs-params">(self, nums: List[int])</span> -> int:</span>
self.res = <span class="hljs-params">0</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">backtrack</span><span class="hljs-params">(temp, start)</span>:</span>
total = sum(temp)
<span class="hljs-keyword">if</span> total % <span class="hljs-params">3</span> == <span class="hljs-params">0</span>:
self.res = max(self.res, total)
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(start, len(nums)):
temp.append(nums[i])
backtrack(temp, i + <span class="hljs-params">1</span>)
temp.pop(<span class="hljs-params">-1</span>)
backtrack([], <span class="hljs-params">0</span>)
<span class="hljs-keyword">return</span> self.res
```
```
## 減法 + 排序
減法的核心思想是,我們求出總和。如果總和不滿足題意,我們嘗試減去最小的數,使之滿足題意。
### 思路
這種算法的思想,具體來說就是:
- 我們將所有的數字加起來,我們不妨設為 total
- total 除以 3,得到一個余數 mod, mod 可能值有 0,1,2.
- 同時我們建立兩個數組,一個是余數為 1 的數組 one,一個是余數為 2 的數組 two
- 如果 mod 為 0,我們直接返回即可。
- 如果 mod 為 1,我們可以減去 one 數組中最小的一個(如果有的話),或者減去兩個 two 數組中最小的(如果有的話),究竟減去誰取決誰更小。
- 如果 mod 為 2,我們可以減去 two 數組中最小的一個(如果有的話),或者減去兩個 one 數組中最小的(如果有的話),究竟減去誰取決誰更小。
由于我們需要取 one 和 two 中最小的一個或者兩個,因此對數組 one 和 two 進行排序是可行的,如果基于排序的話,時間復雜度大致為 O(NlogN)O(NlogN)O(NlogN),這種算法可以通過。
以題目中的例 1 為例:

以題目中的例 2 為例:

### 代碼
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">maxSumDivThree</span><span class="hljs-params">(self, nums: List[int])</span> -> int:</span>
one = []
two = []
total = <span class="hljs-params">0</span>
<span class="hljs-keyword">for</span> num <span class="hljs-keyword">in</span> nums:
total += num
<span class="hljs-keyword">if</span> num % <span class="hljs-params">3</span> == <span class="hljs-params">1</span>:
one.append(num)
<span class="hljs-keyword">if</span> num % <span class="hljs-params">3</span> == <span class="hljs-params">2</span>:
two.append(num)
one.sort()
two.sort()
<span class="hljs-keyword">if</span> total % <span class="hljs-params">3</span> == <span class="hljs-params">0</span>:
<span class="hljs-keyword">return</span> total
<span class="hljs-keyword">elif</span> total % <span class="hljs-params">3</span> == <span class="hljs-params">1</span> <span class="hljs-keyword">and</span> one:
<span class="hljs-keyword">if</span> len(two) >= <span class="hljs-params">2</span> <span class="hljs-keyword">and</span> one[<span class="hljs-params">0</span>] > two[<span class="hljs-params">0</span>] + two[<span class="hljs-params">1</span>]:
<span class="hljs-keyword">return</span> total - two[<span class="hljs-params">0</span>] - two[<span class="hljs-params">1</span>]
<span class="hljs-keyword">return</span> total - one[<span class="hljs-params">0</span>]
<span class="hljs-keyword">elif</span> total % <span class="hljs-params">3</span> == <span class="hljs-params">2</span> <span class="hljs-keyword">and</span> two:
<span class="hljs-keyword">if</span> len(one) >= <span class="hljs-params">2</span> <span class="hljs-keyword">and</span> two[<span class="hljs-params">0</span>] > one[<span class="hljs-params">0</span>] + one[<span class="hljs-params">1</span>]:
<span class="hljs-keyword">return</span> total - one[<span class="hljs-params">0</span>] - one[<span class="hljs-params">1</span>]
<span class="hljs-keyword">return</span> total - two[<span class="hljs-params">0</span>]
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">0</span>
```
```
## 減法 + 非排序
### 思路
上面的解法使用到了排序。 我們其實觀察發現,我們只是用到了 one 和 two 的最小的兩個數。因此我們完全可以在線形的時間和常數的空間完成這個算法。我們只需要分別記錄 one 和 two 的最小值和次小值即可,在這里,我使用了兩個長度為 2 的數組來表示,第一項是最小值,第二項是次小值。
### 代碼
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">maxSumDivThree</span><span class="hljs-params">(self, nums: List[int])</span> -> int:</span>
one = [float(<span class="hljs-string">'inf'</span>)] * <span class="hljs-params">2</span>
two = [float(<span class="hljs-string">'inf'</span>)] * <span class="hljs-params">2</span>
total = <span class="hljs-params">0</span>
<span class="hljs-keyword">for</span> num <span class="hljs-keyword">in</span> nums:
total += num
<span class="hljs-keyword">if</span> num % <span class="hljs-params">3</span> == <span class="hljs-params">1</span>:
<span class="hljs-keyword">if</span> num < one[<span class="hljs-params">0</span>]:
t = one[<span class="hljs-params">0</span>]
one[<span class="hljs-params">0</span>] = num
one[<span class="hljs-params">1</span>] = t
<span class="hljs-keyword">elif</span> num < one[<span class="hljs-params">1</span>]:
one[<span class="hljs-params">1</span>] = num
<span class="hljs-keyword">if</span> num % <span class="hljs-params">3</span> == <span class="hljs-params">2</span>:
<span class="hljs-keyword">if</span> num < two[<span class="hljs-params">0</span>]:
t = two[<span class="hljs-params">0</span>]
two[<span class="hljs-params">0</span>] = num
two[<span class="hljs-params">1</span>] = t
<span class="hljs-keyword">elif</span> num < two[<span class="hljs-params">1</span>]:
two[<span class="hljs-params">1</span>] = num
<span class="hljs-keyword">if</span> total % <span class="hljs-params">3</span> == <span class="hljs-params">0</span>:
<span class="hljs-keyword">return</span> total
<span class="hljs-keyword">elif</span> total % <span class="hljs-params">3</span> == <span class="hljs-params">1</span> <span class="hljs-keyword">and</span> one:
<span class="hljs-keyword">if</span> len(two) >= <span class="hljs-params">2</span> <span class="hljs-keyword">and</span> one[<span class="hljs-params">0</span>] > two[<span class="hljs-params">0</span>] + two[<span class="hljs-params">1</span>]:
<span class="hljs-keyword">return</span> total - two[<span class="hljs-params">0</span>] - two[<span class="hljs-params">1</span>]
<span class="hljs-keyword">return</span> total - one[<span class="hljs-params">0</span>]
<span class="hljs-keyword">elif</span> total % <span class="hljs-params">3</span> == <span class="hljs-params">2</span> <span class="hljs-keyword">and</span> two:
<span class="hljs-keyword">if</span> len(one) >= <span class="hljs-params">2</span> <span class="hljs-keyword">and</span> two[<span class="hljs-params">0</span>] > one[<span class="hljs-params">0</span>] + one[<span class="hljs-params">1</span>]:
<span class="hljs-keyword">return</span> total - one[<span class="hljs-params">0</span>] - one[<span class="hljs-params">1</span>]
<span class="hljs-keyword">return</span> total - two[<span class="hljs-params">0</span>]
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">0</span>
```
```
## 有限狀態機
### 思路
我在[數據結構與算法在前端領域的應用 - 第二篇](https://lucifer.ren/blog/2019/09/19/algorthimn-fe-2/) 中講到了有限狀態機。

狀態機表示若干個狀態以及在這些狀態之間的轉移和動作等行為的數學模型。通俗的描述狀態機就是定義了一套狀態変更的流程:狀態機包含一個狀態集合,定義當狀態機處于某一個狀態的時候它所能接收的事件以及可執行的行為,執行完成后,狀態機所處的狀態。
狀態機使用非常廣泛,比如正則表達式的引擎,編譯器的詞法和語法分析,網絡協議,企業應用等很多領域都會用到。
拿本題中來說,我們從左到右掃描數組的過程,將會不斷改變狀態機的狀態。
我們使用 state 數組來表示本題的狀態:
- state\[0\] 表示 mod 為 0 的 最大和
- state\[1\] 表示 mod 為 1 的 最大和
- state\[2\] 表示 mod 為 1 的 最大和
我們的狀態轉移方程就會很容易。說到狀態轉移方程,你可能會想到動態規劃。沒錯!這種思路可以直接翻譯成動態規劃,算法完全一樣。如果你看過我上面提到的文章,那么狀態轉移方程對你來說就會很容易。如果你不清楚,那么請往下看:
- 我們從左往右不斷讀取數字,我們不妨設這個數字為 num。
- 如果 num % 3 為 0。 那么我們的 state\[0\], state\[1\], state\[2\] 可以直接加上 num(題目限定了 num 為非負), 因為任何數字加上 3 的倍數之后,mod 3 的值是不變的。
- 如果 num % 3 為 1。 我們知道 state\[2\] + num 會變成一個能被三整除的數,但是這個數字不一定比當前的 state\[0\]大。 代碼表示就是`max(state[2] + num, state[0])`。同理 state\[1\] 和 state\[2\] 的轉移邏輯類似。
- 同理 num % 3 為 2 也是類似的邏輯。
- 最后我們返回 state\[0\]即可。
### 代碼
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">maxSumDivThree</span><span class="hljs-params">(self, nums: List[int])</span> -> int:</span>
state = [<span class="hljs-params">0</span>, float(<span class="hljs-string">'-inf'</span>), float(<span class="hljs-string">'-inf'</span>)]
<span class="hljs-keyword">for</span> num <span class="hljs-keyword">in</span> nums:
<span class="hljs-keyword">if</span> num % <span class="hljs-params">3</span> == <span class="hljs-params">0</span>:
state = [state[<span class="hljs-params">0</span>] + num, state[<span class="hljs-params">1</span>] + num, state[<span class="hljs-params">2</span>] + num]
<span class="hljs-keyword">if</span> num % <span class="hljs-params">3</span> == <span class="hljs-params">1</span>:
a = max(state[<span class="hljs-params">2</span>] + num, state[<span class="hljs-params">0</span>])
b = max(state[<span class="hljs-params">0</span>] + num, state[<span class="hljs-params">1</span>])
c = max(state[<span class="hljs-params">1</span>] + num, state[<span class="hljs-params">2</span>])
state = [a, b, c]
<span class="hljs-keyword">if</span> num % <span class="hljs-params">3</span> == <span class="hljs-params">2</span>:
a = max(state[<span class="hljs-params">1</span>] + num, state[<span class="hljs-params">0</span>])
b = max(state[<span class="hljs-params">2</span>] + num, state[<span class="hljs-params">1</span>])
c = max(state[<span class="hljs-params">0</span>] + num, state[<span class="hljs-params">2</span>])
state = [a, b, c]
<span class="hljs-keyword">return</span> state[<span class="hljs-params">0</span>]
```
```
當然這個代碼還可以簡化:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">maxSumDivThree</span><span class="hljs-params">(self, nums: List[int])</span> -> int:</span>
state = [<span class="hljs-params">0</span>, float(<span class="hljs-string">'-inf'</span>), float(<span class="hljs-string">'-inf'</span>)]
<span class="hljs-keyword">for</span> num <span class="hljs-keyword">in</span> nums:
temp = [<span class="hljs-params">0</span>] * <span class="hljs-params">3</span>
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">3</span>):
temp[(i + num) % <span class="hljs-params">3</span>] = max(state[(i + num) % <span class="hljs-params">3</span>], state[i] + num)
state = temp
<span class="hljs-keyword">return</span> state[<span class="hljs-params">0</span>]
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:O(N)O(N)O(N)
- 空間復雜度:O(1)O(1)O(1)
## 關鍵點解析
- 貪婪法
- 狀態機
- 數學分析
## 擴展
實際上,我們可以采取加法(貪婪策略),感興趣的可以試一下。
另外如果題目改成了`請你找出并返回能被x整除的元素最大和`,你只需要將我的解法中的 3 改成 x 即可。
大家對此有何看法,歡迎給我留言,我有時間都會一一查看回答。更多算法套路可以訪問我的 LeetCode 題解倉庫:<https://github.com/azl397985856/leetcode> 。 目前已經 37K star 啦。 大家也可以關注我的公眾號《力扣加加》帶你啃下算法這塊硬骨頭。 
- Introduction
- 第一章 - 算法專題
- 數據結構
- 基礎算法
- 二叉樹的遍歷
- 動態規劃
- 哈夫曼編碼和游程編碼
- 布隆過濾器
- 字符串問題
- 前綴樹專題
- 《貪婪策略》專題
- 《深度優先遍歷》專題
- 滑動窗口(思路 + 模板)
- 位運算
- 設計題
- 小島問題
- 最大公約數
- 并查集
- 前綴和
- 平衡二叉樹專題
- 第二章 - 91 天學算法
- 第一期講義-二分法
- 第一期講義-雙指針
- 第二期
- 第三章 - 精選題解
- 《日程安排》專題
- 《構造二叉樹》專題
- 字典序列刪除
- 百度的算法面試題 * 祖瑪游戲
- 西法的刷題秘籍】一次搞定前綴和
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?(第二彈)
- 《我是你的媽媽呀》 * 第一期
- 一文帶你看懂二叉樹的序列化
- 穿上衣服我就不認識你了?來聊聊最長上升子序列
- 你的衣服我扒了 * 《最長公共子序列》
- 一文看懂《最大子序列和問題》
- 第四章 - 高頻考題(簡單)
- 面試題 17.12. BiNode
- 0001. 兩數之和
- 0020. 有效的括號
- 0021. 合并兩個有序鏈表
- 0026. 刪除排序數組中的重復項
- 0053. 最大子序和
- 0088. 合并兩個有序數組
- 0101. 對稱二叉樹
- 0104. 二叉樹的最大深度
- 0108. 將有序數組轉換為二叉搜索樹
- 0121. 買賣股票的最佳時機
- 0122. 買賣股票的最佳時機 II
- 0125. 驗證回文串
- 0136. 只出現一次的數字
- 0155. 最小棧
- 0167. 兩數之和 II * 輸入有序數組
- 0169. 多數元素
- 0172. 階乘后的零
- 0190. 顛倒二進制位
- 0191. 位1的個數
- 0198. 打家劫舍
- 0203. 移除鏈表元素
- 0206. 反轉鏈表
- 0219. 存在重復元素 II
- 0226. 翻轉二叉樹
- 0232. 用棧實現隊列
- 0263. 丑數
- 0283. 移動零
- 0342. 4的冪
- 0349. 兩個數組的交集
- 0371. 兩整數之和
- 0437. 路徑總和 III
- 0455. 分發餅干
- 0575. 分糖果
- 0874. 模擬行走機器人
- 1260. 二維網格遷移
- 1332. 刪除回文子序列
- 第五章 - 高頻考題(中等)
- 0002. 兩數相加
- 0003. 無重復字符的最長子串
- 0005. 最長回文子串
- 0011. 盛最多水的容器
- 0015. 三數之和
- 0017. 電話號碼的字母組合
- 0019. 刪除鏈表的倒數第N個節點
- 0022. 括號生成
- 0024. 兩兩交換鏈表中的節點
- 0029. 兩數相除
- 0031. 下一個排列
- 0033. 搜索旋轉排序數組
- 0039. 組合總和
- 0040. 組合總和 II
- 0046. 全排列
- 0047. 全排列 II
- 0048. 旋轉圖像
- 0049. 字母異位詞分組
- 0050. Pow(x, n)
- 0055. 跳躍游戲
- 0056. 合并區間
- 0060. 第k個排列
- 0062. 不同路徑
- 0073. 矩陣置零
- 0075. 顏色分類
- 0078. 子集
- 0079. 單詞搜索
- 0080. 刪除排序數組中的重復項 II
- 0086. 分隔鏈表
- 0090. 子集 II
- 0091. 解碼方法
- 0092. 反轉鏈表 II
- 0094. 二叉樹的中序遍歷
- 0095. 不同的二叉搜索樹 II
- 0096. 不同的二叉搜索樹
- 0098. 驗證二叉搜索樹
- 0102. 二叉樹的層序遍歷
- 0103. 二叉樹的鋸齒形層次遍歷
- 105. 從前序與中序遍歷序列構造二叉樹
- 0113. 路徑總和 II
- 0129. 求根到葉子節點數字之和
- 0130. 被圍繞的區域
- 0131. 分割回文串
- 0139. 單詞拆分
- 0144. 二叉樹的前序遍歷
- 0150. 逆波蘭表達式求值
- 0152. 乘積最大子數組
- 0199. 二叉樹的右視圖
- 0200. 島嶼數量
- 0201. 數字范圍按位與
- 0208. 實現 Trie (前綴樹)
- 0209. 長度最小的子數組
- 0211. 添加與搜索單詞 * 數據結構設計
- 0215. 數組中的第K個最大元素
- 0221. 最大正方形
- 0229. 求眾數 II
- 0230. 二叉搜索樹中第K小的元素
- 0236. 二叉樹的最近公共祖先
- 0238. 除自身以外數組的乘積
- 0240. 搜索二維矩陣 II
- 0279. 完全平方數
- 0309. 最佳買賣股票時機含冷凍期
- 0322. 零錢兌換
- 0328. 奇偶鏈表
- 0334. 遞增的三元子序列
- 0337. 打家劫舍 III
- 0343. 整數拆分
- 0365. 水壺問題
- 0378. 有序矩陣中第K小的元素
- 0380. 常數時間插入、刪除和獲取隨機元素
- 0416. 分割等和子集
- 0445. 兩數相加 II
- 0454. 四數相加 II
- 0494. 目標和
- 0516. 最長回文子序列
- 0518. 零錢兌換 II
- 0547. 朋友圈
- 0560. 和為K的子數組
- 0609. 在系統中查找重復文件
- 0611. 有效三角形的個數
- 0718. 最長重復子數組
- 0754. 到達終點數字
- 0785. 判斷二分圖
- 0820. 單詞的壓縮編碼
- 0875. 愛吃香蕉的珂珂
- 0877. 石子游戲
- 0886. 可能的二分法
- 0900. RLE 迭代器
- 0912. 排序數組
- 0935. 騎士撥號器
- 1011. 在 D 天內送達包裹的能力
- 1014. 最佳觀光組合
- 1015. 可被 K 整除的最小整數
- 1019. 鏈表中的下一個更大節點
- 1020. 飛地的數量
- 1023. 駝峰式匹配
- 1031. 兩個非重疊子數組的最大和
- 1104. 二叉樹尋路
- 1131.絕對值表達式的最大值
- 1186. 刪除一次得到子數組最大和
- 1218. 最長定差子序列
- 1227. 飛機座位分配概率
- 1261. 在受污染的二叉樹中查找元素
- 1262. 可被三整除的最大和
- 1297. 子串的最大出現次數
- 1310. 子數組異或查詢
- 1334. 閾值距離內鄰居最少的城市
- 1371.每個元音包含偶數次的最長子字符串
- 第六章 - 高頻考題(困難)
- 0004. 尋找兩個正序數組的中位數
- 0023. 合并K個升序鏈表
- 0025. K 個一組翻轉鏈表
- 0030. 串聯所有單詞的子串
- 0032. 最長有效括號
- 0042. 接雨水
- 0052. N皇后 II
- 0084. 柱狀圖中最大的矩形
- 0085. 最大矩形
- 0124. 二叉樹中的最大路徑和
- 0128. 最長連續序列
- 0145. 二叉樹的后序遍歷
- 0212. 單詞搜索 II
- 0239. 滑動窗口最大值
- 0295. 數據流的中位數
- 0301. 刪除無效的括號
- 0312. 戳氣球
- 0335. 路徑交叉
- 0460. LFU緩存
- 0472. 連接詞
- 0488. 祖瑪游戲
- 0493. 翻轉對
- 0887. 雞蛋掉落
- 0895. 最大頻率棧
- 1032. 字符流
- 1168. 水資源分配優化
- 1449. 數位成本和為目標值的最大數字
- 后序