1227. 飛機座位分配概率 · ttttt

# 1227. 飛機座位分配概率 ## 題目地址（1227. 飛機座位分配概率） <https://leetcode-cn.com/problems/airplane-seat-assignment-probability/> ## 題目描述 ``` <pre class="calibre18">``` 有 n 位乘客即將登機，飛機正好有 n 個座位。第一位乘客的票丟了，他隨便選了一個座位坐下。剩下的乘客將會：如果他們自己的座位還空著，就坐到自己的座位上，當他們自己的座位被占用時，隨機選擇其他座位第 n 位乘客坐在自己的座位上的概率是多少？示例 1：輸入：n = 1 輸出：1.00000 解釋：第一個人只會坐在自己的位置上。示例 2：輸入: n = 2 輸出: 0.50000 解釋：在第一個人選好座位坐下后，第二個人坐在自己的座位上的概率是 0.5。提示： 1 <= n <= 10^5 ``` ``` ## 前置知識 - 記憶化搜索 - 動態規劃 ## 暴力遞歸這是一道 LeetCode 為數不多的概率題，我們來看下。 ## 公司 - 字節 ### 思路我們定義原問題為 f(n)。對于第一個人來說，他有 n 中選擇，就是分別選擇 n 個座位中的一個。由于選擇每個位置的概率是相同的，那么選擇每個位置的概率應該都是 1 / n。我們分三種情況來討論： - 如果第一個人選擇了第一個人的位置（也就是選擇了自己的位置），那么剩下的人按照票上的座位做就好了，這種情況第 n 個人一定能做到自己的位置 - 如果第一個人選擇了第 n 個人的位置，那么第 n 個人肯定坐不到自己的位置。 - 如果第一個人選擇了第 i (1 < i < n)個人的位置，那么第 i 個人就相當于變成了“票丟的人”，此時問題轉化為 f(n - i + 1)。此時的問題轉化關系如圖： ![](https://img.kancloud.cn/8e/2e/8e2eb2ac16efc01131baad9a0f7c4670_1586x664.jpg)（紅色表示票丟的人）整個過程分析： ![](https://img.kancloud.cn/ad/8c/ad8c321a36a5538a1034b976d0cc7fbe_1586x404.jpg) ### 代碼代碼支持 Python3: Python3 Code: ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float: if n == 1: return 1 if n == 2: return 0.5 res = 1 / n for i in range(2, n): res += self.nthPersonGetsNthSeat(n - i + 1) * 1 / n return res ``` ``` 上述代碼會棧溢出。 ## 暴力遞歸 + hashtable ### 思路我們考慮使用記憶化遞歸來減少重復計算，雖然這種做法可以減少運行時間，但是對減少遞歸深度沒有幫助。還是會棧溢出。 ### 代碼代碼支持 Python3: Python3 Code: ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: seen = {} def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float: if n == 1: return 1 if n == 2: return 0.5 if n in self.seen: return self.seen[n] res = 1 / n for i in range(2, n): res += self.nthPersonGetsNthSeat(n - i + 1) * 1 / n self.seen[n] = res return res ``` ``` ## 動態規劃 ### 思路上面做法會棧溢出。其實我們根本不需要運行就應該能判斷出棧溢出，題目已經給了數據規模是 1 <= n <= 10 \*\* 5。這個量級不管什么語言，除非使用尾遞歸，不然一般都會棧溢出，具體棧深度大家可以查閱相關資料。既然是棧溢出，那么我們考慮使用迭代來完成。很容易想到使用動態規劃來完成。其實遞歸都寫出來，寫一個樸素版的動態規劃也難不到哪去，畢竟動態規劃就是記錄子問題，并建立子問題之間映射而已，這和遞歸并無本質區別。 ### 代碼代碼支持 Python3: Python3 Code: ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float: if n == 1: return 1 if n == 2: return 0.5 dp = [1, .5] * n for i in range(2, n): dp[i] = 1 / n for j in range(2, i): dp[i] += dp[i - j + 1] * 1 / n return dp[-1] ``` ``` 這種思路的代碼超時了，并且僅僅執行了 35/100 testcase 就超時了。 ## 數學分析 ### 思路我們還需要進一步優化時間復雜度，我們需要思考是否可以在線形的時間內完成。我們繼續前面的思路進行分析, 不難得出，我們不妨稱其為等式 1： ``` <pre class="calibre18">``` f(n) = 1/n + 0 + 1/n * (f(n-1) + f(n-2) + ... + f(2)) = 1/n * (f(n-1) + f(n-2) + ... + f(2) + 1) = 1/n * (f(n-1) + f(n-2) + ... + f(2) + f(1)) ``` ``` 似乎更復雜了？沒關系，我們繼續往下看，我們看下 f(n - 1)，我們不妨稱其為等式 2。 ``` <pre class="calibre18">``` f(n-1) = 1/(n-1) * (f(n-2) + f(n-3) + ... + f(1)) ``` ``` 我們將等式 1 和等式 2 兩邊分別同時乘以 n 和 n - 1 ``` <pre class="calibre18">``` n * f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(1) (n-1) * f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + ... + f(1) ``` ``` 我們將兩者相減： ``` <pre class="calibre18">``` n * f(n) - (n-1)*f(n-1) = f(n-1) ``` ``` 我們繼續將 (n-1)\*f(n-1) 移到等式右邊，得到： ``` <pre class="calibre18">``` n * f(n) = n * f(n-1) ``` ``` 也就是說: ``` <pre class="calibre18">``` f(n) = f(n - 1) ``` ``` 當然前提是 n 大于 2。既然如此，我們就可以減少一層循環，我們用這個思路來優化一下上面的 dp 解法。這種解法終于可以 AC 了。 ### 代碼代碼支持 Python3: Python3 Code: ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float: if n == 1: return 1 if n == 2: return 0.5 dp = [1, .5] * n for i in range(2, n): dp[i] = 1/n+(n-2)/n * dp[n-1] return dp[-1] ``` ``` **復雜度分析** - 時間復雜度：O(N)O(N)O(N) - 空間復雜度：O(N)O(N)O(N) ## 優化數學分析 ### 思路上面我們通過數學分析，得出了當 n 大于 2 時： ``` <pre class="calibre18">``` f(n) = f(n - 1) ``` ``` 那么是不是意味著我們隨便求出一個 n 就好了？比如我們求出 n = 2 的時候的值，是不是就知道 n 為任意數的值了。我們不難想出 n = 2 時候，概率是 0.5，因此只要 n 大于 1 就是 0.5 概率，否則就是 1 概率。 ### 代碼代碼支持 Python3: Python3 Code: ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float: return 1 if n == 1 else .5 ``` ``` **復雜度分析** - 時間復雜度：O(1)O(1)O(1) - 空間復雜度：O(1)O(1)O(1) ## 關鍵點 - 概率分析 - 數學推導 - 動態規劃 - 遞歸 + mapper - 棧限制大小 - 尾遞歸大家對此有何看法，歡迎給我留言，我有時間都會一一查看回答。更多算法套路可以訪問我的 LeetCode 題解倉庫：<https://github.com/azl397985856/leetcode> 。目前已經 37K star 啦。大家也可以關注我的公眾號《力扣加加》帶你啃下算法這塊硬骨頭。 ![](https://img.kancloud.cn/cf/0f/cf0fc0dd21e94b443dd8bca6cc15b34b_900x500.jpg)