# 1227. 飛機座位分配概率
## 題目地址(1227. 飛機座位分配概率)
<https://leetcode-cn.com/problems/airplane-seat-assignment-probability/>
## 題目描述
```
<pre class="calibre18">```
有 n 位乘客即將登機,飛機正好有 n 個座位。第一位乘客的票丟了,他隨便選了一個座位坐下。
剩下的乘客將會:
如果他們自己的座位還空著,就坐到自己的座位上,
當他們自己的座位被占用時,隨機選擇其他座位
第 n 位乘客坐在自己的座位上的概率是多少?
示例 1:
輸入:n = 1
輸出:1.00000
解釋:第一個人只會坐在自己的位置上。
示例 2:
輸入: n = 2
輸出: 0.50000
解釋:在第一個人選好座位坐下后,第二個人坐在自己的座位上的概率是 0.5。
提示:
1 <= n <= 10^5
```
```
## 前置知識
- 記憶化搜索
- 動態規劃
## 暴力遞歸
這是一道 LeetCode 為數不多的概率題,我們來看下。
## 公司
- 字節
### 思路
我們定義原問題為 f(n)。對于第一個人來說,他有 n 中選擇,就是分別選擇 n 個座位中的一個。由于選擇每個位置的概率是相同的,那么選擇每個位置的概率應該都是 1 / n。
我們分三種情況來討論:
- 如果第一個人選擇了第一個人的位置(也就是選擇了自己的位置),那么剩下的人按照票上的座位做就好了,這種情況第 n 個人一定能做到自己的位置
- 如果第一個人選擇了第 n 個人的位置,那么第 n 個人肯定坐不到自己的位置。
- 如果第一個人選擇了第 i (1 < i < n)個人的位置,那么第 i 個人就相當于變成了“票丟的人”,此時問題轉化為 f(n - i + 1)。
此時的問題轉化關系如圖:
(紅色表示票丟的人)
整個過程分析:

### 代碼
代碼支持 Python3:
Python3 Code:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">nthPersonGetsNthSeat</span><span class="hljs-params">(self, n: int)</span> -> float:</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> n == <span class="hljs-params">1</span>:
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">1</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> n == <span class="hljs-params">2</span>:
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">0.5</span>
res = <span class="hljs-params">1</span> / n
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">2</span>, n):
res += self.nthPersonGetsNthSeat(n - i + <span class="hljs-params">1</span>) * <span class="hljs-params">1</span> / n
<span class="hljs-keyword">return</span> res
```
```
上述代碼會棧溢出。
## 暴力遞歸 + hashtable
### 思路
我們考慮使用記憶化遞歸來減少重復計算,雖然這種做法可以減少運行時間,但是對減少遞歸深度沒有幫助。還是會棧溢出。
### 代碼
代碼支持 Python3:
Python3 Code:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
seen = {}
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">nthPersonGetsNthSeat</span><span class="hljs-params">(self, n: int)</span> -> float:</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> n == <span class="hljs-params">1</span>:
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">1</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> n == <span class="hljs-params">2</span>:
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">0.5</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> n <span class="hljs-keyword">in</span> self.seen:
<span class="hljs-keyword">return</span> self.seen[n]
res = <span class="hljs-params">1</span> / n
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">2</span>, n):
res += self.nthPersonGetsNthSeat(n - i + <span class="hljs-params">1</span>) * <span class="hljs-params">1</span> / n
self.seen[n] = res
<span class="hljs-keyword">return</span> res
```
```
## 動態規劃
### 思路
上面做法會棧溢出。其實我們根本不需要運行就應該能判斷出棧溢出,題目已經給了數據規模是 1 <= n <= 10 \*\* 5。 這個量級不管什么語言,除非使用尾遞歸,不然一般都會棧溢出,具體棧深度大家可以查閱相關資料。
既然是棧溢出,那么我們考慮使用迭代來完成。 很容易想到使用動態規劃來完成。其實遞歸都寫出來,寫一個樸素版的動態規劃也難不到哪去,畢竟動態規劃就是記錄子問題,并建立子問題之間映射而已,這和遞歸并無本質區別。
### 代碼
代碼支持 Python3:
Python3 Code:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">nthPersonGetsNthSeat</span><span class="hljs-params">(self, n: int)</span> -> float:</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> n == <span class="hljs-params">1</span>:
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">1</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> n == <span class="hljs-params">2</span>:
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">0.5</span>
dp = [<span class="hljs-params">1</span>, <span class="hljs-params">.5</span>] * n
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">2</span>, n):
dp[i] = <span class="hljs-params">1</span> / n
<span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">2</span>, i):
dp[i] += dp[i - j + <span class="hljs-params">1</span>] * <span class="hljs-params">1</span> / n
<span class="hljs-keyword">return</span> dp[<span class="hljs-params">-1</span>]
```
```
這種思路的代碼超時了,并且僅僅執行了 35/100 testcase 就超時了。
## 數學分析
### 思路
我們還需要進一步優化時間復雜度,我們需要思考是否可以在線形的時間內完成。
我們繼續前面的思路進行分析, 不難得出,我們不妨稱其為等式 1:
```
<pre class="calibre18">```
f(n)
= 1/n + 0 + 1/n * (f(n-1) + f(n-2) + ... + f(2))
= 1/n * (f(n-1) + f(n-2) + ... + f(2) + 1)
= 1/n * (f(n-1) + f(n-2) + ... + f(2) + f(1))
```
```
似乎更復雜了?沒關系,我們繼續往下看,我們看下 f(n - 1),我們不妨稱其為等式 2。
```
<pre class="calibre18">```
f(n-1) = 1/(n-1) * (f(n-2) + f(n-3) + ... + f(1))
```
```
我們將等式 1 和等式 2 兩邊分別同時乘以 n 和 n - 1
```
<pre class="calibre18">```
n * f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(1)
(n-1) * f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + ... + f(1)
```
```
我們將兩者相減:
```
<pre class="calibre18">```
n * f(n) - (n-1)*f(n-1) = f(n-1)
```
```
我們繼續將 (n-1)\*f(n-1) 移到等式右邊,得到:
```
<pre class="calibre18">```
n * f(n) = n * f(n-1)
```
```
也就是說:
```
<pre class="calibre18">```
f(n) = f(n - 1)
```
```
當然前提是 n 大于 2。
既然如此,我們就可以減少一層循環, 我們用這個思路來優化一下上面的 dp 解法。這種解法終于可以 AC 了。
### 代碼
代碼支持 Python3:
Python3 Code:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">nthPersonGetsNthSeat</span><span class="hljs-params">(self, n: int)</span> -> float:</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> n == <span class="hljs-params">1</span>:
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">1</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> n == <span class="hljs-params">2</span>:
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">0.5</span>
dp = [<span class="hljs-params">1</span>, <span class="hljs-params">.5</span>] * n
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">2</span>, n):
dp[i] = <span class="hljs-params">1</span>/n+(n<span class="hljs-params">-2</span>)/n * dp[n<span class="hljs-params">-1</span>]
<span class="hljs-keyword">return</span> dp[<span class="hljs-params">-1</span>]
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:O(N)O(N)O(N)
- 空間復雜度:O(N)O(N)O(N)
## 優化數學分析
### 思路
上面我們通過數學分析,得出了當 n 大于 2 時:
```
<pre class="calibre18">```
f(n) = f(n - 1)
```
```
那么是不是意味著我們隨便求出一個 n 就好了? 比如我們求出 n = 2 的時候的值,是不是就知道 n 為任意數的值了。 我們不難想出 n = 2 時候,概率是 0.5,因此只要 n 大于 1 就是 0.5 概率,否則就是 1 概率。
### 代碼
代碼支持 Python3:
Python3 Code:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">nthPersonGetsNthSeat</span><span class="hljs-params">(self, n: int)</span> -> float:</span>
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">1</span> <span class="hljs-keyword">if</span> n == <span class="hljs-params">1</span> <span class="hljs-keyword">else</span> <span class="hljs-params">.5</span>
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:O(1)O(1)O(1)
- 空間復雜度:O(1)O(1)O(1)
## 關鍵點
- 概率分析
- 數學推導
- 動態規劃
- 遞歸 + mapper
- 棧限制大小
- 尾遞歸
大家對此有何看法,歡迎給我留言,我有時間都會一一查看回答。更多算法套路可以訪問我的 LeetCode 題解倉庫:<https://github.com/azl397985856/leetcode> 。 目前已經 37K star 啦。 大家也可以關注我的公眾號《力扣加加》帶你啃下算法這塊硬骨頭。 
- Introduction
- 第一章 - 算法專題
- 數據結構
- 基礎算法
- 二叉樹的遍歷
- 動態規劃
- 哈夫曼編碼和游程編碼
- 布隆過濾器
- 字符串問題
- 前綴樹專題
- 《貪婪策略》專題
- 《深度優先遍歷》專題
- 滑動窗口(思路 + 模板)
- 位運算
- 設計題
- 小島問題
- 最大公約數
- 并查集
- 前綴和
- 平衡二叉樹專題
- 第二章 - 91 天學算法
- 第一期講義-二分法
- 第一期講義-雙指針
- 第二期
- 第三章 - 精選題解
- 《日程安排》專題
- 《構造二叉樹》專題
- 字典序列刪除
- 百度的算法面試題 * 祖瑪游戲
- 西法的刷題秘籍】一次搞定前綴和
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?(第二彈)
- 《我是你的媽媽呀》 * 第一期
- 一文帶你看懂二叉樹的序列化
- 穿上衣服我就不認識你了?來聊聊最長上升子序列
- 你的衣服我扒了 * 《最長公共子序列》
- 一文看懂《最大子序列和問題》
- 第四章 - 高頻考題(簡單)
- 面試題 17.12. BiNode
- 0001. 兩數之和
- 0020. 有效的括號
- 0021. 合并兩個有序鏈表
- 0026. 刪除排序數組中的重復項
- 0053. 最大子序和
- 0088. 合并兩個有序數組
- 0101. 對稱二叉樹
- 0104. 二叉樹的最大深度
- 0108. 將有序數組轉換為二叉搜索樹
- 0121. 買賣股票的最佳時機
- 0122. 買賣股票的最佳時機 II
- 0125. 驗證回文串
- 0136. 只出現一次的數字
- 0155. 最小棧
- 0167. 兩數之和 II * 輸入有序數組
- 0169. 多數元素
- 0172. 階乘后的零
- 0190. 顛倒二進制位
- 0191. 位1的個數
- 0198. 打家劫舍
- 0203. 移除鏈表元素
- 0206. 反轉鏈表
- 0219. 存在重復元素 II
- 0226. 翻轉二叉樹
- 0232. 用棧實現隊列
- 0263. 丑數
- 0283. 移動零
- 0342. 4的冪
- 0349. 兩個數組的交集
- 0371. 兩整數之和
- 0437. 路徑總和 III
- 0455. 分發餅干
- 0575. 分糖果
- 0874. 模擬行走機器人
- 1260. 二維網格遷移
- 1332. 刪除回文子序列
- 第五章 - 高頻考題(中等)
- 0002. 兩數相加
- 0003. 無重復字符的最長子串
- 0005. 最長回文子串
- 0011. 盛最多水的容器
- 0015. 三數之和
- 0017. 電話號碼的字母組合
- 0019. 刪除鏈表的倒數第N個節點
- 0022. 括號生成
- 0024. 兩兩交換鏈表中的節點
- 0029. 兩數相除
- 0031. 下一個排列
- 0033. 搜索旋轉排序數組
- 0039. 組合總和
- 0040. 組合總和 II
- 0046. 全排列
- 0047. 全排列 II
- 0048. 旋轉圖像
- 0049. 字母異位詞分組
- 0050. Pow(x, n)
- 0055. 跳躍游戲
- 0056. 合并區間
- 0060. 第k個排列
- 0062. 不同路徑
- 0073. 矩陣置零
- 0075. 顏色分類
- 0078. 子集
- 0079. 單詞搜索
- 0080. 刪除排序數組中的重復項 II
- 0086. 分隔鏈表
- 0090. 子集 II
- 0091. 解碼方法
- 0092. 反轉鏈表 II
- 0094. 二叉樹的中序遍歷
- 0095. 不同的二叉搜索樹 II
- 0096. 不同的二叉搜索樹
- 0098. 驗證二叉搜索樹
- 0102. 二叉樹的層序遍歷
- 0103. 二叉樹的鋸齒形層次遍歷
- 105. 從前序與中序遍歷序列構造二叉樹
- 0113. 路徑總和 II
- 0129. 求根到葉子節點數字之和
- 0130. 被圍繞的區域
- 0131. 分割回文串
- 0139. 單詞拆分
- 0144. 二叉樹的前序遍歷
- 0150. 逆波蘭表達式求值
- 0152. 乘積最大子數組
- 0199. 二叉樹的右視圖
- 0200. 島嶼數量
- 0201. 數字范圍按位與
- 0208. 實現 Trie (前綴樹)
- 0209. 長度最小的子數組
- 0211. 添加與搜索單詞 * 數據結構設計
- 0215. 數組中的第K個最大元素
- 0221. 最大正方形
- 0229. 求眾數 II
- 0230. 二叉搜索樹中第K小的元素
- 0236. 二叉樹的最近公共祖先
- 0238. 除自身以外數組的乘積
- 0240. 搜索二維矩陣 II
- 0279. 完全平方數
- 0309. 最佳買賣股票時機含冷凍期
- 0322. 零錢兌換
- 0328. 奇偶鏈表
- 0334. 遞增的三元子序列
- 0337. 打家劫舍 III
- 0343. 整數拆分
- 0365. 水壺問題
- 0378. 有序矩陣中第K小的元素
- 0380. 常數時間插入、刪除和獲取隨機元素
- 0416. 分割等和子集
- 0445. 兩數相加 II
- 0454. 四數相加 II
- 0494. 目標和
- 0516. 最長回文子序列
- 0518. 零錢兌換 II
- 0547. 朋友圈
- 0560. 和為K的子數組
- 0609. 在系統中查找重復文件
- 0611. 有效三角形的個數
- 0718. 最長重復子數組
- 0754. 到達終點數字
- 0785. 判斷二分圖
- 0820. 單詞的壓縮編碼
- 0875. 愛吃香蕉的珂珂
- 0877. 石子游戲
- 0886. 可能的二分法
- 0900. RLE 迭代器
- 0912. 排序數組
- 0935. 騎士撥號器
- 1011. 在 D 天內送達包裹的能力
- 1014. 最佳觀光組合
- 1015. 可被 K 整除的最小整數
- 1019. 鏈表中的下一個更大節點
- 1020. 飛地的數量
- 1023. 駝峰式匹配
- 1031. 兩個非重疊子數組的最大和
- 1104. 二叉樹尋路
- 1131.絕對值表達式的最大值
- 1186. 刪除一次得到子數組最大和
- 1218. 最長定差子序列
- 1227. 飛機座位分配概率
- 1261. 在受污染的二叉樹中查找元素
- 1262. 可被三整除的最大和
- 1297. 子串的最大出現次數
- 1310. 子數組異或查詢
- 1334. 閾值距離內鄰居最少的城市
- 1371.每個元音包含偶數次的最長子字符串
- 第六章 - 高頻考題(困難)
- 0004. 尋找兩個正序數組的中位數
- 0023. 合并K個升序鏈表
- 0025. K 個一組翻轉鏈表
- 0030. 串聯所有單詞的子串
- 0032. 最長有效括號
- 0042. 接雨水
- 0052. N皇后 II
- 0084. 柱狀圖中最大的矩形
- 0085. 最大矩形
- 0124. 二叉樹中的最大路徑和
- 0128. 最長連續序列
- 0145. 二叉樹的后序遍歷
- 0212. 單詞搜索 II
- 0239. 滑動窗口最大值
- 0295. 數據流的中位數
- 0301. 刪除無效的括號
- 0312. 戳氣球
- 0335. 路徑交叉
- 0460. LFU緩存
- 0472. 連接詞
- 0488. 祖瑪游戲
- 0493. 翻轉對
- 0887. 雞蛋掉落
- 0895. 最大頻率棧
- 1032. 字符流
- 1168. 水資源分配優化
- 1449. 數位成本和為目標值的最大數字
- 后序