<ruby id="bdb3f"></ruby>

    <p id="bdb3f"><cite id="bdb3f"></cite></p>

      <p id="bdb3f"><cite id="bdb3f"><th id="bdb3f"></th></cite></p><p id="bdb3f"></p>
        <p id="bdb3f"><cite id="bdb3f"></cite></p>

          <pre id="bdb3f"></pre>
          <pre id="bdb3f"><del id="bdb3f"><thead id="bdb3f"></thead></del></pre>

          <ruby id="bdb3f"><mark id="bdb3f"></mark></ruby><ruby id="bdb3f"></ruby>
          <pre id="bdb3f"><pre id="bdb3f"><mark id="bdb3f"></mark></pre></pre><output id="bdb3f"></output><p id="bdb3f"></p><p id="bdb3f"></p>

          <pre id="bdb3f"><del id="bdb3f"><progress id="bdb3f"></progress></del></pre>

                <ruby id="bdb3f"></ruby>

                ThinkChat2.0新版上線,更智能更精彩,支持會話、畫圖、視頻、閱讀、搜索等,送10W Token,即刻開啟你的AI之旅 廣告
                # 0343. 整數拆分 ## 題目地址(343. 整數拆分) <https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/> ## 題目描述 給定一個正整數 n,將其拆分為至少兩個正整數的和,并使這些整數的乘積最大化。 返回你可以獲得的最大乘積。 示例 1: 輸入: 2 輸出: 1 解釋: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。 示例 2: 輸入: 10 輸出: 36 解釋: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。 說明: 你可以假設 n 不小于 2 且不大于 58。 ## 前置知識 - 遞歸 - 動態規劃 ## 公司 - 阿里 - 騰訊 - 百度 - 字節 ## 思路 希望通過這篇題解讓大家知道“題解區的水有多深”,讓大家知道“什么才是好的題解”。 我看了很多人的題解直接就是兩句話,然后跟上代碼: ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span> <span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">integerBreak</span><span class="hljs-params">(self, n: int)</span> -> int:</span> dp = [<span class="hljs-params">1</span>] * (n + <span class="hljs-params">1</span>) <span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">3</span>, n + <span class="hljs-params">1</span>): <span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">1</span>, i): dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j), dp[i]) <span class="hljs-keyword">return</span> dp[n] ``` ``` 這種題解說實話,只針對那些”自己會, 然后去題解區看看有沒有新的更好的解法的人“。但是大多數看題解的人是那種`自己沒思路,不會做的人`。那么這種題解就沒什么用了。 我認為`好的題解應該是新手友好的,并且能夠將解題人思路完整展現的題解`。比如看到這個題目,我首先想到了什么(對錯沒有關系),然后頭腦中經過怎么樣的篩選將算法篩選到具體某一個或某幾個。我的最終算法是如何想到的,有沒有一些先行知識。 當然我也承認自己有很多題解也是直接給的答案,這對很多人來說用處不大,甚至有可能有反作用,給他們一種”我已經會了“的假象。實際上他們根本不懂解題人本身原本的想法, 也許是寫題解的人覺得”這很自然“,也可能”只是為了秀技“。 Ok,下面來講下`我是如何解這道題的`。 ### 抽象 首先看到這道題,自然而然地先對問題進行抽象,這種抽象能力是必須的。LeetCode 實際上有很多這種穿著華麗外表的題,當你把這個衣服扒開的時候,會發現都是差不多的,甚至兩個是一樣的,這樣的例子實際上有很多。 就本題來說,就有一個劍指 Offer 的原題[《剪繩子》](https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof/)和其本質一樣,只是換了描述方式。類似的有力扣 137 和 645 等等,大家可以自己去歸納總結。 > 137 和 645 我貼個之前寫的題解 <https://leetcode-cn.com/problems/single-number/solution/zhi-chu-xian-yi-ci-de-shu-xi-lie-wei-yun-suan-by-3/> **培養自己抽象問題的能力,不管是在算法上還是工程上。** 務必記住這句話! 數學是一門非常抽象的學科,同時也很方便我們抽象問題。為了顯得我的題解比較高級,引入一些你們看不懂的數學符號也是很有必要的(開玩笑,沒有什么高級數學符號啦)。 > 實際上這道題可以用純數學角度來解,但是我相信大多數人并不想看。即使你看了,大多人的感受也是“好 nb,然而并沒有什么用”。 這道題抽象一下就是: 令: ![](https://img.kancloud.cn/86/96/8696a570ed5b8bbc3b66a0c91c2dfd6f_204x120.jpg)(圖 1) 求: ![](https://img.kancloud.cn/e7/1e/e71e1f20934c95bdd2a1c4cdbfa86393_204x114.jpg)(圖 2) ## 第一直覺 經過上面的抽象,我的第一直覺這可能是一個數學題,我回想了下數學知識,然后用數學法 AC 了。 數學就是這么簡單平凡且枯燥。 然而如果沒有數學的加持的情況下,我繼續思考怎么做。我想是否可以枚舉所有的情況(如圖 1),然后對其求最大值(如圖 2)。 問題轉化為如何枚舉所有的情況。經過了幾秒鐘的思考,我發現這是一個很明顯的遞歸問題。 具體思考過程如下: - 我們將原問題抽象為 f(n) - 那么 f(n) 等價于 max(1 \* fn(n - 1), 2 \* f(n - 2), ..., (n - 1) \* f(1))。 用數學公式表示就是: ![](https://img.kancloud.cn/58/1d/581decbef46bffe8818b404d5037cd4f_456x142.jpg)(圖 3) 截止目前,是一點點數學 + 一點點遞歸,我們繼續往下看。現在問題是不是就很簡單啦?直接翻譯圖三為代碼即可,我們來看下這個時候的代碼: ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span> <span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">integerBreak</span><span class="hljs-params">(self, n: int)</span> -> int:</span> <span class="hljs-keyword">if</span> n == <span class="hljs-params">2</span>: <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">1</span> res = <span class="hljs-params">0</span> <span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">1</span>, n): res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i))) <span class="hljs-keyword">return</span> res ``` ``` 毫無疑問,超時了。原因很簡單,就是算法中包含了太多的重復計算。如果經常看我的題解的話,這句話應該不陌生。我隨便截一個我之前講過這個知識點的圖。 ![](https://img.kancloud.cn/c9/68/c96888eb1eeb6cdd6cffd7956bc5bfd6_1429x1080.jpg)(圖 4) > 原文鏈接:<https://github.com/azl397985856/leetcode/blob/master/thinkings/dynamic-programming.md> 大家可以嘗試自己畫圖理解一下。 > 看到這里,有沒有種殊途同歸的感覺呢? ## 考慮優化 如上,我們可以考慮使用記憶化遞歸的方式來解決。只是用一個 hashtable 存儲計算過的值即可。 ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span> <span class="hljs-params"> @lru_cache()</span> <span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">integerBreak</span><span class="hljs-params">(self, n: int)</span> -> int:</span> <span class="hljs-keyword">if</span> n == <span class="hljs-params">2</span>: <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">1</span> res = <span class="hljs-params">0</span> <span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">1</span>, n): res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i))) <span class="hljs-keyword">return</span> res ``` ``` 為了簡單起見(偷懶起見),我直接用了 lru\_cache 注解, 上面的代碼是可以 AC 的。 ## 動態規劃 看到這里的同學應該發現了,這個套路是不是很熟悉?下一步就是將其改造成動態規劃了。 如圖 4,我們的思考方式是從頂向下,這符合人們思考問題的方式。將其改造成如下圖的自底向上方式就是動態規劃。 ![](https://img.kancloud.cn/99/e6/99e6a44d0aade0bd88b5e008a008c727_1586x844.jpg)(圖 5) 現在再來看下文章開頭的代碼: ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span> <span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">integerBreak</span><span class="hljs-params">(self, n: int)</span> -> int:</span> dp = [<span class="hljs-params">1</span>] * (n + <span class="hljs-params">1</span>) <span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">3</span>, n + <span class="hljs-params">1</span>): <span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">1</span>, i): dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j), dp[i]) <span class="hljs-keyword">return</span> dp[n] ``` ``` dp table 存儲的是圖 3 中 f(n)的值。一個自然的想法是令 dp\[i\] 等價于 f(i)。而由于上面分析了原問題等價于 f(n),那么很自然的原問題也等價于 dp\[n\]。 而 dp\[i\]等價于 f(i),那么上面針對 f(i) 寫的遞歸公式對 dp\[i\] 也是適用的,我們拿來試試。 ``` <pre class="calibre18">``` // 關鍵語句 res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i))) ``` ``` 翻譯過來就是: ``` <pre class="calibre18">``` dp[i] = max(dp[i], max(i * dp(n - i),i * (n - i))) ``` ``` 而這里的 n 是什么呢?我們說了`dp是自底向下的思考方式`,那么在達到 n 之前是看不到整體的`n` 的。因此這里的 n 實際上是 1,2,3,4... n。 自然地,我們用一層循環來生成上面一系列的 n 值。接著我們還要生成一系列的 i 值,注意到 n - i 是要大于 0 的,因此 i 只需要循環到 n - 1 即可。 思考到這里,我相信上面的代碼真的是`不難得出`了。 ## 關鍵點 - 數學抽象 - 遞歸分析 - 記憶化遞歸 - 動態規劃 ## 代碼 ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span> <span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">integerBreak</span><span class="hljs-params">(self, n: int)</span> -> int:</span> dp = [<span class="hljs-params">1</span>] * (n + <span class="hljs-params">1</span>) <span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">3</span>, n + <span class="hljs-params">1</span>): <span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">1</span>, i): dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j), dp[i]) <span class="hljs-keyword">return</span> dp[n] ``` ``` ## 總結 培養自己的解題思維很重要, 不要直接看別人的答案。而是要將別人的東西變成自己的, 而要做到這一點,你就要知道“他們是怎么想到的”,“想到這點是不是有什么前置知識”,“類似題目有哪些”。 最優解通常不是一下子就想到了,這需要你在不那么優的解上摔了很多次跟頭之后才能記住的。因此在你沒有掌握之前,不要直接去看最優解。 在你掌握了之后,我不僅鼓勵你去寫最優解,還鼓勵去一題多解,從多個解決思考問題。 到了那個時候, 萌新也會驚訝地呼喊“哇塞, 這題還可以這么解啊?”。 你也會低調地發出“害,解題就是這么簡單平凡且枯燥。”的聲音。 ## 擴展 正如我開頭所說,這種套路實在是太常見了。希望大家能夠識別這種問題的本質,徹底掌握這種套路。另外我對這個套路也在我的新書《LeetCode 題解》中做了介紹,本書目前剛完成草稿的編寫,如果你想要第一時間獲取到我們的題解新書,那么請發送郵件到 `azl397985856@gmail.com`,標題著明“書籍《LeetCode 題解》預定”字樣。。
                  <ruby id="bdb3f"></ruby>

                  <p id="bdb3f"><cite id="bdb3f"></cite></p>

                    <p id="bdb3f"><cite id="bdb3f"><th id="bdb3f"></th></cite></p><p id="bdb3f"></p>
                      <p id="bdb3f"><cite id="bdb3f"></cite></p>

                        <pre id="bdb3f"></pre>
                        <pre id="bdb3f"><del id="bdb3f"><thead id="bdb3f"></thead></del></pre>

                        <ruby id="bdb3f"><mark id="bdb3f"></mark></ruby><ruby id="bdb3f"></ruby>
                        <pre id="bdb3f"><pre id="bdb3f"><mark id="bdb3f"></mark></pre></pre><output id="bdb3f"></output><p id="bdb3f"></p><p id="bdb3f"></p>

                        <pre id="bdb3f"><del id="bdb3f"><progress id="bdb3f"></progress></del></pre>

                              <ruby id="bdb3f"></ruby>

                              哎呀哎呀视频在线观看