# 0343. 整數拆分
## 題目地址(343. 整數拆分)
<https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/>
## 題目描述
給定一個正整數 n,將其拆分為至少兩個正整數的和,并使這些整數的乘積最大化。 返回你可以獲得的最大乘積。
示例 1:
輸入: 2 輸出: 1 解釋: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。 示例 2:
輸入: 10 輸出: 36 解釋: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。 說明: 你可以假設 n 不小于 2 且不大于 58。
## 前置知識
- 遞歸
- 動態規劃
## 公司
- 阿里
- 騰訊
- 百度
- 字節
## 思路
希望通過這篇題解讓大家知道“題解區的水有多深”,讓大家知道“什么才是好的題解”。
我看了很多人的題解直接就是兩句話,然后跟上代碼:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">integerBreak</span><span class="hljs-params">(self, n: int)</span> -> int:</span>
dp = [<span class="hljs-params">1</span>] * (n + <span class="hljs-params">1</span>)
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">3</span>, n + <span class="hljs-params">1</span>):
<span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">1</span>, i):
dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j), dp[i])
<span class="hljs-keyword">return</span> dp[n]
```
```
這種題解說實話,只針對那些”自己會, 然后去題解區看看有沒有新的更好的解法的人“。但是大多數看題解的人是那種`自己沒思路,不會做的人`。那么這種題解就沒什么用了。
我認為`好的題解應該是新手友好的,并且能夠將解題人思路完整展現的題解`。比如看到這個題目,我首先想到了什么(對錯沒有關系),然后頭腦中經過怎么樣的篩選將算法篩選到具體某一個或某幾個。我的最終算法是如何想到的,有沒有一些先行知識。
當然我也承認自己有很多題解也是直接給的答案,這對很多人來說用處不大,甚至有可能有反作用,給他們一種”我已經會了“的假象。實際上他們根本不懂解題人本身原本的想法, 也許是寫題解的人覺得”這很自然“,也可能”只是為了秀技“。
Ok,下面來講下`我是如何解這道題的`。
### 抽象
首先看到這道題,自然而然地先對問題進行抽象,這種抽象能力是必須的。LeetCode 實際上有很多這種穿著華麗外表的題,當你把這個衣服扒開的時候,會發現都是差不多的,甚至兩個是一樣的,這樣的例子實際上有很多。 就本題來說,就有一個劍指 Offer 的原題[《剪繩子》](https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof/)和其本質一樣,只是換了描述方式。類似的有力扣 137 和 645 等等,大家可以自己去歸納總結。
> 137 和 645 我貼個之前寫的題解 <https://leetcode-cn.com/problems/single-number/solution/zhi-chu-xian-yi-ci-de-shu-xi-lie-wei-yun-suan-by-3/>
**培養自己抽象問題的能力,不管是在算法上還是工程上。** 務必記住這句話!
數學是一門非常抽象的學科,同時也很方便我們抽象問題。為了顯得我的題解比較高級,引入一些你們看不懂的數學符號也是很有必要的(開玩笑,沒有什么高級數學符號啦)。
> 實際上這道題可以用純數學角度來解,但是我相信大多數人并不想看。即使你看了,大多人的感受也是“好 nb,然而并沒有什么用”。
這道題抽象一下就是:
令: (圖 1) 求: (圖 2)
## 第一直覺
經過上面的抽象,我的第一直覺這可能是一個數學題,我回想了下數學知識,然后用數學法 AC 了。 數學就是這么簡單平凡且枯燥。
然而如果沒有數學的加持的情況下,我繼續思考怎么做。我想是否可以枚舉所有的情況(如圖 1),然后對其求最大值(如圖 2)。
問題轉化為如何枚舉所有的情況。經過了幾秒鐘的思考,我發現這是一個很明顯的遞歸問題。 具體思考過程如下:
- 我們將原問題抽象為 f(n)
- 那么 f(n) 等價于 max(1 \* fn(n - 1), 2 \* f(n - 2), ..., (n - 1) \* f(1))。
用數學公式表示就是:
(圖 3)
截止目前,是一點點數學 + 一點點遞歸,我們繼續往下看。現在問題是不是就很簡單啦?直接翻譯圖三為代碼即可,我們來看下這個時候的代碼:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">integerBreak</span><span class="hljs-params">(self, n: int)</span> -> int:</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> n == <span class="hljs-params">2</span>: <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">1</span>
res = <span class="hljs-params">0</span>
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">1</span>, n):
res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i)))
<span class="hljs-keyword">return</span> res
```
```
毫無疑問,超時了。原因很簡單,就是算法中包含了太多的重復計算。如果經常看我的題解的話,這句話應該不陌生。我隨便截一個我之前講過這個知識點的圖。
(圖 4)
> 原文鏈接:<https://github.com/azl397985856/leetcode/blob/master/thinkings/dynamic-programming.md>
大家可以嘗試自己畫圖理解一下。
> 看到這里,有沒有種殊途同歸的感覺呢?
## 考慮優化
如上,我們可以考慮使用記憶化遞歸的方式來解決。只是用一個 hashtable 存儲計算過的值即可。
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-params"> @lru_cache()</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">integerBreak</span><span class="hljs-params">(self, n: int)</span> -> int:</span>
<span class="hljs-keyword">if</span> n == <span class="hljs-params">2</span>: <span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-params">1</span>
res = <span class="hljs-params">0</span>
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">1</span>, n):
res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i)))
<span class="hljs-keyword">return</span> res
```
```
為了簡單起見(偷懶起見),我直接用了 lru\_cache 注解, 上面的代碼是可以 AC 的。
## 動態規劃
看到這里的同學應該發現了,這個套路是不是很熟悉?下一步就是將其改造成動態規劃了。
如圖 4,我們的思考方式是從頂向下,這符合人們思考問題的方式。將其改造成如下圖的自底向上方式就是動態規劃。
(圖 5)
現在再來看下文章開頭的代碼:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">integerBreak</span><span class="hljs-params">(self, n: int)</span> -> int:</span>
dp = [<span class="hljs-params">1</span>] * (n + <span class="hljs-params">1</span>)
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">3</span>, n + <span class="hljs-params">1</span>):
<span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">1</span>, i):
dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j), dp[i])
<span class="hljs-keyword">return</span> dp[n]
```
```
dp table 存儲的是圖 3 中 f(n)的值。一個自然的想法是令 dp\[i\] 等價于 f(i)。而由于上面分析了原問題等價于 f(n),那么很自然的原問題也等價于 dp\[n\]。
而 dp\[i\]等價于 f(i),那么上面針對 f(i) 寫的遞歸公式對 dp\[i\] 也是適用的,我們拿來試試。
```
<pre class="calibre18">```
// 關鍵語句
res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i)))
```
```
翻譯過來就是:
```
<pre class="calibre18">```
dp[i] = max(dp[i], max(i * dp(n - i),i * (n - i)))
```
```
而這里的 n 是什么呢?我們說了`dp是自底向下的思考方式`,那么在達到 n 之前是看不到整體的`n` 的。因此這里的 n 實際上是 1,2,3,4... n。
自然地,我們用一層循環來生成上面一系列的 n 值。接著我們還要生成一系列的 i 值,注意到 n - i 是要大于 0 的,因此 i 只需要循環到 n - 1 即可。
思考到這里,我相信上面的代碼真的是`不難得出`了。
## 關鍵點
- 數學抽象
- 遞歸分析
- 記憶化遞歸
- 動態規劃
## 代碼
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">integerBreak</span><span class="hljs-params">(self, n: int)</span> -> int:</span>
dp = [<span class="hljs-params">1</span>] * (n + <span class="hljs-params">1</span>)
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">3</span>, n + <span class="hljs-params">1</span>):
<span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">1</span>, i):
dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j), dp[i])
<span class="hljs-keyword">return</span> dp[n]
```
```
## 總結
培養自己的解題思維很重要, 不要直接看別人的答案。而是要將別人的東西變成自己的, 而要做到這一點,你就要知道“他們是怎么想到的”,“想到這點是不是有什么前置知識”,“類似題目有哪些”。
最優解通常不是一下子就想到了,這需要你在不那么優的解上摔了很多次跟頭之后才能記住的。因此在你沒有掌握之前,不要直接去看最優解。 在你掌握了之后,我不僅鼓勵你去寫最優解,還鼓勵去一題多解,從多個解決思考問題。 到了那個時候, 萌新也會驚訝地呼喊“哇塞, 這題還可以這么解啊?”。 你也會低調地發出“害,解題就是這么簡單平凡且枯燥。”的聲音。
## 擴展
正如我開頭所說,這種套路實在是太常見了。希望大家能夠識別這種問題的本質,徹底掌握這種套路。另外我對這個套路也在我的新書《LeetCode 題解》中做了介紹,本書目前剛完成草稿的編寫,如果你想要第一時間獲取到我們的題解新書,那么請發送郵件到 `azl397985856@gmail.com`,標題著明“書籍《LeetCode 題解》預定”字樣。。
- Introduction
- 第一章 - 算法專題
- 數據結構
- 基礎算法
- 二叉樹的遍歷
- 動態規劃
- 哈夫曼編碼和游程編碼
- 布隆過濾器
- 字符串問題
- 前綴樹專題
- 《貪婪策略》專題
- 《深度優先遍歷》專題
- 滑動窗口(思路 + 模板)
- 位運算
- 設計題
- 小島問題
- 最大公約數
- 并查集
- 前綴和
- 平衡二叉樹專題
- 第二章 - 91 天學算法
- 第一期講義-二分法
- 第一期講義-雙指針
- 第二期
- 第三章 - 精選題解
- 《日程安排》專題
- 《構造二叉樹》專題
- 字典序列刪除
- 百度的算法面試題 * 祖瑪游戲
- 西法的刷題秘籍】一次搞定前綴和
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?(第二彈)
- 《我是你的媽媽呀》 * 第一期
- 一文帶你看懂二叉樹的序列化
- 穿上衣服我就不認識你了?來聊聊最長上升子序列
- 你的衣服我扒了 * 《最長公共子序列》
- 一文看懂《最大子序列和問題》
- 第四章 - 高頻考題(簡單)
- 面試題 17.12. BiNode
- 0001. 兩數之和
- 0020. 有效的括號
- 0021. 合并兩個有序鏈表
- 0026. 刪除排序數組中的重復項
- 0053. 最大子序和
- 0088. 合并兩個有序數組
- 0101. 對稱二叉樹
- 0104. 二叉樹的最大深度
- 0108. 將有序數組轉換為二叉搜索樹
- 0121. 買賣股票的最佳時機
- 0122. 買賣股票的最佳時機 II
- 0125. 驗證回文串
- 0136. 只出現一次的數字
- 0155. 最小棧
- 0167. 兩數之和 II * 輸入有序數組
- 0169. 多數元素
- 0172. 階乘后的零
- 0190. 顛倒二進制位
- 0191. 位1的個數
- 0198. 打家劫舍
- 0203. 移除鏈表元素
- 0206. 反轉鏈表
- 0219. 存在重復元素 II
- 0226. 翻轉二叉樹
- 0232. 用棧實現隊列
- 0263. 丑數
- 0283. 移動零
- 0342. 4的冪
- 0349. 兩個數組的交集
- 0371. 兩整數之和
- 0437. 路徑總和 III
- 0455. 分發餅干
- 0575. 分糖果
- 0874. 模擬行走機器人
- 1260. 二維網格遷移
- 1332. 刪除回文子序列
- 第五章 - 高頻考題(中等)
- 0002. 兩數相加
- 0003. 無重復字符的最長子串
- 0005. 最長回文子串
- 0011. 盛最多水的容器
- 0015. 三數之和
- 0017. 電話號碼的字母組合
- 0019. 刪除鏈表的倒數第N個節點
- 0022. 括號生成
- 0024. 兩兩交換鏈表中的節點
- 0029. 兩數相除
- 0031. 下一個排列
- 0033. 搜索旋轉排序數組
- 0039. 組合總和
- 0040. 組合總和 II
- 0046. 全排列
- 0047. 全排列 II
- 0048. 旋轉圖像
- 0049. 字母異位詞分組
- 0050. Pow(x, n)
- 0055. 跳躍游戲
- 0056. 合并區間
- 0060. 第k個排列
- 0062. 不同路徑
- 0073. 矩陣置零
- 0075. 顏色分類
- 0078. 子集
- 0079. 單詞搜索
- 0080. 刪除排序數組中的重復項 II
- 0086. 分隔鏈表
- 0090. 子集 II
- 0091. 解碼方法
- 0092. 反轉鏈表 II
- 0094. 二叉樹的中序遍歷
- 0095. 不同的二叉搜索樹 II
- 0096. 不同的二叉搜索樹
- 0098. 驗證二叉搜索樹
- 0102. 二叉樹的層序遍歷
- 0103. 二叉樹的鋸齒形層次遍歷
- 105. 從前序與中序遍歷序列構造二叉樹
- 0113. 路徑總和 II
- 0129. 求根到葉子節點數字之和
- 0130. 被圍繞的區域
- 0131. 分割回文串
- 0139. 單詞拆分
- 0144. 二叉樹的前序遍歷
- 0150. 逆波蘭表達式求值
- 0152. 乘積最大子數組
- 0199. 二叉樹的右視圖
- 0200. 島嶼數量
- 0201. 數字范圍按位與
- 0208. 實現 Trie (前綴樹)
- 0209. 長度最小的子數組
- 0211. 添加與搜索單詞 * 數據結構設計
- 0215. 數組中的第K個最大元素
- 0221. 最大正方形
- 0229. 求眾數 II
- 0230. 二叉搜索樹中第K小的元素
- 0236. 二叉樹的最近公共祖先
- 0238. 除自身以外數組的乘積
- 0240. 搜索二維矩陣 II
- 0279. 完全平方數
- 0309. 最佳買賣股票時機含冷凍期
- 0322. 零錢兌換
- 0328. 奇偶鏈表
- 0334. 遞增的三元子序列
- 0337. 打家劫舍 III
- 0343. 整數拆分
- 0365. 水壺問題
- 0378. 有序矩陣中第K小的元素
- 0380. 常數時間插入、刪除和獲取隨機元素
- 0416. 分割等和子集
- 0445. 兩數相加 II
- 0454. 四數相加 II
- 0494. 目標和
- 0516. 最長回文子序列
- 0518. 零錢兌換 II
- 0547. 朋友圈
- 0560. 和為K的子數組
- 0609. 在系統中查找重復文件
- 0611. 有效三角形的個數
- 0718. 最長重復子數組
- 0754. 到達終點數字
- 0785. 判斷二分圖
- 0820. 單詞的壓縮編碼
- 0875. 愛吃香蕉的珂珂
- 0877. 石子游戲
- 0886. 可能的二分法
- 0900. RLE 迭代器
- 0912. 排序數組
- 0935. 騎士撥號器
- 1011. 在 D 天內送達包裹的能力
- 1014. 最佳觀光組合
- 1015. 可被 K 整除的最小整數
- 1019. 鏈表中的下一個更大節點
- 1020. 飛地的數量
- 1023. 駝峰式匹配
- 1031. 兩個非重疊子數組的最大和
- 1104. 二叉樹尋路
- 1131.絕對值表達式的最大值
- 1186. 刪除一次得到子數組最大和
- 1218. 最長定差子序列
- 1227. 飛機座位分配概率
- 1261. 在受污染的二叉樹中查找元素
- 1262. 可被三整除的最大和
- 1297. 子串的最大出現次數
- 1310. 子數組異或查詢
- 1334. 閾值距離內鄰居最少的城市
- 1371.每個元音包含偶數次的最長子字符串
- 第六章 - 高頻考題(困難)
- 0004. 尋找兩個正序數組的中位數
- 0023. 合并K個升序鏈表
- 0025. K 個一組翻轉鏈表
- 0030. 串聯所有單詞的子串
- 0032. 最長有效括號
- 0042. 接雨水
- 0052. N皇后 II
- 0084. 柱狀圖中最大的矩形
- 0085. 最大矩形
- 0124. 二叉樹中的最大路徑和
- 0128. 最長連續序列
- 0145. 二叉樹的后序遍歷
- 0212. 單詞搜索 II
- 0239. 滑動窗口最大值
- 0295. 數據流的中位數
- 0301. 刪除無效的括號
- 0312. 戳氣球
- 0335. 路徑交叉
- 0460. LFU緩存
- 0472. 連接詞
- 0488. 祖瑪游戲
- 0493. 翻轉對
- 0887. 雞蛋掉落
- 0895. 最大頻率棧
- 1032. 字符流
- 1168. 水資源分配優化
- 1449. 數位成本和為目標值的最大數字
- 后序