0343. 整數拆分 · ttttt

# 0343. 整數拆分 ## 題目地址(343. 整數拆分) <https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/> ## 題目描述給定一個正整數 n，將其拆分為至少兩個正整數的和，并使這些整數的乘積最大化。返回你可以獲得的最大乘積。示例 1: 輸入: 2 輸出: 1 解釋: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。示例 2: 輸入: 10 輸出: 36 解釋: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。說明: 你可以假設 n 不小于 2 且不大于 58。 ## 前置知識 - 遞歸 - 動態規劃 ## 公司 - 阿里 - 騰訊 - 百度 - 字節 ## 思路希望通過這篇題解讓大家知道“題解區的水有多深”，讓大家知道“什么才是好的題解”。我看了很多人的題解直接就是兩句話，然后跟上代碼: ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: def integerBreak(self, n: int) -> int: dp = [1] * (n + 1) for i in range(3, n + 1): for j in range(1, i): dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j), dp[i]) return dp[n] ``` ``` 這種題解說實話，只針對那些”自己會，然后去題解區看看有沒有新的更好的解法的人“。但是大多數看題解的人是那種`自己沒思路，不會做的人`。那么這種題解就沒什么用了。我認為`好的題解應該是新手友好的，并且能夠將解題人思路完整展現的題解`。比如看到這個題目，我首先想到了什么（對錯沒有關系），然后頭腦中經過怎么樣的篩選將算法篩選到具體某一個或某幾個。我的最終算法是如何想到的，有沒有一些先行知識。當然我也承認自己有很多題解也是直接給的答案，這對很多人來說用處不大，甚至有可能有反作用，給他們一種”我已經會了“的假象。實際上他們根本不懂解題人本身原本的想法，也許是寫題解的人覺得”這很自然“，也可能”只是為了秀技“。 Ok，下面來講下`我是如何解這道題的`。 ### 抽象首先看到這道題，自然而然地先對問題進行抽象，這種抽象能力是必須的。LeetCode 實際上有很多這種穿著華麗外表的題，當你把這個衣服扒開的時候，會發現都是差不多的，甚至兩個是一樣的，這樣的例子實際上有很多。就本題來說，就有一個劍指 Offer 的原題[《剪繩子》](https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof/)和其本質一樣，只是換了描述方式。類似的有力扣 137 和 645 等等，大家可以自己去歸納總結。 > 137 和 645 我貼個之前寫的題解 <https://leetcode-cn.com/problems/single-number/solution/zhi-chu-xian-yi-ci-de-shu-xi-lie-wei-yun-suan-by-3/> **培養自己抽象問題的能力，不管是在算法上還是工程上。** 務必記住這句話！數學是一門非常抽象的學科，同時也很方便我們抽象問題。為了顯得我的題解比較高級，引入一些你們看不懂的數學符號也是很有必要的（開玩笑，沒有什么高級數學符號啦）。 > 實際上這道題可以用純數學角度來解，但是我相信大多數人并不想看。即使你看了，大多人的感受也是“好 nb，然而并沒有什么用”。這道題抽象一下就是：令： ![](https://img.kancloud.cn/86/96/8696a570ed5b8bbc3b66a0c91c2dfd6f_204x120.jpg)（圖 1）求： ![](https://img.kancloud.cn/e7/1e/e71e1f20934c95bdd2a1c4cdbfa86393_204x114.jpg)（圖 2） ## 第一直覺經過上面的抽象，我的第一直覺這可能是一個數學題，我回想了下數學知識，然后用數學法 AC 了。數學就是這么簡單平凡且枯燥。然而如果沒有數學的加持的情況下，我繼續思考怎么做。我想是否可以枚舉所有的情況（如圖 1），然后對其求最大值（如圖 2）。問題轉化為如何枚舉所有的情況。經過了幾秒鐘的思考，我發現這是一個很明顯的遞歸問題。具體思考過程如下： - 我們將原問題抽象為 f(n) - 那么 f(n) 等價于 max(1 \* fn(n - 1), 2 \* f(n - 2), ..., (n - 1) \* f(1))。用數學公式表示就是： ![](https://img.kancloud.cn/58/1d/581decbef46bffe8818b404d5037cd4f_456x142.jpg)（圖 3）截止目前，是一點點數學 + 一點點遞歸，我們繼續往下看。現在問題是不是就很簡單啦？直接翻譯圖三為代碼即可，我們來看下這個時候的代碼： ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: def integerBreak(self, n: int) -> int: if n == 2: return 1 res = 0 for i in range(1, n): res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i))) return res ``` ``` 毫無疑問，超時了。原因很簡單，就是算法中包含了太多的重復計算。如果經常看我的題解的話，這句話應該不陌生。我隨便截一個我之前講過這個知識點的圖。 ![](https://img.kancloud.cn/c9/68/c96888eb1eeb6cdd6cffd7956bc5bfd6_1429x1080.jpg)(圖 4) > 原文鏈接：<https://github.com/azl397985856/leetcode/blob/master/thinkings/dynamic-programming.md> 大家可以嘗試自己畫圖理解一下。 > 看到這里，有沒有種殊途同歸的感覺呢？ ## 考慮優化如上，我們可以考慮使用記憶化遞歸的方式來解決。只是用一個 hashtable 存儲計算過的值即可。 ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: @lru_cache() def integerBreak(self, n: int) -> int: if n == 2: return 1 res = 0 for i in range(1, n): res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i))) return res ``` ``` 為了簡單起見（偷懶起見），我直接用了 lru\_cache 注解，上面的代碼是可以 AC 的。 ## 動態規劃看到這里的同學應該發現了，這個套路是不是很熟悉？下一步就是將其改造成動態規劃了。如圖 4，我們的思考方式是從頂向下，這符合人們思考問題的方式。將其改造成如下圖的自底向上方式就是動態規劃。 ![](https://img.kancloud.cn/99/e6/99e6a44d0aade0bd88b5e008a008c727_1586x844.jpg)(圖 5) 現在再來看下文章開頭的代碼： ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: def integerBreak(self, n: int) -> int: dp = [1] * (n + 1) for i in range(3, n + 1): for j in range(1, i): dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j), dp[i]) return dp[n] ``` ``` dp table 存儲的是圖 3 中 f(n)的值。一個自然的想法是令 dp\[i\] 等價于 f(i)。而由于上面分析了原問題等價于 f(n)，那么很自然的原問題也等價于 dp\[n\]。而 dp\[i\]等價于 f(i)，那么上面針對 f(i) 寫的遞歸公式對 dp\[i\] 也是適用的，我們拿來試試。 ``` <pre class="calibre18">``` // 關鍵語句 res = max(res, max(i * self.integerBreak(n - i),i * (n - i))) ``` ``` 翻譯過來就是： ``` <pre class="calibre18">``` dp[i] = max(dp[i], max(i * dp(n - i),i * (n - i))) ``` ``` 而這里的 n 是什么呢？我們說了`dp是自底向下的思考方式`，那么在達到 n 之前是看不到整體的`n` 的。因此這里的 n 實際上是 1,2,3,4... n。自然地，我們用一層循環來生成上面一系列的 n 值。接著我們還要生成一系列的 i 值，注意到 n - i 是要大于 0 的，因此 i 只需要循環到 n - 1 即可。思考到這里，我相信上面的代碼真的是`不難得出`了。 ## 關鍵點 - 數學抽象 - 遞歸分析 - 記憶化遞歸 - 動態規劃 ## 代碼 ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: def integerBreak(self, n: int) -> int: dp = [1] * (n + 1) for i in range(3, n + 1): for j in range(1, i): dp[i] = max(j * dp[i - j], j * (i - j), dp[i]) return dp[n] ``` ``` ## 總結培養自己的解題思維很重要，不要直接看別人的答案。而是要將別人的東西變成自己的，而要做到這一點，你就要知道“他們是怎么想到的”，“想到這點是不是有什么前置知識”，“類似題目有哪些”。最優解通常不是一下子就想到了，這需要你在不那么優的解上摔了很多次跟頭之后才能記住的。因此在你沒有掌握之前，不要直接去看最優解。在你掌握了之后，我不僅鼓勵你去寫最優解，還鼓勵去一題多解，從多個解決思考問題。到了那個時候，萌新也會驚訝地呼喊“哇塞，這題還可以這么解啊？”。你也會低調地發出“害，解題就是這么簡單平凡且枯燥。”的聲音。 ## 擴展正如我開頭所說，這種套路實在是太常見了。希望大家能夠識別這種問題的本質，徹底掌握這種套路。另外我對這個套路也在我的新書《LeetCode 題解》中做了介紹，本書目前剛完成草稿的編寫，如果你想要第一時間獲取到我們的題解新書，那么請發送郵件到 `azl397985856@gmail.com`，標題著明“書籍《LeetCode 題解》預定”字樣。。