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                # 1449. 數位成本和為目標值的最大數字 # 題目地址(1449. 數位成本和為目標值的最大數字) <https://leetcode-cn.com/problems/form-largest-integer-with-digits-that-add-up-to-target/> ## 題目描述 ``` <pre class="calibre18">``` 給你一個整數數組 cost 和一個整數 target 。請你返回滿足如下規則可以得到的 最大 整數: 給當前結果添加一個數位(i + 1)的成本為 cost[i] (cost 數組下標從 0 開始)。 總成本必須恰好等于 target 。 添加的數位中沒有數字 0 。 由于答案可能會很大,請你以字符串形式返回。 如果按照上述要求無法得到任何整數,請你返回 "0" 。 示例 1: 輸入:cost = [4,3,2,5,6,7,2,5,5], target = 9 輸出:"7772" 解釋:添加數位 '7' 的成本為 2 ,添加數位 '2' 的成本為 3 。所以 "7772" 的代價為 2*3+ 3*1 = 9 。 "997" 也是滿足要求的數字,但 "7772" 是較大的數字。 數字 成本 1 -> 4 2 -> 3 3 -> 2 4 -> 5 5 -> 6 6 -> 7 7 -> 2 8 -> 5 9 -> 5 示例 2: 輸入:cost = [7,6,5,5,5,6,8,7,8], target = 12 輸出:"85" 解釋:添加數位 '8' 的成本是 7 ,添加數位 '5' 的成本是 5 。"85" 的成本為 7 + 5 = 12 。 示例 3: 輸入:cost = [2,4,6,2,4,6,4,4,4], target = 5 輸出:"0" 解釋:總成本是 target 的條件下,無法生成任何整數。 示例 4: 輸入:cost = [6,10,15,40,40,40,40,40,40], target = 47 輸出:"32211" 提示: cost.length == 9 1 <= cost[i] <= 5000 1 <= target <= 5000 ``` ``` ## 前置知識 - 數組 - 動態規劃 - 背包問題 ## 公司 - 暫無 ## 思路 由于數組可以重復選擇,因此這是一個完全背包問題。 ### 01 背包 對于 01 背包問題,我們的套路是: ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">0</span> to N: <span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">1</span> to V + <span class="hljs-params">1</span>: dp[j] = max(dp[j], dp[j - cost[i]) ``` ``` 而一般我們為了處理邊界問題,我們一般會這么寫代碼: ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">1</span> to N + <span class="hljs-params">1</span>: <span class="hljs-title"># 這里是倒序的,原因在于這里是01背包。</span> <span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> V to <span class="hljs-params">0</span>: dp[j] = max(dp[j], dp[j - cost[i - <span class="hljs-params">1</span>]) ``` ``` 其中 dp\[j\] 表示只能選擇前 i 個物品,背包容量為 j 的情況下,能夠獲得的最大價值。 > dp\[j\] 不是沒 i 么? 其實我這里 i 指的是 dp\[j\]當前所處的循環中的 i 值 ### 完全背包問題 回到問題,我們這是完全背包問題: ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">1</span> to N + <span class="hljs-params">1</span>: <span class="hljs-title"># 這里不是倒序,原因是我們這里是完全背包問題</span> <span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">1</span> to V + <span class="hljs-params">1</span>: dp[j] = max(dp[j], dp[j - cost[i - <span class="hljs-params">1</span>]) ``` ``` ### 為什么 01 背包需要倒序,而完全背包則不可以 實際上,這是一個騷操作,我來詳細給你講一下。 其實要回答這個問題,我要先將 01 背包和完全背包退化二維的情況。 對于 01 背包: ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">1</span> to N + <span class="hljs-params">1</span>: <span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> V to <span class="hljs-params">0</span>: dp[i][j] = max(dp[i - <span class="hljs-params">1</span>][j], dp[i - <span class="hljs-params">1</span>][j - cost[i - <span class="hljs-params">1</span>]) ``` ``` 注意等號左邊是 i,右邊是 i - 1,這很好理解,因為 i 只能取一次嘛。 那么如果我們不降序遍歷會怎么樣呢? ![](https://img.kancloud.cn/81/f8/81f8664f87d2eeed79f4e2658a480784_1114x594.jpg) 如圖橙色部分表示已經遍歷的部分,而讓我們去用\[j - cost\[i - 1\]\] 往前面回溯的時候,實際上回溯的是 dp\[i\]j - cost\[i - 1\]\],而不是 dp\[i - 1\]j - cost\[i - 1\]\]。 如果是降序就可以了,如圖: ![](https://img.kancloud.cn/82/a6/82a62cef214772a2076ae5f0c1240f09_1088x552.jpg) 這個明白的話,我們繼續思考為什么完全背包就要不降序了呢? 我們還是像上面一樣寫出二維的代碼: ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">1</span> to N + <span class="hljs-params">1</span>: <span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">1</span> to V + <span class="hljs-params">1</span>: dp[i][j] = max(dp[i - <span class="hljs-params">1</span>][j], dp[i][j - cost[i - <span class="hljs-params">1</span>]) ``` ``` 由于 i 可以取無數次,那么正序遍歷正好可以滿足,如上圖。 ### 恰好裝滿 VS 可以不裝滿 題目有兩種可能,一種是要求背包恰好裝滿,一種是可以不裝滿(只要不超過容量就行)。而本題是要求`恰好裝滿`的。而這兩種情況僅僅影響我們`dp數組初始化`。 - 恰好裝滿。只需要初始化 dp\[0\] 為 0, 其他初始化為負數即可。 - 可以不裝滿。 只需要全部初始化為 0,即可, 原因很簡單,我多次強調過 dp 數組本質上是記錄了一個個自問題。 dp\[0\]是一個子問題,dp\[1\]是一個子問題。。。 有了上面的知識就不難理解了。 初始化的時候,我們還沒有進行任何選擇,那么也就是說 dp\[0\] = 0,因為我們可以通過什么都不選達到最大值 0。而 dp\[1\],dp\[2\]...則在當前什么都不選的情況下無法達成,也就是無解,因為為了區分,我們可以用負數來表示,當然你可以用任何可以區分的東西表示,比如 None。 ### 回到本題 而這道題和普通的完全背包不一樣,這個是選擇一個組成的最大數。由小學數學知識`一個數字的全排列中,按照數字降序排列是最大的`,我這里用了一個騷操作,那就是 cost 從后往前遍歷,因為后面表示的數字大。 ## 代碼 ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span> <span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">largestNumber</span><span class="hljs-params">(self, cost: List[int], target: int)</span> -> str:</span> dp = [<span class="hljs-params">0</span>] + [float(<span class="hljs-string">'-inf'</span>)] * target <span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">9</span>, <span class="hljs-params">0</span>, <span class="hljs-params">-1</span>): <span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">1</span>, target+<span class="hljs-params">1</span>): <span class="hljs-keyword">if</span> j >= cost[i - <span class="hljs-params">1</span>]: dp[j] = max(dp[j], (dp[j-cost[i - <span class="hljs-params">1</span>]] * <span class="hljs-params">10</span>) + i) <span class="hljs-keyword">return</span> str(dp[target]) <span class="hljs-keyword">if</span> dp[target] > <span class="hljs-params">0</span> <span class="hljs-keyword">else</span> <span class="hljs-string">'0'</span> ``` ``` **復雜度分析** - 時間復雜度:O(target))O(target))O(target)) - 空間復雜度:O(target)O(target)O(target) ## 擴展 最后貼幾個我寫過的背包問題,讓大家看看歷史是多么的相似。 ![](https://img.kancloud.cn/c2/f5/c2f52308a45a8b8e961bbdef8359c757_1586x830.jpg)([322. 硬幣找零(完全背包問題)](https://github.com/azl397985856/leetcode/blob/master/problems/322.coin-change.md)) > 這里內外循環和本題正好是反的,我只是為了"秀技"(好玩),實際上在這里對答案并不影響。 ![](https://img.kancloud.cn/9b/eb/9beb32f6a1edd77bf5776b2cecc0404d_1586x508.jpg)([518. 零錢兌換 II](https://github.com/azl397985856/leetcode/blob/master/problems/518.coin-change-2.md)) > 這里內外循環和本題正好是反的,但是這里必須這么做,否則結果是不對的,具體可以點進去鏈接看我那個題解 所以這兩層循環的位置起的實際作用是什么? 代表的含義有什么不同? 本質上: ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">1</span> to N + <span class="hljs-params">1</span>: <span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> V to <span class="hljs-params">0</span>: ... ``` ``` 這種情況選擇物品 1 和物品 3(隨便舉的例子),是一種方式。選擇物品 3 個物品 1(注意是有順序的)是同一種方式。 **原因在于你是固定物品,去掃描容量**。 而: ``` <pre class="calibre18">``` <span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> V to <span class="hljs-params">0</span>: <span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">1</span> to N + <span class="hljs-params">1</span>: ... ``` ``` 這種情況選擇物品 1 和物品 3(隨便舉的例子),是一種方式。選擇物品 3 個物品 1(注意是有順序的)也是一種方式。**原因在于你是固定容量,去掃描物品**。 **因此總的來說,如果你認為\[1,3\]和\[3,1\]是一種,那么就用方法 1 的遍歷,否則用方法 2。** 大家對此有何看法,歡迎給我留言,我有時間都會一一查看回答。更多算法套路可以訪問我的 LeetCode 題解倉庫:<https://github.com/azl397985856/leetcode> 。 目前已經 37K star 啦。 大家也可以關注我的公眾號《力扣加加》帶你啃下算法這塊硬骨頭。 ![](https://img.kancloud.cn/cf/0f/cf0fc0dd21e94b443dd8bca6cc15b34b_900x500.jpg) ![](https://img.kancloud.cn/7b/b1/7bb115b82aa493e2d2a88f71d5201779_1190x680.jpg)
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                    <p id="bdb3f"><cite id="bdb3f"><th id="bdb3f"></th></cite></p><p id="bdb3f"></p>
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