1449. 數位成本和為目標值的最大數字 · ttttt

# 1449. 數位成本和為目標值的最大數字 # 題目地址（1449. 數位成本和為目標值的最大數字） <https://leetcode-cn.com/problems/form-largest-integer-with-digits-that-add-up-to-target/> ## 題目描述 ``` <pre class="calibre18">``` 給你一個整數數組 cost 和一個整數 target 。請你返回滿足如下規則可以得到的最大整數：給當前結果添加一個數位（i + 1）的成本為 cost[i] （cost 數組下標從 0 開始）。總成本必須恰好等于 target 。添加的數位中沒有數字 0 。由于答案可能會很大，請你以字符串形式返回。如果按照上述要求無法得到任何整數，請你返回 "0" 。示例 1：輸入：cost = [4,3,2,5,6,7,2,5,5], target = 9 輸出："7772" 解釋：添加數位 '7' 的成本為 2 ，添加數位 '2' 的成本為 3 。所以 "7772" 的代價為 2*3+ 3*1 = 9 。 "997" 也是滿足要求的數字，但 "7772" 是較大的數字。數字成本 1 -> 4 2 -> 3 3 -> 2 4 -> 5 5 -> 6 6 -> 7 7 -> 2 8 -> 5 9 -> 5 示例 2：輸入：cost = [7,6,5,5,5,6,8,7,8], target = 12 輸出："85" 解釋：添加數位 '8' 的成本是 7 ，添加數位 '5' 的成本是 5 。"85" 的成本為 7 + 5 = 12 。示例 3：輸入：cost = [2,4,6,2,4,6,4,4,4], target = 5 輸出："0" 解釋：總成本是 target 的條件下，無法生成任何整數。示例 4：輸入：cost = [6,10,15,40,40,40,40,40,40], target = 47 輸出："32211" 提示： cost.length == 9 1 <= cost[i] <= 5000 1 <= target <= 5000 ``` ``` ## 前置知識 - 數組 - 動態規劃 - 背包問題 ## 公司 - 暫無 ## 思路由于數組可以重復選擇，因此這是一個完全背包問題。 ### 01 背包對于 01 背包問題，我們的套路是： ``` <pre class="calibre18">``` for i in 0 to N: for j in 1 to V + 1: dp[j] = max(dp[j], dp[j - cost[i]) ``` ``` 而一般我們為了處理邊界問題，我們一般會這么寫代碼： ``` <pre class="calibre18">``` for i in 1 to N + 1: # 這里是倒序的，原因在于這里是01背包。 for j in V to 0: dp[j] = max(dp[j], dp[j - cost[i - 1]) ``` ``` 其中 dp\[j\] 表示只能選擇前 i 個物品，背包容量為 j 的情況下，能夠獲得的最大價值。 > dp\[j\] 不是沒 i 么？其實我這里 i 指的是 dp\[j\]當前所處的循環中的 i 值 ### 完全背包問題回到問題，我們這是完全背包問題: ``` <pre class="calibre18">``` for i in 1 to N + 1: # 這里不是倒序，原因是我們這里是完全背包問題 for j in 1 to V + 1: dp[j] = max(dp[j], dp[j - cost[i - 1]) ``` ``` ### 為什么 01 背包需要倒序，而完全背包則不可以實際上，這是一個騷操作，我來詳細給你講一下。其實要回答這個問題，我要先將 01 背包和完全背包退化二維的情況。對于 01 背包： ``` <pre class="calibre18">``` for i in 1 to N + 1: for j in V to 0: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - cost[i - 1]) ``` ``` 注意等號左邊是 i，右邊是 i - 1，這很好理解，因為 i 只能取一次嘛。那么如果我們不降序遍歷會怎么樣呢？ ![](https://img.kancloud.cn/81/f8/81f8664f87d2eeed79f4e2658a480784_1114x594.jpg) 如圖橙色部分表示已經遍歷的部分，而讓我們去用\[j - cost\[i - 1\]\] 往前面回溯的時候，實際上回溯的是 dp\[i\]j - cost\[i - 1\]\]，而不是 dp\[i - 1\]j - cost\[i - 1\]\]。如果是降序就可以了，如圖： ![](https://img.kancloud.cn/82/a6/82a62cef214772a2076ae5f0c1240f09_1088x552.jpg) 這個明白的話，我們繼續思考為什么完全背包就要不降序了呢？我們還是像上面一樣寫出二維的代碼： ``` <pre class="calibre18">``` for i in 1 to N + 1: for j in 1 to V + 1: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - cost[i - 1]) ``` ``` 由于 i 可以取無數次，那么正序遍歷正好可以滿足，如上圖。 ### 恰好裝滿 VS 可以不裝滿題目有兩種可能，一種是要求背包恰好裝滿，一種是可以不裝滿（只要不超過容量就行）。而本題是要求`恰好裝滿`的。而這兩種情況僅僅影響我們`dp數組初始化`。 - 恰好裝滿。只需要初始化 dp\[0\] 為 0，其他初始化為負數即可。 - 可以不裝滿。只需要全部初始化為 0，即可，原因很簡單，我多次強調過 dp 數組本質上是記錄了一個個自問題。 dp\[0\]是一個子問題，dp\[1\]是一個子問題。。。有了上面的知識就不難理解了。初始化的時候，我們還沒有進行任何選擇，那么也就是說 dp\[0\] = 0，因為我們可以通過什么都不選達到最大值 0。而 dp\[1\],dp\[2\]...則在當前什么都不選的情況下無法達成，也就是無解，因為為了區分，我們可以用負數來表示，當然你可以用任何可以區分的東西表示，比如 None。 ### 回到本題而這道題和普通的完全背包不一樣，這個是選擇一個組成的最大數。由小學數學知識`一個數字的全排列中，按照數字降序排列是最大的`，我這里用了一個騷操作，那就是 cost 從后往前遍歷，因為后面表示的數字大。 ## 代碼 ``` <pre class="calibre18">``` class Solution: def largestNumber(self, cost: List[int], target: int) -> str: dp = [0] + [float('-inf')] * target for i in range(9, 0, -1): for j in range(1, target+1): if j >= cost[i - 1]: dp[j] = max(dp[j], (dp[j-cost[i - 1]] * 10) + i) return str(dp[target]) if dp[target] > 0 else '0' ``` ``` **復雜度分析** - 時間復雜度：O(target))O(target))O(target)) - 空間復雜度：O(target)O(target)O(target) ## 擴展最后貼幾個我寫過的背包問題，讓大家看看歷史是多么的相似。 ![](https://img.kancloud.cn/c2/f5/c2f52308a45a8b8e961bbdef8359c757_1586x830.jpg)（[322. 硬幣找零(完全背包問題)](https://github.com/azl397985856/leetcode/blob/master/problems/322.coin-change.md)） > 這里內外循環和本題正好是反的，我只是為了"秀技"(好玩)，實際上在這里對答案并不影響。 ![](https://img.kancloud.cn/9b/eb/9beb32f6a1edd77bf5776b2cecc0404d_1586x508.jpg)（[518. 零錢兌換 II](https://github.com/azl397985856/leetcode/blob/master/problems/518.coin-change-2.md)） > 這里內外循環和本題正好是反的，但是這里必須這么做，否則結果是不對的，具體可以點進去鏈接看我那個題解所以這兩層循環的位置起的實際作用是什么？代表的含義有什么不同？本質上: ``` <pre class="calibre18">``` for i in 1 to N + 1: for j in V to 0: ... ``` ``` 這種情況選擇物品 1 和物品 3（隨便舉的例子），是一種方式。選擇物品 3 個物品 1（注意是有順序的）是同一種方式。 **原因在于你是固定物品，去掃描容量**。而： ``` <pre class="calibre18">``` for j in V to 0: for i in 1 to N + 1: ... ``` ``` 這種情況選擇物品 1 和物品 3（隨便舉的例子），是一種方式。選擇物品 3 個物品 1（注意是有順序的）也是一種方式。**原因在于你是固定容量，去掃描物品**。 **因此總的來說，如果你認為\[1,3\]和\[3,1\]是一種，那么就用方法 1 的遍歷，否則用方法 2。** 大家對此有何看法，歡迎給我留言，我有時間都會一一查看回答。更多算法套路可以訪問我的 LeetCode 題解倉庫：<https://github.com/azl397985856/leetcode> 。目前已經 37K star 啦。大家也可以關注我的公眾號《力扣加加》帶你啃下算法這塊硬骨頭。 ![](https://img.kancloud.cn/cf/0f/cf0fc0dd21e94b443dd8bca6cc15b34b_900x500.jpg) ![](https://img.kancloud.cn/7b/b1/7bb115b82aa493e2d2a88f71d5201779_1190x680.jpg)