# 1449. 數位成本和為目標值的最大數字
# 題目地址(1449. 數位成本和為目標值的最大數字)
<https://leetcode-cn.com/problems/form-largest-integer-with-digits-that-add-up-to-target/>
## 題目描述
```
<pre class="calibre18">```
給你一個整數數組 cost 和一個整數 target 。請你返回滿足如下規則可以得到的 最大 整數:
給當前結果添加一個數位(i + 1)的成本為 cost[i] (cost 數組下標從 0 開始)。
總成本必須恰好等于 target 。
添加的數位中沒有數字 0 。
由于答案可能會很大,請你以字符串形式返回。
如果按照上述要求無法得到任何整數,請你返回 "0" 。
示例 1:
輸入:cost = [4,3,2,5,6,7,2,5,5], target = 9
輸出:"7772"
解釋:添加數位 '7' 的成本為 2 ,添加數位 '2' 的成本為 3 。所以 "7772" 的代價為 2*3+ 3*1 = 9 。 "997" 也是滿足要求的數字,但 "7772" 是較大的數字。
數字 成本
1 -> 4
2 -> 3
3 -> 2
4 -> 5
5 -> 6
6 -> 7
7 -> 2
8 -> 5
9 -> 5
示例 2:
輸入:cost = [7,6,5,5,5,6,8,7,8], target = 12
輸出:"85"
解釋:添加數位 '8' 的成本是 7 ,添加數位 '5' 的成本是 5 。"85" 的成本為 7 + 5 = 12 。
示例 3:
輸入:cost = [2,4,6,2,4,6,4,4,4], target = 5
輸出:"0"
解釋:總成本是 target 的條件下,無法生成任何整數。
示例 4:
輸入:cost = [6,10,15,40,40,40,40,40,40], target = 47
輸出:"32211"
提示:
cost.length == 9
1 <= cost[i] <= 5000
1 <= target <= 5000
```
```
## 前置知識
- 數組
- 動態規劃
- 背包問題
## 公司
- 暫無
## 思路
由于數組可以重復選擇,因此這是一個完全背包問題。
### 01 背包
對于 01 背包問題,我們的套路是:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">0</span> to N:
<span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">1</span> to V + <span class="hljs-params">1</span>:
dp[j] = max(dp[j], dp[j - cost[i])
```
```
而一般我們為了處理邊界問題,我們一般會這么寫代碼:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">1</span> to N + <span class="hljs-params">1</span>:
<span class="hljs-title"># 這里是倒序的,原因在于這里是01背包。</span>
<span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> V to <span class="hljs-params">0</span>:
dp[j] = max(dp[j], dp[j - cost[i - <span class="hljs-params">1</span>])
```
```
其中 dp\[j\] 表示只能選擇前 i 個物品,背包容量為 j 的情況下,能夠獲得的最大價值。
> dp\[j\] 不是沒 i 么? 其實我這里 i 指的是 dp\[j\]當前所處的循環中的 i 值
### 完全背包問題
回到問題,我們這是完全背包問題:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">1</span> to N + <span class="hljs-params">1</span>:
<span class="hljs-title"># 這里不是倒序,原因是我們這里是完全背包問題</span>
<span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">1</span> to V + <span class="hljs-params">1</span>:
dp[j] = max(dp[j], dp[j - cost[i - <span class="hljs-params">1</span>])
```
```
### 為什么 01 背包需要倒序,而完全背包則不可以
實際上,這是一個騷操作,我來詳細給你講一下。
其實要回答這個問題,我要先將 01 背包和完全背包退化二維的情況。
對于 01 背包:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">1</span> to N + <span class="hljs-params">1</span>:
<span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> V to <span class="hljs-params">0</span>:
dp[i][j] = max(dp[i - <span class="hljs-params">1</span>][j], dp[i - <span class="hljs-params">1</span>][j - cost[i - <span class="hljs-params">1</span>])
```
```
注意等號左邊是 i,右邊是 i - 1,這很好理解,因為 i 只能取一次嘛。
那么如果我們不降序遍歷會怎么樣呢?

如圖橙色部分表示已經遍歷的部分,而讓我們去用\[j - cost\[i - 1\]\] 往前面回溯的時候,實際上回溯的是 dp\[i\]j - cost\[i - 1\]\],而不是 dp\[i - 1\]j - cost\[i - 1\]\]。
如果是降序就可以了,如圖:

這個明白的話,我們繼續思考為什么完全背包就要不降序了呢?
我們還是像上面一樣寫出二維的代碼:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">1</span> to N + <span class="hljs-params">1</span>:
<span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">1</span> to V + <span class="hljs-params">1</span>:
dp[i][j] = max(dp[i - <span class="hljs-params">1</span>][j], dp[i][j - cost[i - <span class="hljs-params">1</span>])
```
```
由于 i 可以取無數次,那么正序遍歷正好可以滿足,如上圖。
### 恰好裝滿 VS 可以不裝滿
題目有兩種可能,一種是要求背包恰好裝滿,一種是可以不裝滿(只要不超過容量就行)。而本題是要求`恰好裝滿`的。而這兩種情況僅僅影響我們`dp數組初始化`。
- 恰好裝滿。只需要初始化 dp\[0\] 為 0, 其他初始化為負數即可。
- 可以不裝滿。 只需要全部初始化為 0,即可,
原因很簡單,我多次強調過 dp 數組本質上是記錄了一個個自問題。 dp\[0\]是一個子問題,dp\[1\]是一個子問題。。。
有了上面的知識就不難理解了。 初始化的時候,我們還沒有進行任何選擇,那么也就是說 dp\[0\] = 0,因為我們可以通過什么都不選達到最大值 0。而 dp\[1\],dp\[2\]...則在當前什么都不選的情況下無法達成,也就是無解,因為為了區分,我們可以用負數來表示,當然你可以用任何可以區分的東西表示,比如 None。
### 回到本題
而這道題和普通的完全背包不一樣,這個是選擇一個組成的最大數。由小學數學知識`一個數字的全排列中,按照數字降序排列是最大的`,我這里用了一個騷操作,那就是 cost 從后往前遍歷,因為后面表示的數字大。
## 代碼
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-class"><span class="hljs-keyword">class</span> <span class="hljs-title">Solution</span>:</span>
<span class="hljs-function"><span class="hljs-keyword">def</span> <span class="hljs-title">largestNumber</span><span class="hljs-params">(self, cost: List[int], target: int)</span> -> str:</span>
dp = [<span class="hljs-params">0</span>] + [float(<span class="hljs-string">'-inf'</span>)] * target
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">9</span>, <span class="hljs-params">0</span>, <span class="hljs-params">-1</span>):
<span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> range(<span class="hljs-params">1</span>, target+<span class="hljs-params">1</span>):
<span class="hljs-keyword">if</span> j >= cost[i - <span class="hljs-params">1</span>]:
dp[j] = max(dp[j], (dp[j-cost[i - <span class="hljs-params">1</span>]] * <span class="hljs-params">10</span>) + i)
<span class="hljs-keyword">return</span> str(dp[target]) <span class="hljs-keyword">if</span> dp[target] > <span class="hljs-params">0</span> <span class="hljs-keyword">else</span> <span class="hljs-string">'0'</span>
```
```
**復雜度分析**
- 時間復雜度:O(target))O(target))O(target))
- 空間復雜度:O(target)O(target)O(target)
## 擴展
最后貼幾個我寫過的背包問題,讓大家看看歷史是多么的相似。
([322. 硬幣找零(完全背包問題)](https://github.com/azl397985856/leetcode/blob/master/problems/322.coin-change.md))
> 這里內外循環和本題正好是反的,我只是為了"秀技"(好玩),實際上在這里對答案并不影響。
([518. 零錢兌換 II](https://github.com/azl397985856/leetcode/blob/master/problems/518.coin-change-2.md))
> 這里內外循環和本題正好是反的,但是這里必須這么做,否則結果是不對的,具體可以點進去鏈接看我那個題解
所以這兩層循環的位置起的實際作用是什么? 代表的含義有什么不同?
本質上:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">1</span> to N + <span class="hljs-params">1</span>:
<span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> V to <span class="hljs-params">0</span>:
...
```
```
這種情況選擇物品 1 和物品 3(隨便舉的例子),是一種方式。選擇物品 3 個物品 1(注意是有順序的)是同一種方式。 **原因在于你是固定物品,去掃描容量**。
而:
```
<pre class="calibre18">```
<span class="hljs-keyword">for</span> j <span class="hljs-keyword">in</span> V to <span class="hljs-params">0</span>:
<span class="hljs-keyword">for</span> i <span class="hljs-keyword">in</span> <span class="hljs-params">1</span> to N + <span class="hljs-params">1</span>:
...
```
```
這種情況選擇物品 1 和物品 3(隨便舉的例子),是一種方式。選擇物品 3 個物品 1(注意是有順序的)也是一種方式。**原因在于你是固定容量,去掃描物品**。
**因此總的來說,如果你認為\[1,3\]和\[3,1\]是一種,那么就用方法 1 的遍歷,否則用方法 2。**
大家對此有何看法,歡迎給我留言,我有時間都會一一查看回答。更多算法套路可以訪問我的 LeetCode 題解倉庫:<https://github.com/azl397985856/leetcode> 。 目前已經 37K star 啦。 大家也可以關注我的公眾號《力扣加加》帶你啃下算法這塊硬骨頭。 

- Introduction
- 第一章 - 算法專題
- 數據結構
- 基礎算法
- 二叉樹的遍歷
- 動態規劃
- 哈夫曼編碼和游程編碼
- 布隆過濾器
- 字符串問題
- 前綴樹專題
- 《貪婪策略》專題
- 《深度優先遍歷》專題
- 滑動窗口(思路 + 模板)
- 位運算
- 設計題
- 小島問題
- 最大公約數
- 并查集
- 前綴和
- 平衡二叉樹專題
- 第二章 - 91 天學算法
- 第一期講義-二分法
- 第一期講義-雙指針
- 第二期
- 第三章 - 精選題解
- 《日程安排》專題
- 《構造二叉樹》專題
- 字典序列刪除
- 百度的算法面試題 * 祖瑪游戲
- 西法的刷題秘籍】一次搞定前綴和
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?
- 字節跳動的算法面試題是什么難度?(第二彈)
- 《我是你的媽媽呀》 * 第一期
- 一文帶你看懂二叉樹的序列化
- 穿上衣服我就不認識你了?來聊聊最長上升子序列
- 你的衣服我扒了 * 《最長公共子序列》
- 一文看懂《最大子序列和問題》
- 第四章 - 高頻考題(簡單)
- 面試題 17.12. BiNode
- 0001. 兩數之和
- 0020. 有效的括號
- 0021. 合并兩個有序鏈表
- 0026. 刪除排序數組中的重復項
- 0053. 最大子序和
- 0088. 合并兩個有序數組
- 0101. 對稱二叉樹
- 0104. 二叉樹的最大深度
- 0108. 將有序數組轉換為二叉搜索樹
- 0121. 買賣股票的最佳時機
- 0122. 買賣股票的最佳時機 II
- 0125. 驗證回文串
- 0136. 只出現一次的數字
- 0155. 最小棧
- 0167. 兩數之和 II * 輸入有序數組
- 0169. 多數元素
- 0172. 階乘后的零
- 0190. 顛倒二進制位
- 0191. 位1的個數
- 0198. 打家劫舍
- 0203. 移除鏈表元素
- 0206. 反轉鏈表
- 0219. 存在重復元素 II
- 0226. 翻轉二叉樹
- 0232. 用棧實現隊列
- 0263. 丑數
- 0283. 移動零
- 0342. 4的冪
- 0349. 兩個數組的交集
- 0371. 兩整數之和
- 0437. 路徑總和 III
- 0455. 分發餅干
- 0575. 分糖果
- 0874. 模擬行走機器人
- 1260. 二維網格遷移
- 1332. 刪除回文子序列
- 第五章 - 高頻考題(中等)
- 0002. 兩數相加
- 0003. 無重復字符的最長子串
- 0005. 最長回文子串
- 0011. 盛最多水的容器
- 0015. 三數之和
- 0017. 電話號碼的字母組合
- 0019. 刪除鏈表的倒數第N個節點
- 0022. 括號生成
- 0024. 兩兩交換鏈表中的節點
- 0029. 兩數相除
- 0031. 下一個排列
- 0033. 搜索旋轉排序數組
- 0039. 組合總和
- 0040. 組合總和 II
- 0046. 全排列
- 0047. 全排列 II
- 0048. 旋轉圖像
- 0049. 字母異位詞分組
- 0050. Pow(x, n)
- 0055. 跳躍游戲
- 0056. 合并區間
- 0060. 第k個排列
- 0062. 不同路徑
- 0073. 矩陣置零
- 0075. 顏色分類
- 0078. 子集
- 0079. 單詞搜索
- 0080. 刪除排序數組中的重復項 II
- 0086. 分隔鏈表
- 0090. 子集 II
- 0091. 解碼方法
- 0092. 反轉鏈表 II
- 0094. 二叉樹的中序遍歷
- 0095. 不同的二叉搜索樹 II
- 0096. 不同的二叉搜索樹
- 0098. 驗證二叉搜索樹
- 0102. 二叉樹的層序遍歷
- 0103. 二叉樹的鋸齒形層次遍歷
- 105. 從前序與中序遍歷序列構造二叉樹
- 0113. 路徑總和 II
- 0129. 求根到葉子節點數字之和
- 0130. 被圍繞的區域
- 0131. 分割回文串
- 0139. 單詞拆分
- 0144. 二叉樹的前序遍歷
- 0150. 逆波蘭表達式求值
- 0152. 乘積最大子數組
- 0199. 二叉樹的右視圖
- 0200. 島嶼數量
- 0201. 數字范圍按位與
- 0208. 實現 Trie (前綴樹)
- 0209. 長度最小的子數組
- 0211. 添加與搜索單詞 * 數據結構設計
- 0215. 數組中的第K個最大元素
- 0221. 最大正方形
- 0229. 求眾數 II
- 0230. 二叉搜索樹中第K小的元素
- 0236. 二叉樹的最近公共祖先
- 0238. 除自身以外數組的乘積
- 0240. 搜索二維矩陣 II
- 0279. 完全平方數
- 0309. 最佳買賣股票時機含冷凍期
- 0322. 零錢兌換
- 0328. 奇偶鏈表
- 0334. 遞增的三元子序列
- 0337. 打家劫舍 III
- 0343. 整數拆分
- 0365. 水壺問題
- 0378. 有序矩陣中第K小的元素
- 0380. 常數時間插入、刪除和獲取隨機元素
- 0416. 分割等和子集
- 0445. 兩數相加 II
- 0454. 四數相加 II
- 0494. 目標和
- 0516. 最長回文子序列
- 0518. 零錢兌換 II
- 0547. 朋友圈
- 0560. 和為K的子數組
- 0609. 在系統中查找重復文件
- 0611. 有效三角形的個數
- 0718. 最長重復子數組
- 0754. 到達終點數字
- 0785. 判斷二分圖
- 0820. 單詞的壓縮編碼
- 0875. 愛吃香蕉的珂珂
- 0877. 石子游戲
- 0886. 可能的二分法
- 0900. RLE 迭代器
- 0912. 排序數組
- 0935. 騎士撥號器
- 1011. 在 D 天內送達包裹的能力
- 1014. 最佳觀光組合
- 1015. 可被 K 整除的最小整數
- 1019. 鏈表中的下一個更大節點
- 1020. 飛地的數量
- 1023. 駝峰式匹配
- 1031. 兩個非重疊子數組的最大和
- 1104. 二叉樹尋路
- 1131.絕對值表達式的最大值
- 1186. 刪除一次得到子數組最大和
- 1218. 最長定差子序列
- 1227. 飛機座位分配概率
- 1261. 在受污染的二叉樹中查找元素
- 1262. 可被三整除的最大和
- 1297. 子串的最大出現次數
- 1310. 子數組異或查詢
- 1334. 閾值距離內鄰居最少的城市
- 1371.每個元音包含偶數次的最長子字符串
- 第六章 - 高頻考題(困難)
- 0004. 尋找兩個正序數組的中位數
- 0023. 合并K個升序鏈表
- 0025. K 個一組翻轉鏈表
- 0030. 串聯所有單詞的子串
- 0032. 最長有效括號
- 0042. 接雨水
- 0052. N皇后 II
- 0084. 柱狀圖中最大的矩形
- 0085. 最大矩形
- 0124. 二叉樹中的最大路徑和
- 0128. 最長連續序列
- 0145. 二叉樹的后序遍歷
- 0212. 單詞搜索 II
- 0239. 滑動窗口最大值
- 0295. 數據流的中位數
- 0301. 刪除無效的括號
- 0312. 戳氣球
- 0335. 路徑交叉
- 0460. LFU緩存
- 0472. 連接詞
- 0488. 祖瑪游戲
- 0493. 翻轉對
- 0887. 雞蛋掉落
- 0895. 最大頻率棧
- 1032. 字符流
- 1168. 水資源分配優化
- 1449. 數位成本和為目標值的最大數字
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